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1、1.3 概率的定义与运算概率的定义与运算 对于事件发生的的可能性大小，需要用对于事件发生的的可能性大小，需要用一个数量指标去刻画它，这个指标应该是随一个数量指标去刻画它，这个指标应该是随机事件本身所具有的属性，不能带有主观性，机事件本身所具有的属性，不能带有主观性，且能在大量重复实验中得到验证，必须符合且能在大量重复实验中得到验证，必须符合常情。常情。我们把刻画事件发生的可能性大小的我们把刻画事件发生的可能性大小的数量指标叫做事件的概率。数量指标叫做事件的概率。直观定义直观定义 事件事件A 出现的可能性大小出现的可能性大小.古典古典定义定义几何定义几何定义统计定义统计定义 3.1 概率的定义及
2、其确定方法00.51P(B)P(A)概率概率 对随机事件发生可能性大小的度量对随机事件发生可能性大小的度量 概率的直观定义概率的直观定义次实验中发生的可能性是一样的次实验中发生的可能性是一样的.1 1、古典概率、古典概率 古典概率是一类比较简单古典概率是一类比较简单,直观的随机直观的随机试验试验,有以下两个明显特征有以下两个明显特征:（1 1）试验所有可能的结果个数有限）试验所有可能的结果个数有限,即基即基本事件个数有限，分别记为本事件个数有限，分别记为样本空间为样本空间为（2 2）各个试验结果各个试验结果在每在每 设设 为样本空间，若为样本空间，若 只含有限个样本点只含有限个样本点;每个样本
3、点出现的可能性相等，每个样本点出现的可能性相等，则事件则事件A的概率为的概率为:P(A)=A中样本点的个数中样本点的个数/样本点总数样本点总数 1 确定概率的古典方法确定概率的古典方法求概率问题转化为计数。求概率问题转化为计数。抛一枚硬币三次 抛三枚硬币一次 1=(正正正),(反正正),(正反正),(正正反),(正反反),(反正反),(反反正),(反反反)此样本空间中的样本点等可能等可能.2=(三正),(二正一反),(二反一正),(三反)此样本空间中的样本点不等可能不等可能.注注 意意常见模型常见模型1 不返回抽样2 返回抽样3 盒子模型4 配对模型16r2345123n-1n例例将将r个球置
4、于个球置于n个箱中（每个球以个箱中（每个球以1/n的概率被置入某一特的概率被置入某一特定箱中）定箱中）,若若nr,试求任一箱内的球数均不超过试求任一箱内的球数均不超过1的概率的概率.解：先计算样本空间总数解：先计算样本空间总数第一个球置于一箱中，第一个球置于一箱中，共有共有n种放法种放法;相继将每一个球置于一箱中都有相继将每一个球置于一箱中都有n种放法；种放法；11111111nn n n=这样放完这样放完r个球构成一个可能的结果（样本点），个球构成一个可能的结果（样本点），nr再计算事件再计算事件A所包含的样本点数：所包含的样本点数：第一个球置于一箱中，共有第一个球置于一箱中，共有n种放法种
5、放法;第二个球由于不能放到第一个球所在箱，所以只有第二个球由于不能放到第一个球所在箱，所以只有n 1 1种放法种放法第第r 个球不能放到前个球不能放到前r 1 1个球所在箱，所以只有个球所在箱，所以只有n r+1 1种放种放法法事件事件A所包含的样本点数所包含的样本点数（同时定义样本点）（同时定义样本点）由乘法原理，由乘法原理，r个球的不同的放法有个球的不同的放法有事件事件A （生日问题生日问题）假定每个人的生日在一年）假定每个人的生日在一年365天中天中的每一天的可能性是均等的。设某宴会上有的每一天的可能性是均等的。设某宴会上有 个人（个人（），问此），问此 个人中至少有两人生日在同一天的概
6、率为个人中至少有两人生日在同一天的概率为多少？多少？例例解：解：设设 表示表示至少有两人生日在同一天至少有两人生日在同一天则则 表示表示 每个人的生日全不相同每个人的生日全不相同人人任一天任一天从而从而有意思的是：有意思的是：显然，人数显然，人数 时，事件时，事件“至少有两人生日在同至少有两人生日在同一天一天”发生的概率就超过了发生的概率就超过了50%，而当，而当 ，竟，竟达到了达到了97%！因此在研究随机现象时，直觉有时因此在研究随机现象时，直觉有时并不可靠！并不可靠！我们班生日在我们班生日在同一天？同一天？许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型
7、 有有n个旅客，乘火车途经个旅客，乘火车途经N N个车站，设每个人在每站下车个车站，设每个人在每站下车的概率为的概率为1/N(N n)，求指定的，求指定的n个站各有一人下车的概率个站各有一人下车的概率.旅客旅客车站车站 某城市每周发生某城市每周发生7 7次车祸，假设每天发生车祸的概率相同次车祸，假设每天发生车祸的概率相同.求每天恰好发生一次车祸的概率求每天恰好发生一次车祸的概率.车祸车祸天天例例 设设100100件产品中有件产品中有5 5件次品件次品,现从中任意抽出现从中任意抽出3 3件，求：件，求：恰有恰有2 2件是次品被抽出的概率件是次品被抽出的概率.解法一：设样本点为从解法一：设样本点为
