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1、11.确定性现象确定性现象在一定条件下必然发生（出现）某一结果在一定条件下必然发生（出现）某一结果的现象称为确定性现象的现象称为确定性现象.特点特点在相同的条件下，重复进行实验或观察，在相同的条件下，重复进行实验或观察，它的结果总是确定不变的它的结果总是确定不变的.引引 言言22.随机现象随机现象在在一一定定条条件件下下，可可能能出出现现这这样样的的结结果果，也也可可能能出出现现那那样样的的结结果果，而而试试验验或或观观察察前前，不能预知确切的结果不能预知确切的结果.即即在在相相同同的的条条件件下下，重重复复进进行行观观测测或或试试验，它的结果未必是相同的验，它的结果未必是相同的.3随机现象的
2、特点随机现象的特点虽虽然然在在个个别别试试验验中中，其其结结果果呈呈现现出出不不确确定定性性，但但是是人人们们经经过过长长期期实实践践并并深深入入研研究究之之后后，发发现现在在大大量量重重复复试试验验或或观观察察下下，这这类类现现象象的的结结果呈现出某种规律性果呈现出某种规律性 这这种种在在大大量量重重复复试试验验或或观观察察中中，所所呈现出的固有规律性称之为呈现出的固有规律性称之为统计规律性统计规律性.4概率论与数理统计概率论与数理统计正是研究随机现象的这种统计规律性的正是研究随机现象的这种统计规律性的数学分支数学分支.下面我们就来开始这门课程的学习下面我们就来开始这门课程的学习.5 在考虑
3、一个在考虑一个(未来未来)事件是否会发生的时候事件是否会发生的时候,人们常关心该事件发生的可能性的大小人们常关心该事件发生的可能性的大小.就像用尺子测量物体的长度、我们用概率就像用尺子测量物体的长度、我们用概率测量测量 一个未来事件发生的可能性大小一个未来事件发生的可能性大小.将将概率概率作用于被测事件就得到该事件发生作用于被测事件就得到该事件发生的可能性大小的测量值的可能性大小的测量值.为了介绍概率，首先需要介绍为了介绍概率，首先需要介绍试验和事件试验和事件.第一章第一章 古典概型与概率空间古典概型与概率空间6一、随机试验一、随机试验我们把按照一定的想法去作的事情称为我们把按照一定的想法去作
4、的事情称为随机试验随机试验.随机试验的随机试验的简称是简称是 试验试验(experiment).实例实例1掷一个硬币掷一个硬币,观察是否正面朝上观察是否正面朝上.实例实例2掷两枚骰子掷两枚骰子,观察掷出的点数之和观察掷出的点数之和.实例实例3在一副扑克牌中随机抽取两张在一副扑克牌中随机抽取两张,观察观察是否得到数字相同的一对是否得到数字相同的一对.1.1 试验与事件试验与事件7在概率论的语言中在概率论的语言中,试验还是指对试验的一次试验还是指对试验的一次观测或试验结果的测量过程观测或试验结果的测量过程.投掷一枚硬币投掷一枚硬币,用用 表示硬币正面朝上表示硬币正面朝上,用用 表示硬币反面朝上表示
5、硬币反面朝上,则试验有两个可能的则试验有两个可能的结果：结果：和和 .我们称我们称 和和 是是样本点样本点,称样本点的集合称样本点的集合 为试验的为试验的样本空间样本空间.二、二、样本空间样本空间8投掷一枚骰子投掷一枚骰子,用用1表示掷出点数表示掷出点数1,用用2表示掷出点数表示掷出点数2,用用6表示掷出点数表示掷出点数6.试验的可能结果是试验的可能结果是1,2,3,4,5,6.我们称这我们称这6个数是试验的样本点个数是试验的样本点.称样本点的集合称样本点的集合 是试验的样本空间是试验的样本空间.9为为了了叙叙述述的的方方便便和和明明确确，下下面面把把一一个个特特定定的实验称为试验的实验称为试
