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1、 我我们们首首先先引引入入的的计计算算概概率率的的数数学学模模型型，是是在在概概率率论论的的发发展展过过程程中中最最早早出出现现的的研研究究对象，通常称为对象，通常称为古典概型古典概型一、古典概型一、古典概型 假定某个试验有有限个可能的结果假定某个试验有有限个可能的结果 假定从该试验的条件及实施方法上去分假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果析，我们找不到任何理由认为其中某一结果例如例如ei，比任一其它结果，例如比任一其它结果，例如ej,更有优势，更有优势，则我们只好认为所有结果在试验中有同等可则我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即能的出现机会
2、，即1/N的出现机会的出现机会.e1,e2,，eN,常常把这样的试验结果称为常常把这样的试验结果称为“等可能的等可能的”.e1,e2,，eN 试验结果试验结果你认为哪个你认为哪个结果出现的结果出现的可能性大？可能性大？2 3479108615 例如，一个袋子中装有例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同个大小、形状完全相同的球的球.将球编号为将球编号为110.把球搅匀，蒙上眼睛，从把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球中任取一球.因为抽取时这些球是因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理完全平等的，我们没有理由认为由认为10个球中的某一个个球中的某一个会比另一个更容易取得会比另一个更容易取得.也
3、就是说，也就是说，10个球中的任个球中的任一个被取出的机会是相等一个被取出的机会是相等的，均为的，均为1/10.1324 5 6 7 8 9 1010个球中的任一个被取个球中的任一个被取出的机会都是出的机会都是1/102 3479108615 我们用我们用 i 表示取到表示取到 i号球，号球，i=1,2,10.称这样一类随机试验称这样一类随机试验为为古典概型古典概型.34791086152且每个样本点且每个样本点(或者说或者说基本事件基本事件)出现的可能出现的可能性相同性相同.S=1,2,10,则该试验的样本空间则该试验的样本空间如如i=2 称这种试验为称这种试验为有穷等可能随机试验有穷等可能
4、随机试验 或或古典概型古典概型.定义定义1 若随机试验满足下述两个条件：若随机试验满足下述两个条件：(1)它的样本空间只有有限多个样本点；它的样本空间只有有限多个样本点；(2)每个样本点出现的可能性相同每个样本点出现的可能性相同.二、古典概型中事件概率的计算二、古典概型中事件概率的计算记记 A=摸到摸到2号球号球 P(A)=?P(A)=1/10记记 B=摸到红球摸到红球 P(B)=?P(B)=6/10 22 34791086151324 5 6这里实际上是从这里实际上是从“比例比例”转化为转化为“概率概率”记记 B=摸到红球摸到红球 P(B)=6/10静态动态 当我们要求当我们要求“摸到红摸到
5、红球球”的概率时，只要找出的概率时，只要找出它在静态时相应的比例它在静态时相应的比例.2 3479108615这样就把求概率问题转化为这样就把求概率问题转化为计数问题计数问题.定义定义2 设试验设试验E是是古典概型古典概型,其样本空间其样本空间S由由n个样本点组成个样本点组成,事件事件A由由k个样本点组成个样本点组成.则则定义事件定义事件A的概率为：的概率为：称此概率为称此概率为古典概率古典概率(Classical Probabilities).这种确定概率的方法称为这种确定概率的方法称为古典方法古典方法.A包含的样本点数包含的样本点数 P(A)k/n S中的样本点总数中的样本点总数排列组合是
6、计算古典概率的重要工具排列组合是计算古典概率的重要工具.请回答：请回答：1、怎样的一类随机试验称为、怎样的一类随机试验称为古典概型？古典概型？2、如何计算、如何计算古典概型中事件的概率？古典概型中事件的概率？为什么这样计算？为什么这样计算？下面我们就来介绍如何计算下面我们就来介绍如何计算古典概率古典概率.基本计数原理基本计数原理 这里我们先简要复习一下计算古典概率这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的所用到的1.加法原理加法原理设完成一件事有设完成一件事有m种方式，种方式，第一种方式有第一种方式有n1种方法，种方法，第二种方式有第二种方式有n2种方法种方法,；第第m种方式有种方式有nm种方
