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1、第五章 正态分布、常用统计分布和极限定理一、什么是正态分布 正态分布(Normal Distribution)服从一类确定的规律，又称为常态分布或高斯分布。如统计了96人的初婚年龄18.5 20.5 22.5 24.5 26.5 28.5 30.5 32.5x(x)表5-1图5-1 (x)1.正态分布曲线是单峰，有一个最高点；2.分布曲线有一个对称轴x=；3.分布曲线以横轴为渐近线。中位值、中值、均值三者重叠。分布密度曲线的特征：1.曲线在x=处达到最高值，并且以x=对称。正态分布的概率密度表达式为：2.在不变的情况下，越小，图形越尖锐，反之则低阔。123图5-2图5-3=0.5=1=2参数和
2、代表的意义正态曲线下每一小块面积就是随机变量 在该小块取值 所出现的概率，曲线下的整个面积由无数个小直方形拼成。曲线下任意两点 的概率，就是对从 到 的所有小块面积进行累加，即几个典型取值区间的概率值图5-434.13%34.13%13.6%13.6%2.16%2.16%0.11%0.11%二、标准正态分布 根据Z值所得到的分布就是标准正态分布，概率密度为变量值标准化 标准正态分布其实是一般正态分布的一个特例，记作N(0，1)，一般正态分布记作N(，2)。一般正态分布之所以能变成唯一的标准正态分布，就是把原来坐标中的零点沿着X轴迁到点，并且以为单位记分。图5-50=1（一）正态分布与标准正态分
3、布的特点对比1.标准正态曲线在Z=0处达到最高点；2.标准正态曲线以Z=0为中心，双侧对称；3.标准正态曲线从最高点向左右缓慢下降，并无限延伸，但永不与基线相交；4.平均数为0，标准差为1；5.标准正态曲线从最高点向左右延伸时，正负1个标准差内向下向内弯，从正负1个标准差开始，向下向外弯。（二）正态分布与标准正态分布面积之间的对应关系34.13%34.13%13.6%13.6%2.16%2.16%0.11%0.11%图5-6（三）标准分的实际意义 例1：甲、乙、丙3个同学社会统计学分数都是80分，甲同学所在班平均成绩甲=80分，乙=75分，丙=70分，标准差都是10，比较甲、乙、丙3个同学在班
4、上的成绩。例2：设甲、乙、丙三个学生所在班级的平均成绩都为75分，甲=10分，乙=15分，丙=20分，比较甲、乙、丙三个学生在班上的成绩。如果各科原始分数呈正态分布，可将各科原始分数转换成标准分，求其总和，再比较总分大小。例3：甲、乙两生高考的政治分数分别为70分、60分，物理分数分别为60分、70分，从总分上看，两生的总成绩相等，但政治的平均分是70分，=20，而物理的平均分是50分，=40。为了使标准分Z值变成形式上的原始分数，一般将Z值乘以10，加上50，就变成了T分数：T=10Z+50T甲=0.2510+50=52.5；T乙=010+50=50标准分数的大小和正负可以反映某一个考生在全
5、体考分中所处的地位，如甲生英语分数为Z=-0.44之上有67%的考生；乙生Z=0.25之上有40.13%的考生，通过每个考生在总体中的位置比较优劣，所以称为相对分数。三、标准正态分布表的使用 标准正态分布表是根据概率密度，用积分计算Z取不同值时正态分布曲线下的面积。有的从Z=-开始，Z逐渐增加，表中所列是某个Z分数以下的累积概率；有的从Z=0开始，Z逐渐变化，计算从Z=0到某一定值之间的概率，因为正态分布对称，且对称轴为=0，所以当Z0时相应的Z分数概率值相等。任意两点Z1，Z2之间的面积就是图5-7图5-8图5-9例4：例5：例6：例7：例8：例9：即在60.24分到83.76分之间包括有9
6、5%的学生。图5-1095%例10：表5-2图5-11 0 Z四、常用统计分布样本具有两重性：假设x1、x2xn是从总体X中抽取的样本，在一次具体的观测或试验中，它们是一批测量值，是一些已知数，即样本具有数的属性。在不同的观测中样本取值可能不同，因此当脱离开特定的具体试验或观测时，并不知道样本 x1、x2xn的具体取值是多少，可以把它们看作随机变量，即样本具有随机变量的属性。如果在相同条件下对总体X进行n次重复的独立观测，那么可以认为所获得的样本x1、x2xn是独立的，并且服从相同分布的随机变量。如：当我们把一个长度为的物体测量了n次，获得样本x1、x2xn之后，要计算其算术平均数作为的估计，
7、其平均数就是对样本进行处理后得到的一个统计量。样本均值、样本方差是几个主要的统计量。三大分布：x2分布、t分布和F分布 （一）x2分布随着自由度增加，图形渐趋对称；x2具有可加性。设x2(k1)、x2(k2)，且与相互独立，则+=x2(k1+k2)，即+x2(k1+k2)图5-12K=1K=2K=6X2分布表的编制与使用（附表6）（二）t分布（学生分布）设随机变量N(0,1)，x2(k)，且与相互独立，则随机变量的分布称为自由度为k的t分布或学生分布，并记作t(k)。图5-130t分布表的使用（三）F分布图5-140（1，10）（5，10）（10，10）（，10）F分布表是根据F分布函数计算得来的，附表7中对于不同的自由度及不同的（0 1），给出了满足式 的F值。五、大数定理与中心极限定理 当观察次数n趋向于无穷大时所得出的一系列定理，统称为极限定理。极限定理又分为大数定理和中心极限定理。大数定理一般讨论n个随机变量的平均值的稳定性；中心极限定理讨论在一般情况下，n个随机变量的和当n时的极限分布是正态分布。（一）贝努里大数定理（二）切贝谢夫大数定理（三）中心极限定理上面的表达式还有以下几种表达方法：