8、从100件产品抽出件产品抽出3件的组合件的组合正品正品 95 件件M件件次品次品100 件产品件产品A总数：总数：计算计算A的样本点数分两步：的样本点数分两步：从从5件次品中抽出件次品中抽出2件，件，从从95件正品中抽出件正品中抽出1件件N 件产品件产品次品次品 5 件件次品次品 M 件件正品正品 N-M 件件这是一种无放回抽样情形，这是一种无放回抽样情形，有放回抽样时有放回抽样时P(A)=)=？2、几何概率几何概率 早在概率论发展初期，人们就认识到，早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的。的。在古典概型中在古典概型
9、中,把试验个数有限改为无限，把试验个数有限改为无限，等可能性不变。人们引入了几何概型。由此形等可能性不变。人们引入了几何概型。由此形成了确定概率的另一方法成了确定概率的另一方法几何方法。几何方法。2 2 确定确定概率的几何方法概率的几何方法 若 样本空间充满某个区域，其度量(长度、面 积、体积)为S；落在中的任一子区域A的概率，只与子区域的度量SA有关，而与子区域的位置无关(等可能的等可能的)则事件A的概率为:P(A)=SA/S 例例 甲、乙两个相约在甲、乙两个相约在0 0到到T这段时间内在这段时间内在预定地点会面，先到的人等候另一个，经过时预定地点会面，先到的人等候另一个，经过时间间t离去。
10、设每人在离去。设每人在0 0到到T这段时间内各时刻到这段时间内各时刻到达该地是等可能的，且两人到达的时刻互不相达该地是等可能的，且两人到达的时刻互不相连。试求甲、乙两人能会面的概率？连。试求甲、乙两人能会面的概率？解解 以以x、y表示甲、乙两人到达的时刻，则表示甲、乙两人到达的时刻，则若以若以x、y表示平面上点的坐标，而所有可能表示平面上点的坐标，而所有可能到达时刻组成的点可以用平面上边长为到达时刻组成的点可以用平面上边长为T T的的正方形正方形 内所有的点表示出内所有的点表示出来，两人能会面的充分必要条件是：来，两人能会面的充分必要条件是：则所求的概率为：则所求的概率为：3 3、概率的统计定
11、义、概率的统计定义 在一般情况下，是不是可以用数字来度在一般情况下，是不是可以用数字来度量随机事件发生的可能性的大小呢量随机事件发生的可能性的大小呢？为了回？为了回答这个问题，我们先引进频率的概念。答这个问题，我们先引进频率的概念。设随机事件设随机事件A在在n次实验中发生了次实验中发生了r次，则次，则称比值称比值 为这为这n次实验中事件次实验中事件A A发生的频率，发生的频率，即即 在了解了定义之后，下面我们从试验入在了解了定义之后，下面我们从试验入手，揭示随机事件一个极其重要的特征：手，揭示随机事件一个极其重要的特征：频率在一定程度上反映了事件发生的可频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大
12、小。尽管每进行一连串（能性大小。尽管每进行一连串（n次）试验，次）试验，所得到的频率可以各不相同，但只要所得到的频率可以各不相同，但只要n相当相当大，频率与概率是会非常接近的。大，频率与概率是会非常接近的。频率稳定性频率稳定性频率频率概率概率 指的是：当各轮试验次数指的是：当各轮试验次数n1,n2,ns 充分大时，在各轮试验中事件充分大时，在各轮试验中事件A出现的频率越来越接近某一确定的常数，这出现的频率越来越接近某一确定的常数，这个常数可以反映个常数可以反映A A发生的可能性大小。发生的可能性大小。频率稳定性频率稳定性 这种稳定性为用统计方法求概率的数值这种稳定性为用统计方法求概率的数值开拓
13、了道路。在实际中，当概率不易求时开拓了道路。在实际中，当概率不易求时 ，人们常取实验次数很大时事件的频率作为概人们常取实验次数很大时事件的频率作为概率的估计值，称此概率为率的估计值，称此概率为:统计概率。统计概率。例例 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷 5次、次、50次、次、500次次,各做各做7遍，遍，观察正面出观察正面出现的次数及频率现的次数及频率.表明：随着表明：随着n的增加，事件的频率将呈现出稳定性，稳定于的增加，事件的频率将呈现出稳定性，稳定于0.5波动最小波动最小 0.5n=50n=500f5(A)f50(A)f500(A)n=5波动较大波动较大 试验试验序号序号n=5n=50n=50