7、法种方法,无论通过哪种方法都可以无论通过哪种方法都可以完成这件事，完成这件事，则完成这件事总共则完成这件事总共有有n1+n2+nm 种方法种方法.例如，某人要从甲地到乙地去例如，某人要从甲地到乙地去,甲地甲地乙地乙地可以乘火车可以乘火车,也可以乘轮船也可以乘轮船.火车有两班火车有两班轮船有三班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?3+2 种方法种方法回答是回答是基本计数原理基本计数原理则完成这件事共有则完成这件事共有种不同的方法种不同的方法.2.乘法原理乘法原理设完成一件事有设完成一件事有m个步骤，个步骤，第一个步骤有第一个步骤有n1种方法，种
8、方法，第二个步骤有第二个步骤有n2种方法种方法,；第第m个步骤有个步骤有nm种方法种方法,必须通过每一步骤必须通过每一步骤,才算完成这件事，才算完成这件事，例如，若一个男人有三顶帽子和两件例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？背心，问他可以有多少种打扮？可以有可以有 种打扮种打扮 加法原理和乘法原理是两个很重要加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列具体问题，同时也是推导下面常用排列组合公式的基础组合公式的基础.三、排列、组合的几个简单公式三、排列、组合的几个简单公式排列和组合的区
9、别：排列和组合的区别：顺序不同是顺序不同是不同的排列不同的排列3把不同的钥匙的把不同的钥匙的6种排列种排列而组合不管而组合不管顺序顺序从从3个元素取出个元素取出2个个的排列总数有的排列总数有6种种从从3个元素取出个元素取出2个个的组合总数有的组合总数有3种种1、排列、排列:从从n个不同元素取个不同元素取 k个个（1 k n)的不同排列总数为：的不同排列总数为：k=n时称全排列时称全排列排列、组合的几个简单公式排列、组合的几个简单公式ABDC例如：例如：n=4,k=3第第1次选取次选取第第2次选取次选取第第3次选取次选取BDCBCDBDC从从n个不同元素取个不同元素取 k个（允许重复）个（允许重
10、复）（1 k n)的不同排列总数为：的不同排列总数为：例如：从装有例如：从装有4张卡片的盒中张卡片的盒中有放回地摸取有放回地摸取3张张3241n=4,k=3123第第1张张4123第第2张张4123第第3张张4共有共有4.4.4=43种可能取法种可能取法2、组合、组合:从从n个不同元素取个不同元素取 k个个（1 k n)的不同组合总数为：的不同组合总数为：常记作常记作，称为组合系数。，称为组合系数。你能证明吗？你能证明吗？组合系数组合系数 又常称为二项式系数，因为又常称为二项式系数，因为它出现在下面的二项式展开的公式中：它出现在下面的二项式展开的公式中：3、组合系数与二项式展开的关系、组合系数
11、与二项式展开的关系令令 a=-1,b=1利用该公式，可得到许多有用的组合公式：利用该公式，可得到许多有用的组合公式：令令 a=b=1,得得4、n个不同元素分为个不同元素分为k组，各组元素数目组，各组元素数目分别为分别为r1,r2,rk的分法总数为的分法总数为r1个个元素元素r2个个元素元素rk个个元素元素n个元素个元素因为因为请回答：请回答：对排列组合，我们介绍了几个计算公式对排列组合，我们介绍了几个计算公式？排列排列：选排列，全排列，选排列，全排列，下面我们就用这些公式来计算下面我们就用这些公式来计算.分组分配分组分配.组合；组合；允许重复的排列允许重复的排列;四、古典概率计算举例四、古典概
12、率计算举例例例1 把把C、C、E、E、I、N、S七个字母分七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词：排列结果恰好拼成一个英文单词：C ISN C EE问：在多大程度上认为这样的结果问：在多大程度上认为这样的结果是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？拼成英文单词拼成英文单词SCIENCE 的情况数为的情况数为故该结果出现的概率为：故该结果出现的概率为：
