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1、概率论是研究什么的？概率论是研究什么的？概率论与数理统计的研究对象概率论与数理统计的研究对象随机现象：不确定性与统计规律性随机现象：不确定性与统计规律性概率论概率论研究和揭示随机现象的统研究和揭示随机现象的统计规律性的科学计规律性的科学 概率论与数理统计概率论与数理统计第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率第一节第一节 随机试验随机试验 随机事件随机事件第二节第二节 随机事件的概率随机事件的概率第三节第三节 条件概率条件概率第四节第四节 事件的独立性事件的独立性第五节第五节 伯努利概型伯努利概型第一节第一节 随机试验随机试验 随机事件随机事件一、概率论研究对象:随机现象1.1.确定性现
2、象确定性现象(或必然现象或必然现象)在一定的条件下在一定的条件下,必然会出现某种确定的结果必然会出现某种确定的结果.包括肯定出现和包括肯定出现和肯定不会出现的结果肯定不会出现的结果.如在标准大气压下如在标准大气压下,水烧到水烧到100100肯定会肯定会开开;再如石头不会变成小鸡再如石头不会变成小鸡(肯定不会发生肯定不会发生,也具有确定性也具有确定性)2.2.随机现象随机现象(或不确定性现象或不确定性现象)在一定的条件下在一定的条件下,可能会出现各种不同的结果可能会出现各种不同的结果.如抛一枚硬币如抛一枚硬币,观察出现的结果观察出现的结果,可能出现正面也可能出现反面朝上可能出现正面也可能出现反面
3、朝上.掷一颗均掷一颗均匀的骰子匀的骰子,观察出现的点数观察出现的点数,可能会有六种结果可能会有六种结果.3.3.随机试验的特点随机试验的特点1.1.可在相同条件下重复进行；可在相同条件下重复进行；2.2.试验可能结果不止一个试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果但能确定所有的可能结果;3.3.每次试验之前无法确定具体是哪种结果出现每次试验之前无法确定具体是哪种结果出现.随机试验可表示为随机试验可表示为E E 随机试验例子随机试验例子E1:E1:抛一枚硬币，分别用抛一枚硬币，分别用“H”“H”和和“T”“T”表示出正面和反面表示出正面和反面;E2:E2:从一批产品中任意取从一批产品中任意取
4、1010件样品件样品,观测其中的次品数；观测其中的次品数；E3E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;E4:E4:掷两颗骰子，考虑可能出现的点数之和；掷两颗骰子，考虑可能出现的点数之和；E5:E5:记录某网站一分钟内受到的点击次数；记录某网站一分钟内受到的点击次数；E6:E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命在一批灯泡中任取一只，测其寿命;E7:E7:任选一人，记录他的身高和体重任选一人，记录他的身高和体重.随机现象从表面上看随机现象从表面上看,由于人们事先不能知道会出现哪由于人们事先不能知道会出现哪一种结果一种结果,似乎是不可捉摸的似乎是不可捉摸的,
5、其实不然其实不然.如抛一枚均匀的硬如抛一枚均匀的硬币我们知道出现哪一面的机会都是一样的币我们知道出现哪一面的机会都是一样的(1/2)(1/2);而掷一颗而掷一颗均匀的骰子均匀的骰子,则出现每一种点数的机会均等则出现每一种点数的机会均等(1/6).(1/6).这些结果这些结果都是进行大量的重复试验都是进行大量的重复试验(观察观察)得来的结果得来的结果.二、概率论的研究范畴二、概率论的研究范畴:样本空间样本空间1.1.样本空间：试验的样本空间：试验的所有可所有可能结果所组成的集合称为样能结果所组成的集合称为样本空间，记为本空间，记为2.2.样本点样本点:试验的每一个结试验的每一个结果或样本空间的元
6、素称为一果或样本空间的元素称为一个样本点个样本点,记为记为3.3.由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集称为一个基本事件称为一个基本事件,也记为也记为 随机试验的样本点与样本随机试验的样本点与样本空间是由试验的目的决定空间是由试验的目的决定的的.例如连续抛一枚硬币例如连续抛一枚硬币两次两次,如果观察正面或反如果观察正面或反面朝上的情况面朝上的情况,并用数字并用数字1 1表示正面朝上表示正面朝上,数字数字0 0表示表示反面朝上反面朝上.具体情况如下具体情况如下:三三.随机事件随机事件1.定义 随机试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”,简称“事件”.记作A、B、C等任何事件均可
