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1、 1现在转入课程的第二部分现在转入课程的第二部分数理统计数理统计数理统计的特点是应用面广，分支数理统计的特点是应用面广，分支较多较多,社会的发展不断向统计提出新的问社会的发展不断向统计提出新的问题题。2从历史的典籍中，人们不难发现许从历史的典籍中，人们不难发现许多关于钱粮、户口、地震、水灾等等的多关于钱粮、户口、地震、水灾等等的记载，说明人们很早就开始了统计的工记载，说明人们很早就开始了统计的工作作.但是当时的统计，只是对有关事实但是当时的统计，只是对有关事实的简单记录和整理，而没有在一定理论的简单记录和整理，而没有在一定理论的指导下，作出超越这些数据范围之外的指导下，作出超越这些数据范围之外
2、的推断的推断.3到了十九世纪末二十世纪初，随着到了十九世纪末二十世纪初，随着近代数学和概率论的发展，才真正诞生近代数学和概率论的发展，才真正诞生了数理统计学这门学科了数理统计学这门学科.4 概率论概率论与与数理统计数理统计是两个有密切联系是两个有密切联系的学科的学科,它们都以随机现象的统计规律为它们都以随机现象的统计规律为研究对象研究对象.但在研究问题的方法上有很大区别：但在研究问题的方法上有很大区别：概率论概率论 已知随机变量服从某分布已知随机变量服从某分布,寻求分布的性质、数字特征、及其应用寻求分布的性质、数字特征、及其应用;数理统计数理统计 通过对试验数据的统计通过对试验数据的统计分析分
3、析,寻找所服从的分布和数字特征寻找所服从的分布和数字特征,从而从而推断总体的规律性推断总体的规律性.5它们构成了统计推断的两种基本形式它们构成了统计推断的两种基本形式.这两这两种推断渗透到了数理统计的每个分支种推断渗透到了数理统计的每个分支.概括起来可以归纳成两大类概括起来可以归纳成两大类:参数估计参数估计根据数据根据数据,用一些方法对分布的用一些方法对分布的未知参数进行估计未知参数进行估计.假设检验假设检验根据数据根据数据,用一些方法对分布的用一些方法对分布的未知参数进行检验未知参数进行检验.数理统计的核心问题数理统计的核心问题由样本推断总体由样本推断总体 6第第6章章 数理统计的基本概念数
4、理统计的基本概念6.1 6.1 总体和样本总体和样本6.3 6.3 抽样分布抽样分布6.2 6.2 数理统计中的某些常用分布数理统计中的某些常用分布6.1 总体和样本总体和样本一、总体与个体一、总体与个体二、二、样本样本与简单随机样本与简单随机样本三、统计量三、统计量 8个体：个体：一、总体与个体一、总体与个体总体总体:所研究的对象的全体所研究的对象的全体,也称母体也称母体.一般用一般用表示表示某工厂生产的产品的某项指标某工厂生产的产品的某项指标民意测验的全体对象民意测验的全体对象某林区的树木直径某林区的树木直径组成总体的单个对象组成总体的单个对象,一般用一般用表示表示 9抽样抽样:从总体中抽
5、取一部分个体的过程从总体中抽取一部分个体的过程随机抽样随机抽样:从总体中随机抽取一部分个体的过程从总体中随机抽取一部分个体的过程简单随机抽样简单随机抽样:总体中每个个体等可能被抽取的总体中每个个体等可能被抽取的随机抽样随机抽样样本样本:经抽样取得的个体的集合经抽样取得的个体的集合二、二、样本样本与简单随机样本与简单随机样本 10简单随机样本简单随机样本:经简单随机抽样取得的个体的集合经简单随机抽样取得的个体的集合样本点样本点:样本中的个体样本中的个体样本容量样本容量:样本中包含的个体的数量样本中包含的个体的数量样本观测值样本观测值:对样本进行观测的结果对样本进行观测的结果,以后未经声明以后未经
6、声明 抽样即为简单随机抽样抽样即为简单随机抽样样本即为简单随机样本样本即为简单随机样本 11常见的要求和叙述常见的要求和叙述:样本的同分布性和相互独立性样本的同分布性和相互独立性 12三、统计量三、统计量对所研究的对象收集了有关样本的数据对所研究的对象收集了有关样本的数据后后,还要对数据进行加工和提炼还要对数据进行加工和提炼,将样本的有关将样本的有关信息信息,利用数学的工具进行加工利用数学的工具进行加工.引入统计量的概念引入统计量的概念 13定义定义 14例例1为一个统计量为一个统计量为一个统计量为一个统计量不是统计量不是统计量 15不是统计量不是统计量为一个统计量为一个统计量为一个统计量为一
7、个统计量 16常见统计量常见统计量:样本均值样本均值样本方差样本方差显然显然 17样本均方差样本均方差样本标准差样本标准差样本修正方差样本修正方差显然显然样本样本k阶中心矩阶中心矩样本样本k阶原点矩阶原点矩显然显然6.2 数理统计中的某些常用分布数理统计中的某些常用分布一、一、2 2 分布分布二、二、t t 分布分布三、三、F F 分布分布 19 2 2分布的分布的定义及概率密度定义及概率密度一、一、2 2 分布分布 20分布的密度函数为分布的密度函数为来定义来定义.其中伽玛函数其中伽玛函数通过积分通过积分 21 2分布的密度函数的图形分布的密度函数的图形 22(1)设设且且X1,X2相互独立