6、验S.称称试试验验S的的一一个个可可能能结结果果为为S的的一一个个样样本本点点(sample point)，用，用 表示表示称试验称试验 S 的所有可能结果构成的集合为的所有可能结果构成的集合为S 的的样本空间样本空间(sample space)，用，用表示表示10例例1 将一枚硬币抛掷两次，则样本空间为将一枚硬币抛掷两次，则样本空间为 =(H,H),(H,T),(T,H),(T,T),Hhead,Ttail.第第1次次第第2次次HHTHHTTT(H,T)：(T,H):(T,T)：(H,H):其中其中11三、三、随机事件随机事件1.随机事件随机事件投掷一枚骰子的样本空间是投掷一枚骰子的样本空间
7、是A=3 表示掷出表示掷出3点点,则则A是是 的子集的子集.我们称我们称A是事件是事件.掷出掷出3点点,就称事件就称事件A发生发生,否则称事件否则称事件A不发生不发生.用集合用集合B=2,4,6表示掷出偶数点表示掷出偶数点,B是是 的的子集子集,我们也称我们也称B是事件是事件.当掷出偶数点当掷出偶数点,称事件称事件B发生发生,否则称事件否则称事件B不不发生发生.事件事件B发生和掷出偶数点是等价的发生和掷出偶数点是等价的.12当试验的样本点当试验的样本点(试验结果试验结果)落在落在 A 中中,称事件称事件 A 发生发生,否则称否则称 A 不发生不发生.按照上述约定按照上述约定,子集符号子集符号
8、表示表示A是事件是事件.通常用大写字母通常用大写字母 A,B,C,D 等表示事件等表示事件.设设 是试验是试验S的样本空间的样本空间.当当 中只有有限个样本点时中只有有限个样本点时,称称 的子集为事件的子集为事件.13用用 表示集合表示集合A的余集的余集.则事件则事件A发生和样本点发生和样本点 是等价的是等价的,事件事件A不发生和样本点不发生和样本点 是等价的是等价的.14例例1(续续).将一枚硬币抛掷两次将一枚硬币抛掷两次,则样本空间为则样本空间为事件事件A表示表示“两次出现的面不同两次出现的面不同”,可记可记作作 A:“两次出现的面不同两次出现的面不同”或或 A=两次出现的面不同两次出现的
9、面不同 用样本空间的子集可表达为用样本空间的子集可表达为A=(H,T),(T,H)=(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)HheadTtail15例例2 投掷一枚骰子投掷一枚骰子,观察掷出的点数观察掷出的点数.B=“掷出奇数点掷出奇数点”=1,3,5.Ai=“掷出掷出i点点”=i，i=1,2,6基本事件基本事件16特殊的事件：特殊的事件：必件然事 ：在每次试验中必出现在每次试验中必出现 中一个样本点，中一个样本点，即在每次试验中即在每次试验中 必发生必发生,因此称因此称 为必然事件为必然事件;不件可事能：在每次试验中，所出现的样本点都不在在每次试验中，所出现的样本点都不在f中，即在每次
10、试验中中，即在每次试验中 都不发生，因此称都不发生，因此称 为不可能发生的事件。为不可能发生的事件。17注注:样本空间样本空间 是由试验是由试验S的可能结果构成的可能结果构成的集合的集合.样本点样本点 是是 的元素，事件的元素，事件A 就是就是 的子集的子集.18当当A、B都是事件都是事件,则则 都是事件，都是事件，也就是说事件经过集合运算得到也就是说事件经过集合运算得到的结果还是事件的结果还是事件.我们也用我们也用AB表示表示2.事件与集合事件与集合193.事件的关系与运算事件的关系与运算(1)若若A B，则则称称事事件件B包包含含事事件件A，事事件件A包包含含于于事事件件B.事件事件A发生
11、必然导致发生必然导致B发生发生.(2)若若A B,B A,即即A=B，则则称称事事件件A与与事事件件B相等相等.20(3)事件事件 称称为为事事件件A与事件与事件B的并（或和）事件的并（或和）事件.“A与与B至至少少有有一一个个发发生生”,“A发发生生或或B发发生生”与与“事件事件发生发生”等价等价.当当且且仅仅当当A、B中中至至少少有有一一个个发发生生时时,事事件件 发生发生.AB21类似地，称类似地，称 为为n个事件个事件A1,An的和事件的和事件.称称 为可列个事件为可列个事件A1,An,的和事件的和事件.22(4)事件事件称称为为事事件件A与与事事件件B的的交交（或或积积）事事件件，也
