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1、椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程（一）（一）知识与技能目标知识与技能目标 掌握椭圆的定义、标准方程的推导和标准方程。掌握椭圆的定义、标准方程的推导和标准方程。过程与方法目标过程与方法目标 通过椭圆概念的引入与椭圆标准方程的推导过程，通过椭圆概念的引入与椭圆标准方程的推导过程，培养学生分析探索能力，熟练掌握解决解析几何问培养学生分析探索能力，熟练掌握解决解析几何问题的方法题的方法坐标法。坐标法。情感、价值与态度观目标情感、价值与态度观目标 通过椭圆的定义、标准方程的学习，渗透数形结合通过椭圆的定义、标准方程的学习，渗透数形结合的思想，启发学生在研究问题时，抓住问题本质，的思想，启发学生在研究问题
2、时，抓住问题本质，严谨细致思考，规范得出解答，体会运动变化、对严谨细致思考，规范得出解答，体会运动变化、对立统一的思想。立统一的思想。教学目标教学目标：教学重点：教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程；椭圆的定义和椭圆的标准方程；教学难点：教学难点：椭圆标准方程的建立和推导。椭圆标准方程的建立和推导。1.求动点轨迹求动点轨迹方程的一般步骤是什么？方程的一般步骤是什么？（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点上任意一点M的坐标；的坐标；（2）写出适合条件）写出适合条件P的点的点M的集合；的集合；(可以省略，可以省略，直接列出曲线方程直接列出曲线
3、方程)（3）用坐标表示条件）用坐标表示条件P（M），列出方程），列出方程 （5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点曲线上的点(可以省略不写可以省略不写,如有特殊情况，可以如有特殊情况，可以适当予以说明适当予以说明)（4）化方程）化方程 为最简形式；为最简形式；3.3.列等式列等式4.4.代坐标代坐标坐标法坐标法 5.5.化简方程化简方程1.1.建系建系2.2.设坐标设坐标知识链接：知识链接：实验探究：实验探究：(1)取一条细绳，取一条细绳，(2)把它的两端固定在板上的两点把它的两端固定在板上的两点F1、F2(3)用铅笔尖（用铅笔尖（M）把细绳拉
4、紧，在板上慢慢移）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的是什么图形？动看看画出的是什么图形？思考思考1：在笔尖移动的过程中，在笔尖移动的过程中，M点具点具有什么不变的几何性质？有什么不变的几何性质？2.改变两图钉之间的距离，改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？图形还是椭圆吗？3绳长能小于两图钉之间绳长能小于两图钉之间的距离吗？的距离吗？一、椭圆定义：一、椭圆定义：平面内平面内与两个定点与两个定点 的距离之的距离之和等于和等于常数常数（大于（大于 ）的点的轨迹）的点的轨迹叫做叫做椭圆椭圆。这两个定点叫做椭圆的这两个定点叫做椭圆的焦点焦点。两焦点间的距离
5、叫做椭圆的两焦点间的距离叫做椭圆的焦距焦距。课前预习：课前预习：满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？1平面上平面上2动点动点 M 到两个定点到两个定点 F1、F2 的距离之的距离之和是常数和是常数 2a 3常数常数 2a 要大于焦距要大于焦距 2c小结一：小结一：答：答：思考思考2：定义中常数定义中常数2a为什么一定要大于为什么一定要大于2c？思考思考3：如何建立平面直角坐标系研究椭圆比如何建立平面直角坐标系研究椭圆比较方便？较方便？建立平面直角坐标系通常遵循的原则：建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、对称、“简洁简洁”OxyOxyOxyMF1F2方案一方案
6、一F1F2方案二方案二OxyMOxy二、椭圆标准方程的推导二、椭圆标准方程的推导一一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴。般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴。MF1F2xyo 如图如图,建立直角坐标系建立直角坐标系xoy,使使x轴经过点轴经过点F1,F2并且点并且点O与线段与线段F1F2的中点重合的中点重合.设设M(x,y)是椭圆上是椭圆上任意一点任意一点,椭圆的焦距为椭圆的焦距为2c(c0).那么那么,焦点焦点F1,F2的坐标分别是的坐标分别是(-c,0),(c,0).又设又设M与与F1和和F2的距离的和等于常数的距离的和等于常数2a.思考思考4：椭圆上
7、的点具有什椭圆上的点具有什么几何性质？用坐标如何么几何性质？用坐标如何表示表示由椭圆的定义由椭圆的定义,椭圆就是集椭圆就是集合合因为因为所以得所以得将这个方程移项后两边平方将这个方程移项后两边平方,得得整理得整理得上式两边再平方上式两边再平方,得得整理得整理得由椭圆的定义可知由椭圆的定义可知,2a2c,即即ac,所以所以a2-c20令令a2-c2=b2,其中其中b0,代入上代入上式式,得得b2x2+a2y2=a2b2两边同时除以两边同时除以a2b2,得得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)这个方程就这个方程就叫做椭