13、这个概率很小，这里算出的概率有如这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：下的实际意义：如果多次重复这一抽卡试如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在验，则我们所关心的事件在1260次试验中次试验中大约出现大约出现1次次.解：七个字母的排列总数为解：七个字母的排列总数为7！这样小概率的事件在一次抽卡的试验这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这是魔术是魔术.具体地说，可以具体地说，可以99.9%的把握怀疑这的把握怀疑这是魔术是魔术.解：解：=0.3024允许重复的排列允许重复的排列问：问：错在何处？错在何处？例例2 某城
14、市的电话号码由某城市的电话号码由5个数字组成，每个个数字组成，每个数字可能是从数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求这十个数字中的任一个，求电电话号码由五个不同数字组成话号码由五个不同数字组成的概率的概率.计算样本空间样本点总数和所求事件计算样本空间样本点总数和所求事件所含样本点数计数方法不同所含样本点数计数方法不同.从从10个不同数字中个不同数字中取取5个的排列个的排列例例3 设有设有N件产品件产品,其中有其中有M件次品件次品,现从这现从这N件中任取件中任取n件件,求其中恰有求其中恰有k件次品的概率件次品的概率.这是一种无放回抽样这是一种无放回抽样.解：令解：令B=恰有恰有k件次品件次品
15、P(B)=？次品正品M件件次品次品N-M件件正品正品解：把解：把2n只鞋分成只鞋分成n堆堆,每堆每堆2只只的分法总数为的分法总数为而出现事件而出现事件A的分法数为的分法数为n!,故故例例4 n双相异的鞋共双相异的鞋共2n只，随机地分成只，随机地分成n堆，堆，每堆每堆2只只.问问:“各堆都自成一双鞋各堆都自成一双鞋”(事件事件A)的概率是多少？的概率是多少？例例5 假设每人的生日在一年假设每人的生日在一年 365 天中的任一天天中的任一天是等可能的是等可能的,即都等于即都等于 1/365,求求 64 个人中至少个人中至少有有2人生日相同的概率人生日相同的概率.64 个人生日各不相同的概率为个人生
16、日各不相同的概率为故故64 个人中至少有个人中至少有2人生日相同的概率为人生日相同的概率为解解课堂练习课堂练习1o 电话号码问题电话号码问题 在在7位数的电话号码中位数的电话号码中,第一位第一位不能为不能为0，求数字，求数字0出现出现3次的概率次的概率.2o 骰子问题骰子问题 掷掷3颗均匀骰子颗均匀骰子,求点数之和为求点数之和为4的的概率概率.“等可能性等可能性”是一种假设，在实际应用是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的认为各基本事件或样本点是等可能的.1、在应用古典概型时必须注意、在应用古典概型时必
17、须注意“等可能性等可能性”的条件的条件.需要注意的是：需要注意的是：在许多场合，在许多场合，由对称性和均衡性，由对称性和均衡性，我我们就可以认为基本事件是等可能的并在此们就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率基础上计算事件的概率.2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏注意不要重复计数，也不要遗漏.例如：从例如：从5双不同的鞋子中任取双不同的鞋子中任取4只，这只，这4只只鞋子中鞋子中“至少有两只配成一双至少有两只配成一双”（事件（事件A）的概率是多少？的概率是多少？下面的算法错在哪里？下面的算法错在哪里？错在同样
18、的错在同样的“4只配只配成两双成两双”算了两次算了两次.97321456810从从5双中取双中取1双，从剩双，从剩下的下的 8只中取只中取2只只例如：从例如：从5双不同的鞋子中任取双不同的鞋子中任取4只，这只，这4只只鞋子中鞋子中“至少有两只配成一双至少有两只配成一双”（事件（事件A）的概率是多少？的概率是多少？正确的答案是：正确的答案是：请思考：请思考：还有其它解法吗？还有其它解法吗？2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏注意不要重复计数，也不要遗漏.3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同、许多表面上提法不同的问题实质上属