12、记作也记作AB.当且仅当当且仅当A、B同时发生时，事件同时发生时，事件AB发生发生.“事事件件A和和B同同时时发发生生”，“A和和B都都发发生生”与与“事件事件AB发生发生”等价等价.AB23称称 为可列个事件为可列个事件A1,An,的积事件的积事件.称称 为为n个事件个事件A1,An的积事件的积事件.24(5)事事件件A B称称为为事事件件A与与事件事件B的差事件的差事件.当当且且仅仅当当A发发生生,B不不发发生生时时，事事件件 A B发生发生.AB25AB类类似似地地,若若n个个事事件件A1,An中中两两两两互互不不相相容容，则称这则称这n个事件互不相容个事件互不相容.若若事事件件A1,A
13、n,中中任任意意两两个个事事件件是是互互不不相相容的，则称这可列无穷多个事件互不相容容的，则称这可列无穷多个事件互不相容.26（7）若若A B=,A B=，称称事事件件A与与事事件件B为对立事件或逆事件。为对立事件或逆事件。在在每每次次试试验验中中，事事件件A、B中中必必有有一一个个发生，且仅有一个发生。发生，且仅有一个发生。（8）事件）事件称为事件称为事件A的补事件。的补事件。当且仅当事件当且仅当事件A不发生时，事件不发生时，事件发生。发生。27事件的运算公式就是集合的运算公式事件的运算公式就是集合的运算公式,如：如：(1)交换律交换律(2)结合律结合律(3)分配律分配律(4)对偶公式对偶公
14、式28 对于一个具体事件，要学会用数学符号表示；对于一个具体事件，要学会用数学符号表示；反之，对于用数学符号表示的事件，要清楚其反之，对于用数学符号表示的事件，要清楚其具体含义是什么具体含义是什么.下面我们来做练习下面我们来做练习.29A=“两件产品都是合格品两件产品都是合格品”,例例3 从一批产品中任取两件从一批产品中任取两件,观察合格品的情况观察合格品的情况.记记=“两件产品不都是合格品两件产品不都是合格品”.或或=“两件产品中至少有一个是不合格品两件产品中至少有一个是不合格品”=两件产品中恰有一个是不合格品两件产品中恰有一个是不合格品 两件产品中都是不合格品两件产品中都是不合格品.记记
15、Bi=“取出的第取出的第 i 件是合格品件是合格品”,i=1,2,则则A=B1B2,30(1)A发生发生,B与与C不发生不发生设设A、B、C为三个事件，用为三个事件，用A、B、C的的运算关系表示下列各事件运算关系表示下列各事件.或或(2)A与与B都发生都发生,而而C不发生不发生或或31一、一、古典概型古典概型假定随机试验假定随机试验S有有有限个可能的结果有限个可能的结果,并且并且假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我假定从该试验的条件及实施方法上去分析，我们找不到任何理由认为其中某一结果出现的机们找不到任何理由认为其中某一结果出现的机会比另一结果出现的机会大或小，我们只好认会比另一结果出现的
16、机会大或小，我们只好认为所有结果在试验中有为所有结果在试验中有同等可能的出现机会同等可能的出现机会.1.2 古典概率模型古典概率模型321.实例实例一个袋子中装有一个袋子中装有10个大小、形状完全相同个大小、形状完全相同的球的球.将球编号为将球编号为110.把球搅匀，蒙上把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球眼睛，从中任取一球.2 347910861533 因为抽取时这些球是完全平等的，我们因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理由认为没有理由认为10个球中的某一个会比另一个个球中的某一个会比另一个更容易取得更容易取得.也就是说，也就是说，10个球中的任一个被取出的个球中的任一个被取出的机会是相等的