8、，相互独立，则则(2)设设相互独立相互独立,都服从正态分布都服从正态分布则则分布的可加性分布的可加性 23 2 2分布的分布的期望和方差期望和方差 24(临界值临界值)25例例1查表求临界值查表求临界值 26例例2 2 设设是来自总体是来自总体的样本的样本,又设又设试求常数试求常数解解因为因为所以所以且相互独立且相互独立,于是于是故应取故应取则有则有使使服从服从分布分布.27设设XN(0,1),Y 2(n),且且X,Y相互独立相互独立,服从自由度为服从自由度为n的的t分布分布.记为记为 tt(n).t t分布的分布的定义及概率密度定义及概率密度二、二、t t分布分布称称随机变量t分布的密度函数
9、为：分布的密度函数为：28 29 30查分位数的重要公式查分位数的重要公式 31查表求下列临界值查表求下列临界值例例3 32例例4 设随机变量设随机变量随机变量随机变量均服从均服从且且都相都相互独立互独立,令令试求试求的分布的分布,并确定并确定的值的值,使使解解由于由于故由故由分布的定义知分布的定义知 33即即服从自由度为服从自由度为4的的分布分布:由由 34三、三、F F 分布分布F F 分布的分布的定义及概率密度定义及概率密度 35 36 37定理定理证明证明:38例例5查表求下列分位数查表求下列分位数 39例例6 40例例7 设总体设总体服从标准正态分布服从标准正态分布,是来自总体是来自
10、总体的一个简单随机样本的一个简单随机样本,试问统计量试问统计量服从何种分布服从何种分布?解解因为因为且且与与相互独立相互独立,所以所以再由统计量再由统计量的表达式的表达式,即得即得 41作业作业P156 练习6.21.2.6.3 抽样分布抽样分布一、一个一、一个正态总体的正态总体的抽样分布抽样分布二、二个二、二个正态总体的正态总体的抽样分布抽样分布 43样本均值样本均值样本方差样本方差样本修正方差样本修正方差它们的数学期望或方差为它们的数学期望或方差为一、一个一、一个正态总体的正态总体的抽样分布抽样分布 44 45 46因此因此 47定理定理或或-(1)-(2)48n取不同值时样本均值取不同值
11、时样本均值的分布的分布 49n取不同值时取不同值时的分布的分布 50推论推论(1)(2)事实上事实上 51例例1 设设为为的一的一个样本个样本,求求:样本均值样本均值的数学期望与方差的数学期望与方差;解解由于由于样本容量样本容量所以所以于是于是 52例例2 在设计导弹发射装置时在设计导弹发射装置时,重要事情之一是研重要事情之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差究弹着点偏离目标中心的距离的方差.对于一类对于一类导弹发射装置导弹发射装置,弹着点偏离目标中心的距离服从弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布正态分布这里这里现在进现在进行了行了25次发射试验次发射试验,用用记这记这25次试验中弹次试验中
12、弹着点偏离目标中心的距离的样本着点偏离目标中心的距离的样本修正修正方差方差,试求试求超过超过50米米 的概率的概率.解解根据题意根据题意,有有 53于是于是于是我们可以以超过于是我们可以以超过的概率断言的概率断言,超过超过50米米 54例例3 从正态总体从正态总体中抽取容量为中抽取容量为10的的样本样本是样本的均值是样本的均值,若若未未知知,计算概率计算概率与与解解 由由有有而而 55故故 56例例4 从正态总体从正态总体中抽取容量为中抽取容量为 1616的一个样本的一个样本,分别为样本均值和样本修正分别为样本均值和样本修正求求:的方差的方差及概率及概率解解根据题意根据题意,得得所以所以若若均
13、未知均未知,于是于是方差方差.57当当时时,58则有则有二、二个二、二个正态总体的正态总体的抽样分布抽样分布定理定理 59事实上由事实上由(2)式式 60事实上由事实上由(2)式式 61例例5 设两个总体设两个总体与与都服从正态分布都服从正态分布今从总体今从总体与与中分别抽得容量中分别抽得容量的两个相互独立的样本的两个相互独立的样本,求求解解 由题设知由题设知于是于是 62解解 由题设知由题设知例例6 分别从方差为分别从方差为20与与35的正态总体抽取容的正态总体抽取容量为量为8和和10的两个样本，求第一个样本修正的两个样本，求第一个样本修正方差方差 是第二个样本修正方差是第二个样本修正方差 的的20倍的倍的概率概率.63作业作业P163 练习6.31.2.3.4.5.P163习题六