14、0 nHfnHfnHf120.4220.442510.502230.6250.502490.498310.2210.422560.512451.0250.502470.494510.2240.482510.502620.4180.362620.524740.8270.542580.516历史上的掷硬币试验历史上的掷硬币试验稳定于稳定于试验者试验者抛掷次数抛掷次数n正面出现次正面出现次数数m正面出现频正面出现频率率m/n德德.摩尔根摩尔根204810610.518蒲丰蒲丰404020480.5069皮尔逊皮尔逊1200060190.5016皮尔逊皮尔逊24000120120.5005维尼维尼30
15、000149940.4998n 的增大的增大实验结果与主观一致实验结果与主观一致!例例2（新生儿性别新生儿性别）北京妇产医院）北京妇产医院6年中新生婴儿的数年中新生婴儿的数量和性别统计量和性别统计年份年份新生儿总数新生儿总数 男孩数男孩数 女孩数女孩数 生男孩的频率生男孩的频率19725544288326610.520019744063208719760.513719753913203918740.521119773670188317870.513119784250217720730.512219794055213819170.5273总计总计2549513207122880.5180实验结果
16、与主观不一致实验结果与主观不一致!例例3（数理语言学（数理语言学:英文字母的使用频率英文字母的使用频率）字母字母使用频率使用频率字母字母使用频率使用频率字母字母使用频率使用频率A0.0788J0.0010S0.0634B0.0156K0.0060T0.0978C0.0268L0.0394U0.0280D0.0389M0.0244V0.0102E0.1268N0.0706W0.0214F0.0256O0.0776X0.0016G0.0187P0.0186Y0.0202H0.0573Q0.0009Z0.0006I0.0707R0.0594没有主观结果没有主观结果!3 确定概率的频率方法确定概率的频
17、率方法随机试验可大量重复进行.进行n次重复试验，记 n(A)为事件A的频数，称 为事件A的频率频率.频率fn(A)会稳定于某一常数(稳定值稳定值)用频率的稳定值作为该事件的概率.在学习几何和代数时，我们已经知道公理在学习几何和代数时，我们已经知道公理是数学体系的基础。是数学体系的基础。数学上所说的数学上所说的“公理公理”，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一步的内容。基础，推演出所讨论对象的进一步的内容。二、概率的公理化定义与运算二、概率的公理化定义与运算概率的公理化定义：概率的公理化定义：设设E 是随机试验，是随机试验，
18、是它的样本空间，对是它的样本空间，对公理3 若事件A1,A2,两两互不相容，则有这里事件个数可以是有限或无限的。公理1(1)(1)公理2(2)(2)于 中的每一个事件A，赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数 满足下述三条公理:非负性非负性规范性规范性可列可列(有限有限)可加性可加性1933年年,kolmogorov 柯尔莫哥洛夫柯尔莫哥洛夫 性质1 P()=0 注注：逆不一定成立 是有限个两两互斥的事件，则性质2（加法原理）若该性质用公理3可以证明。性质3对任一事件A，有概概率率的的可可加加性性概率的性质概率的性质证明证明:则有则有性质性质4 若A、B是事件，且A B推论
19、推论 P(AB)=P(A)P(AB).概概率率的的单单调调性性概率的加法公式 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)证明证明P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)（1）A、B互斥；（2）（3）例例 设事件A,B的概率分别为 求下列情况下 的值例例 设P(A)=a，P(B)b，P(AB)=c，试用a,b,c表示下列事件的概率。例例 由德摩根律和对立事件的概率，可得由德摩根律和对立事件的概率，可得解：解：又由加法定理，又由加法定理，所以所以从而从而n 个人、n 顶帽子，任意取，至少一个人拿对自己帽子的概率.记 Ai=“第 i 个人拿对自己的帽子”，i=1,n.求 P(A1A2An)用加法公式：配对模型P(Ai)=1/n,P(AiAj)=1/n(n1),P(AiAjAk)=1/n(n1)(n2),P(A1A2 An)=1/n!P(A1A2An)=赌博中发现，一对骰子掷25次，把赌注押 例例 （德梅尔问题）1654年德梅尔在到“至少出现一次双六”比把“没有出现双六”掷25次没有出现双六的概率是没有出现双六的概率是 解：一对骰子掷一次出现双六的概率是 更有利。掷25次至少出现一次双六的概率是没有出现双六”有利。所以把赌注押到“至少出现一次双六”比“没