17、，均为机会是相等的，均为1/10.2 347910861534用用 i 表示取到表示取到 i 号球，号球，i=1,2,10.则该试验则该试验的样本空间为的样本空间为1,2,10.每个样本点每个样本点(或者说基本事件或者说基本事件)出现的可能性出现的可能性相同相同.35古典概率模型古典概率模型设 是试验S的样本空间.对于 的事件A,我们用P(A)表示A发生的可能性的大小,称P(A)是事件A发生的概率,简称为A的概率.按照以上原则,如果事件A,B发生的可能性相同,则有 P(A)=P(B).如果事件A发生的可能性是B发生的可能性的2倍,则有 P(A)=2P(B).概率是介于0和1之间的数,描述事件发
18、生的可能性的大小.用 ,分别表示事件A和样本空间 中样本点的个数.36设试验设试验S的样本空间的样本空间 是是有限集合有限集合,如果如果 的每个样本点发生的可能性的每个样本点发生的可能性相同相同,则称则称为试验为试验S下下A发生的概率发生的概率,简称为事件简称为事件A的概率的概率.能够用上述描述的模型称为能够用上述描述的模型称为古典概率模型古典概率模型，简称为简称为古典概型古典概型.2.定义定义373.古典概率的基本性质古典概率的基本性质排列组合是计算古典概率的重要工具排列组合是计算古典概率的重要工具.推推论论 38(1)加法原理加法原理(2)乘法原理乘法原理基本计数原理基本计数原理391.加
19、法原理加法原理设完成一件事有设完成一件事有m种方式，种方式，第一种方式有第一种方式有n1种方法，种方法，第二种方式有第二种方式有n2种方法种方法,；第第m种方式有种方式有nm种方法种方法,无论通过哪种方法都可以无论通过哪种方法都可以完成这件事，完成这件事，则完成这件事总共则完成这件事总共有有n1+n2+nm 种方法种方法.40则完成这件事共有则完成这件事共有种不同的方法种不同的方法.2.乘法原理乘法原理设完成一件事有设完成一件事有m个步骤，个步骤，第一个步骤有第一个步骤有n1种方法，种方法，第二个步骤有第二个步骤有n2种方法种方法,；第第m个步骤有个步骤有nm种方法种方法,必须通过每一步骤必须
20、通过每一步骤,才算完成这件事，才算完成这件事，41从从n个不同元素取个不同元素取 k个（允许重复）个（允许重复）（1 k n)的不同排列总数为：的不同排列总数为：例如：从装有例如：从装有4张卡片的盒中张卡片的盒中有放回地摸取有放回地摸取3张张3241n=4,k=3123第第1张张4123第第2张张4123第第3张张4共有共有4.4.4=43种可能取法种可能取法42n个不同元素分为个不同元素分为k组，各组元素数目分别组，各组元素数目分别为为r1,r2,rk的分法总数为的分法总数为r1个个元素元素r2个个元素元素rk个个元素元素n个个元素元素因为因为43例例1 在在一一袋袋中中有有10 个个相相同
21、同的的球球，分分别别标标有有号号码码 1,2,10.从从中中任任取取一一个个球球，求求此此球球的的号号码码为为偶偶数的概率数的概率.解：解：令令A=“球的号码为偶数球的号码为偶数”.44例例2 在在一一袋袋中中有有10 个个相相同同的的球球，分分别别标标有有号号码码1,2,10.每每次次任任取取一一个个球球，记记录录其其号号码码后后放放回回袋袋中中，再再任任取取下下一一个个.这这种种取取法法叫叫做做“有有放放回回抽抽取取”.今今有有放放回回抽抽取取3个个球球，求求这这3个个球球的的号号码码均均为为偶数的概率偶数的概率.解：解：令令A=“3个球的号码均为偶数个球的号码均为偶数”.注意注意:此处为