7、表示为样本空间的某个子集.称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素.2.两个特殊事件:必然事件、不可能事件例如 对于试验E3，以下A、B、C即为三个随机事件A“至少出一个正面”HHH,HHT,HTH,THH，HTT，THT，TTH；B=“三次出现同一面”=HHH,TTTC=“恰好出现一次正面”=HTT，THT，TTH再如，试验E6中D“灯泡寿命超过1000小时”x:1000 x)P P(B),(B),P P(B|A(B|A3 3)0,则事件则事件A与与B的交的概率的交的概率 P(AB)P(A)P(B|A)或者或者P（B）0时时,P(AB)P(B)P(A|B)称称为事件为事件A、B的概率乘
8、法公式。的概率乘法公式。(P18)上式上式可推广到三个事件的情形：可推广到三个事件的情形：P(ABC)P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB).P(A)P(B|A)P(C|AB).如何证明如何证明?一般地，可推出下列公式：一般地，可推出下列公式：P(A P(A1 1A A2 2AAn n)P(AP(A1 1)P(A)P(A2 2|A|A1 1).P(A).P(An n|A|A1 1AAn n1 1).).三、概率乘法公式三、概率乘法公式例1 设在10个同一型号的元件中有7个一等品,从这些元件上不放回地连续取三次,每次取一个求:(1)三次都取得一等品的概率;(2)三次中至少有一次取得一等品
9、的概率.(2)分析:三次中至少有一次取得一等品,包括正好取得一件一等品,正好取得两件一等品和正好取得三件一等品三种情形,直接计算比较烦琐,以下用逆事件求解,即三次都是非一等品例2 10个考签中有4个难签,3人参加抽签(不放回).甲先乙次丙最后,求:(1)甲抽到难签的概率;(2)甲和乙都抽到难签的概率;(3)甲没有抽到而乙抽到难签的概率;(4)甲,乙和丙都抽到难签的概率.解 设事件AB C分别表示甲乙和丙各抽到难签,于是有(一)全概率公式本节先用树图解决一些概率问题本节先用树图解决一些概率问题,然后再提炼出全概率公式然后再提炼出全概率公式例例1 1 连续两次掷一枚均匀硬币两次连续两次掷一枚均匀硬
10、币两次,所有可能的结果有哪些所有可能的结果有哪些?出现一次正面一次反面的概率是多少出现一次正面一次反面的概率是多少?解解 样本空间为样本空间为=(正正,反反),(),(正正,正正),(),(反反,正正),(),(反反,反反)事件事件A=(A=(正正,反反),(),(反反,正正),),故故P P(A)=2/4=1/2(A)=2/4=1/2用树图求解如下用树图求解如下,设设A Ai i表示第表示第i i次出现正面次出现正面(i=1,2)(i=1,2)正正反反正正反反正正反反P=1/2P=1/2P=1/2P=1/2P=1/2P=1/2第一次第一次第二次第二次从右边树图可以看出到达事件从右边树图可以看
11、出到达事件A=A=一一正正一一反反 有有两两条条路路径径(加加法法原原理理),),而而每每一一条条路路径径分分为为两两步步(乘乘法法原理原理),),于是所求的概率为于是所求的概率为四、树图在概率计算中的应用四、树图在概率计算中的应用例例2 2 在空战中在空战中,甲机先向乙机开火甲机先向乙机开火,击落乙机的概率为击落乙机的概率为0.2;0.2;若乙若乙 机未被击落机未被击落,就进行反击就进行反击,击落甲机的概率为击落甲机的概率为0.3;0.3;若甲机未被若甲机未被 击落击落,则继续攻击乙机则继续攻击乙机,击落乙机的概率为击落乙机的概率为0.4;0.4;求在这几个回求在这几个回 合的较量中合的较量
12、中:(1):(1)甲机被击落的概率甲机被击落的概率;(2);(2)乙机被击落的概率乙机被击落的概率.乙机落乙机落乙机未落乙机未落甲机落甲机落甲机未落甲机未落乙机落乙机落乙机未落乙机未落第一回合第一回合第二回合第二回合第三回合第三回合定义(P19)设试验E的样本空间为，事件A1，A2，An(n可为)两两互不相容，且 则称A1，A2，An为样本空间的一个（有限）分割或完全事件组.定理 设A1，,An是的一个分割，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件B 有 则这个公式称为全概率公式.在全概率公式中,条件 可改为例3 有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球这六个球
13、在手感上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？第一种可能第二种可能例1:市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2,且三家工厂的次品率分别为 2、1、3,现有某消费者从市场上购得该品牌产品而且是次品,问这件次品最有可能是哪个工厂的产品?先求总的次品率(二)贝叶斯公式定理(P20)设A1，,An是的一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件B ，有 则称该公式为贝叶斯公式.（逆概率公式）如果事件B是由于在两两互不容的事件A1，,An中某一个发生的情况下而发生的,并且知道各个事件Ai发生的