19、于同一类型：一类型：有有n个人，每个人都以相同的概率个人，每个人都以相同的概率 1/N(Nn)被分在被分在 N 间房的每一间中，求指定的间房的每一间中，求指定的n间房中各有一人的概率间房中各有一人的概率.人人房房3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：一类型：有有n个人，设每个人的生日是任一天的概个人，设每个人的生日是任一天的概率为率为1/365.求这求这n(n 365)个人的生日互不相个人的生日互不相同的概率同的概率.人人任一天任一天3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：一类型：有有n个旅客，乘火车
20、途经个旅客，乘火车途经N个车站，设每个车站，设每个人在每站下车的概率为个人在每站下车的概率为1/N(N n)，求指，求指定的定的n个站各有一人下车的概率个站各有一人下车的概率.旅客旅客车站车站3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：一类型：某城市每周发生某城市每周发生7次车祸，假设每天发生次车祸，假设每天发生车祸的概率相同车祸的概率相同.求每天恰好发生一次车祸求每天恰好发生一次车祸的概率的概率.车祸车祸天天你还可以举出其它例子，留作课下练习你还可以举出其它例子，留作课下练习.2o 生日问题生日问题 某班有某班有20个学生都个学生都是同一年出生的是同
21、一年出生的,求有求有10个学生生个学生生日是日是1 1月月1 1日日,另外另外10个学生生日是个学生生日是12月月31日的概率日的概率.课堂练习课堂练习1o 分房问题分房问题 将张三、李四、王五将张三、李四、王五3人等可能地人等可能地分配到分配到3 间房中去间房中去,试求每个房间恰有试求每个房间恰有1人的概率人的概率.这一讲，我们介绍了古典概型这一讲，我们介绍了古典概型.古典概型古典概型虽然比较简单，但它有多方面的应用虽然比较简单，但它有多方面的应用.是常见的几种模型是常见的几种模型.箱中摸球箱中摸球分球入箱分球入箱随机取数随机取数分组分配分组分配课下可通过作业进一步掌握课下可通过作业进一步掌
22、握.早在概率论发展初期，人们就认识到，早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的够的.把等可能推广到无限个样本点场合把等可能推广到无限个样本点场合,人人们引入了们引入了几何概型几何概型.由此形成了确定概率的由此形成了确定概率的另一方法另一方法几何方法几何方法.几何方法的要点是：几何方法的要点是：1、设样本空间、设样本空间S是平面上某个区域，它的是平面上某个区域，它的面积记为面积记为(S);2、向区域、向区域S上随机投掷一点，这里上随机投掷一点，这里“随机随机投掷一点投掷一点”的含义是指该点落入的含义是指该点落入S 内任何内
23、任何部分区域内的可能性只与这部分区域的面部分区域内的可能性只与这部分区域的面积成比例，而与这部分区域的位置和形状积成比例，而与这部分区域的位置和形状无关无关.3、设事件、设事件A是是S的某个区域，它的面积为的某个区域，它的面积为(A)，则向区域，则向区域S上随机投掷一点，该点上随机投掷一点，该点落在区域落在区域A的概率为的概率为（*）4、假如样本空间、假如样本空间S可用一线段，或空间中某可用一线段，或空间中某个区域表示，并且向个区域表示，并且向S上上随机投掷一点随机投掷一点的含义的含义如前述，则事件如前述，则事件A的概率仍可用（的概率仍可用（*）式确定，）式确定，只不过把只不过把 理解为长度或
24、体积即可理解为长度或体积即可.蒲丰投针试验蒲丰投针试验 法法国国自自然然哲哲学学家家蒲蒲丰丰先先生生经经常常搞搞点点有有趣趣的的试试验验给朋友们解闷。给朋友们解闷。数学家蒲丰数学家蒲丰 (Buffon，Georges Louis）(1707-1788)1777年年的的一一天天，蒲蒲丰丰先先生生又又在在家家里里为为宾宾客客们们做做一一次次有有趣趣的的试试验验，他他先先在在一一张张白白纸纸上上画画满满了了一一条条条条距距离离相相等等的的平平行行线线。然然后后，他他抓抓出出一一大大把把小小针针，每每根根小小针针的的长长度度都都是是平平行行线线之之间间距距离离的的一一半半。蒲蒲丰丰说说：“请请诸诸位位
25、把把这这些些小小针针一一根根一一根根地地往往纸纸上上随随便便扔扔吧吧。”客客人人们们好好奇奇地地把把小小针针一一根根一一根根地地往往纸纸上上乱扔。乱扔。最最后后蒲蒲丰丰宣宣布布结结果果：大大家家共共投投针针2212次次，其其中中与与直直线线相相交交的的就就有有704次次。用用704 去去除除 2212，得得数数为为3.142。他他笑笑了了笑笑说说：“这这就就是是圆圆周周率率的的近近似似值值。”这这时时，众众宾宾客客哗哗然然：“圆周率圆周率?这根本和圆沾不上边呀这根本和圆沾不上边呀?”蒲丰先生却好像看透了众人的心思，斩钉蒲丰先生却好像看透了众人的心思，斩钉截铁地说：截铁地说：“诸位不用怀疑，这的