22、有放回抽取此处为有放回抽取.45例例3 在在一一袋袋中中有有10 个个相相同同的的球球，分分别别标标有有号号码码1,2,10.每每次次任任取取一一个个球球，记记录录其其号号码码后后不不放放回回袋袋中中，再再任任取取下下一一个个.这这种种取取法法叫叫做做“不不放放回回抽取抽取”.今今不不放放回回抽抽取取3个个球球，求求这这3个个球球的的号号码码均均为偶数的概率为偶数的概率.解：解：令令A=“3个球的号码均为偶数个球的号码均为偶数”.注意注意:此处为无放回抽取此处为无放回抽取.46例例4 在在一一袋袋中中有有10 个个相相同同的的球球，分分别别标标有有号号码码1,2,10.今今任任取取两两个个球球
23、，求求取取得得的的第第一一个个球球号号码码为为奇数，第二个球的号码为偶数的概率奇数，第二个球的号码为偶数的概率.解解：设：设A=“取得的第一个球号码为奇数，取得的第一个球号码为奇数，第二个球的号码为偶数第二个球的号码为偶数”.注意：第一个球是奇数，且第二个球是偶数，注意：第一个球是奇数，且第二个球是偶数，有顺序要求，故要用排列去做有顺序要求，故要用排列去做.47例例5 设一批同类型的产品共有设一批同类型的产品共有 N 件，其中次品件，其中次品有有 M 件件.今从中任取今从中任取n（假定（假定n N-M）件，求）件，求次品恰有次品恰有k件的概率件的概率(0 k min(M,n).这是一种这是一种
24、无放回抽样无放回抽样.解：解：令令B=“恰有恰有k件次品件次品”.次品正品M件件次品次品N-M件件正品正品48例例 6 设有设有n个球，每个球都以同样的概率个球，每个球都以同样的概率1/N落落入到入到N个格子个格子(N n)的每一个格子，试求的每一个格子，试求(1)A=“某指定的某指定的n个格子中各有一球个格子中各有一球”的概率的概率.(2)B=“任何任何n个格子中各有一球个格子中各有一球”的概率的概率.解：解：49生日问题生日问题有有n 个人，设每个人的生日是个人，设每个人的生日是365天的任何天的任何一天是等可能的，试求至少有两人生日相同的概一天是等可能的，试求至少有两人生日相同的概率（率
25、（n365）.解解:设设A=“至少有两人同生日至少有两人同生日”,=“n个人的生日互不相同个人的生日互不相同”.则则关于生日问题有如下计算数据关于生日问题有如下计算数据:50 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994 求一个求一个50人的班级中，人的班级中，至少有两个人生日相同的至少有两个人生日相同的概率概率.人数人数 至少有两人同至少有两人同 生日的概率生日的概率51二、几何概型二、几何概型在概率论发展早期，人们就已经注意到只在概率论发展早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有
26、有限个样本点的随机试验是不够考虑那种仅有有限个样本点的随机试验是不够的，还必须考虑试验结果是的，还必须考虑试验结果是无穷多个无穷多个的情形，的情形，这中间最简单的一类是这中间最简单的一类是试验结果是无穷多个，试验结果是无穷多个，而又有某种而又有某种“等可能等可能”的情形的情形.52.G.g.如如 531.定义定义向向任任一一可可度度量量区区域域G内内投投一一点点，如如果果所所投投的的点点落落在在G中中任任意意可可度度量量区区域域g内内的的可可能能性性与与g的的度度量量成成正正比比，而而与与g的的位位置置和和形形状状无无关关，则则称称这这个个随随机机试试验验为为几几何何型型随随机机试试验验，或或简简称称为为几何概型几何概型.2.几何概率的计算几何概率的计算54作业作业：1.1,1.2,1.4,1.51.1,1.2,1.4,1.555