14、概率P(Ai)以及在事件Ai已经发生的条件下事件B发生的条件概率P(B|Ai)(i=1，2，n)，把事件A1，,An看作是导致事件B发生的原因，P(Ai)称为先验概率，如果事件B发生了，则这一信息将有助于探讨事件B发生的原因.条件概率P(Ai|B)(i=1,2,n)称为后验概率.条件概率 条件概率条件概率 小小 结结缩减样本空间 定义式 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式第四节 事件的独立性引例引例 设在设在1010个同一型号的元件中有个同一型号的元件中有7 7个一等品个一等品,从这些元件中从这些元件中有放回地连续取二次有放回地连续取二次,每次取一个每次取一个,求求:第二次都取得一等品的概第二次
15、都取得一等品的概率率.定义(P22)设A、B是同一试验E的两个事件，P(A)P(A)0,0,若若P(B)P(B)P(B|A)P(B|A)即P(AB)P(A)P(B)则称事件A与B是相互独立。一、两事件独立一、两事件独立以下四件事等价：以下四件事等价：(1)(1)事件事件 相互独立；相互独立；(2)(2)事件事件 相互独立；相互独立；(3)(3)事件事件 相互独立；相互独立；(4)(4)事件事件 相互独立相互独立。思考题思考题:互不相容事件和独立事件有关系吗互不相容事件和独立事件有关系吗?二、多个事件的独立(一)多个事件两两独立 例2 一均匀正八面体,其第1,2,3,4面染红色,第1,2,3,5
16、面染白色,第1,6,7,8面染黑色,以A、B、C分别表示投一次正八面体出现红、白、黑事件,则有(二)多个事件的独立性的定义定义定义 若三个事件若三个事件A A、B B、C C满足：满足：(1)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),(1)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称事件则称事件A A、B B、C C两两相互独立；两两相互独立；定义(p24)若n个事件A1,A2,An(n3),若其中任意k个事件 加法公式加法公式独立性的定义独立性的定义提取公因子提取公因子加法公式加法公式三、应用独
17、立性计算概率1.应用公式计算概率例例1 1 一个元件能正常工作的概率称为一个元件能正常工作的概率称为这个元件的可靠性这个元件的可靠性,一个系统能正常工一个系统能正常工作的概率称为这个系统的可靠性作的概率称为这个系统的可靠性.设一设一个系统由四个元件按右图组成个系统由四个元件按右图组成,各个元各个元件能否正常工作是相互独立的件能否正常工作是相互独立的,且每个且每个元件的可靠性都等于元件的可靠性都等于p(0p1),p(0p1),求这个系统的可靠性。求这个系统的可靠性。2.2.独立性独立性在可靠性理论上的在可靠性理论上的应用应用解解 设设A Ai i表示第表示第i i个元件能正常工作个元件能正常工作
18、(i=1,2,3,4),(i=1,2,3,4),事件事件A A表示系统表示系统LRLR能正常工作，则有能正常工作，则有加法公式加法公式德摩根定德摩根定律律第五节第五节 伯努利概型伯努利概型一一.伯努利概型的特点伯努利概型的特点(P25)(P25)1.1.重复重复:试验重复进行试验重复进行n n次次;2.2.独立独立:每次试验是独立的每次试验是独立的,即每次试验结果出现的概率即每次试验结果出现的概率 不依赖于其它各次试验的结果不依赖于其它各次试验的结果.3.3.每次试验的结果只有两个每次试验的结果只有两个,即事件即事件A A出现或是不出现出现或是不出现.二二.伯努利概型的计算伯努利概型的计算 事
19、件事件A A在在n n次独立试验中恰好出现次独立试验中恰好出现(发生发生)k)k次的概率次的概率.定理定理 在伯努利概型中在伯努利概型中,设事件设事件A A在每次试验中发生的概率为在每次试验中发生的概率为P(A)=p(0p1),P(A)=p(0p1),则在则在n n次试验中事件次试验中事件A A恰好发生恰好发生k k次的概率为次的概率为定理的解释定理的解释:先看比较简单的试验先看比较简单的试验,试验共进行试验共进行3 3次次,求在这求在这3 3次次试验中事件试验中事件A A正好发生正好发生2 2次的概率次的概率.事件事件A A在在3 3次试验中出现次试验中出现2 2次的可能情况如下次的可能情况
20、如下:试试验验概概率率第一第一次次第二第二次次第三第三次次乘法乘法原理原理第一第一次次第二第二次次第三第三次次第一第一次次第二第二次次第三第三次次三.常见题型另解另解概率很小的随机事件在一次试验中实际上是几乎不发生的,这一原理叫做小概率事件的实际不可能性原理小概率事件的实际不可能性原理,又称为实际实际推断原理推断原理,它有着广泛的应用.例5 设在独立重复试验中每次试验成功的概率为0.5,问需要进行多少次试验,才能使至少成功一次的概率不小于0.9?解 设需要进行 n 次独立重复试验,则在试验中至少成功一次的概率为 1-Pn(0)=1-(1-0.5)n由条件1-(1-0.5)n0.9,可解得n1/(lg2)3.3所以 n=4,即需要 4 次试验,才能使至少成功一次的概率不小于 0.9.