26、确就是诸位不用怀疑，这的确就是圆周率圆周率的近似值。你们看，连圆规也不要，的近似值。你们看，连圆规也不要，就可以求出就可以求出的值来。只要你有耐心，投掷的值来。只要你有耐心，投掷的次数越多，求出的圆周率就越精确。的次数越多，求出的圆周率就越精确。”这就是数学史上有名的这就是数学史上有名的“投针试验投针试验”。下面我们来看蒲丰先生是怎样求出的：下面我们来看蒲丰先生是怎样求出的：蒲丰投针试验蒲丰投针试验例例61777年年,法国科学家蒲丰法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针提出了投针试验问题试验问题.平面上画有等距离为平面上画有等距离为a(a0)的一些平行直的一些平行直线线,现向此平面任意投掷一
27、根长为现向此平面任意投掷一根长为b(ba)的针的针,试求试求针与某一平行直线相交的概率针与某一平行直线相交的概率.解解由投掷的任意性可知由投掷的任意性可知,这是一个几何概型问题这是一个几何概型问题.蒲丰投针试验的应用及意义蒲丰投针试验的应用及意义单击图形播放单击图形播放/暂停暂停 ESC ESC键退出键退出利用蒙特卡罗利用蒙特卡罗(Monte Carlo)法进行计算机模拟法进行计算机模拟.实际上，许多随机试验的结果并不都实际上，许多随机试验的结果并不都是有限个，而且，即使是有限个，也未必是有限个，而且，即使是有限个，也未必是等可能的是等可能的.而几何方法的正确运用，有赖于而几何方法的正确运用，
28、有赖于“等等可能性可能性”的正确规定的正确规定.考虑用一个天平称物时的误差，这个考虑用一个天平称物时的误差，这个试验的结果就有无限多个，而且这些结果试验的结果就有无限多个，而且这些结果也不具有前述几何概率定义中的也不具有前述几何概率定义中的“等可能等可能性性”.那么，如何知道误差落在某个范围内那么，如何知道误差落在某个范围内的概率呢？的概率呢？对于这个问题，学了下一讲后，你就能对于这个问题，学了下一讲后，你就能回答了回答了.再如，一射手向一目标射击，再如，一射手向一目标射击，“中靶中靶”与与“脱靶脱靶”一般不是等可能的，那么，又如一般不是等可能的，那么，又如何知道他中靶的概率呢？何知道他中靶的
29、概率呢？那么那么 两人会面的充要条件为两人会面的充要条件为例例6 甲、乙两人相约在甲、乙两人相约在 0 到到 T 这段时间内这段时间内,在在预预定地点会面定地点会面.先到的人等候另一个人先到的人等候另一个人,经过时间经过时间 t(tT)后离去后离去.设每人在设每人在0 到到T 这段时间内各时刻这段时间内各时刻到达该地是等可能的到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不牵且两人到达的时刻互不牵连连.求甲、乙两人能会面的概率求甲、乙两人能会面的概率.会面问题会面问题解解故所求的概率为故所求的概率为若以若以 x,y 表示平面表示平面上点的坐标上点的坐标,则有则有费尔马大定理（1637年）1637年，法
30、国业余大数学家费尔马（年，法国业余大数学家费尔马（Pierre de Fremat）在）在“算术算术”的关于勾股数问题的页边上，的关于勾股数问题的页边上，写下猜想：写下猜想：费尔马还写道费尔马还写道“我对此有绝妙的证明，但此页边太窄我对此有绝妙的证明，但此页边太窄写不下写不下”。历史上费尔马大定理高潮迭起，传奇不断。令无数人耗尽心力，空留浩叹。1983年德国的法尔廷斯证明了：对任一固定的n，最多只有有限多个a，b，c振动了世界，获得费尔兹奖（数学界最高奖）。童年就痴迷于此的英国学者怀尔斯，潜心研究童年就痴迷于此的英国学者怀尔斯，潜心研究数年，终于在数年，终于在1993年年6月月23日剑桥大学牛顿研日剑桥大学牛顿研究所的究所的“世纪演讲世纪演讲”最后，宣布证明了费尔马最后，宣布证明了费尔马大定理。大定理。1995年，年，A.Wiles用用108页论文证明了费尔马大页论文证明了费尔马大定理。怀尔斯的历史性长文定理。怀尔斯的历史性长文“模椭圆曲线和费模椭圆曲线和费尔马大定理尔马大定理”1995年年5月发表在美国数学年月发表在美国数学年刊第刊第142卷，实际占满了全卷，共五章，卷，实际占满了全卷，共五章，130页。页。1997年年6月月27日，怀尔斯获得沃尔夫斯克日，怀尔斯获得沃尔夫斯克勒勒10万马克悬赏大奖。万马克悬赏大奖。