8、圆的叫做椭圆的标准方程标准方程.思考思考5：如果将焦点放在如果将焦点放在y轴上，则坐标轴上，则坐标方程为？方程为？得到圆的标准方程是什么？得到圆的标准方程是什么？总体印象：对称、简洁，总体印象：对称、简洁，“像像”直线方程的截距直线方程的截距式式焦点在焦点在y轴：轴：焦点在焦点在x轴：轴：三、椭圆的标准方程三、椭圆的标准方程1oFyx2FM12yoFFMx1 1、方程的右边是常数、方程的右边是常数1 12 2、方程的左边是和的形式，每一项的、方程的左边是和的形式，每一项的分子是分子是 x2 2、y2 2，分母是一个正数。，分母是一个正数。椭圆的标准方程的特点？椭圆的标准方程的特点？（1）（2）
9、根据上述讨论，如何判断椭圆的焦点的位置？根据上述讨论，如何判断椭圆的焦点的位置？若若 x2 项的分母大，则其焦点就在项的分母大，则其焦点就在 x 轴上，若轴上，若 y2 项的分母大，项的分母大，则其焦点就在则其焦点就在 y 轴上，轴上，xOyF1F2xOyF1F2F F1 1(-c,0)(-c,0)，F F2 2(c,0)(c,0)F F1 1(0,-c)(0,-c)，F F2 2(0,c)(0,c)看分母的大小看分母的大小看分母的大小看分母的大小,焦点在分母焦点在分母焦点在分母焦点在分母大的那一项对应的坐标轴上大的那一项对应的坐标轴上大的那一项对应的坐标轴上大的那一项对应的坐标轴上.(2)(
10、2)已知椭圆的焦距为已知椭圆的焦距为8 8，到两焦点的距离之和为，到两焦点的距离之和为1010，则它的标准方程为，则它的标准方程为_。例例1.1.(1)(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别为已知椭圆的两个焦点坐标分别为(-4,0)(-4,0)和和(4,0)(4,0)，椭圆上的点到两焦点的距离和为，椭圆上的点到两焦点的距离和为1010，则，则它的标准方程为它的标准方程为_；并且经过点并且经过点 ，则它的标准方程为，则它的标准方程为_。(3)(3)已知已知椭圆椭圆的两个焦点的坐的两个焦点的坐标标分分别别是是 ，典型例题典型例题并且经过点并且经过点 ，则它的标准方程为，则它的标准方程为_。(3)(3)已
11、知已知椭圆椭圆的两个焦点的坐的两个焦点的坐标标分分别别是是 ，并且经过点并且经过点 ，则它的标准方程为，则它的标准方程为_。(3)(3)已知已知椭圆椭圆的两个焦点的坐的两个焦点的坐标标分分别别是是 ，例例2 判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明 a2、b2，写出焦点坐标。，写出焦点坐标。(1)X 轴轴。（。（-4，0）和（）和（4，0）(2)在在 y 轴轴。（。（0，-3）和（）和（0，3）(4)y 轴轴。（。（0，-1）和（）和（0，1）规律总结：规律总结：1、求一个椭圆的标准方程需求几个量？、求一个椭圆的标准方程需求几个量？2、“椭圆的标准方程椭圆的标准方程”是
12、个专有名词，是个专有名词，就是指上述的两个方程。形式是固定的。就是指上述的两个方程。形式是固定的。1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程、写出适合下列条件的椭圆的标准方程(1)a=5，b=3，焦点在，焦点在 x 轴轴(2)a=9，c=7，焦点在，焦点在 y 轴上轴上(3)两个焦点的坐标是（两个焦点的坐标是（-2，0）和（）和（2，0）并且经过点（并且经过点（2.5，-1.5）达标练习：达标练习：2、已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为：，请，请填空：填空：(1)a=_，b=_，c=_，焦点坐标为，焦点坐标为_，焦距等于，焦距等于_.(2)若若C为椭圆上一点，为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、
13、右焦点，分别为椭圆的左、右焦点，并且并且CF1=2,则则CF2=_.5436(-3,0)、(3,0)8变题：变题：若椭圆的方程为若椭圆的方程为 ,试口答完成试口答完成2.1、椭圆的定义、椭圆的定义课堂小结：课堂小结：2、椭圆的标准方程、椭圆的标准方程 焦点分别在焦点分别在x轴轴 y轴上的标准方程轴上的标准方程3、标准方程的简单应用、标准方程的简单应用 方法：待定系数法方法：待定系数法 思想：数形结合、分类讨论思想：数形结合、分类讨论 (ab0)(ab0)F1F2MoyxoyxF2F1M项中哪个分母大，焦点就在哪一条轴上。项中哪个分母大，焦点就在哪一条轴上。F1(c,0),F2(c,0)F1(0,c),F2(0,c)ab0，b，c大小不确定大小不确定ac 在上述方程中，在上述方程中，A、B、C满足什么条件，就表满足什么条件，就表示椭圆？示椭圆？若方程若方程 表示焦点在表示焦点在y轴上的椭轴上的椭圆，求圆，求k的取值范围的取值范围;若方程表示椭圆呢若方程表示椭圆呢?3、课后作业：课后作业：1、课本P42练习A 2，4