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1、一轮复习大题专练51立体几何（线面角3）1已知三棱柱，侧面为矩形，平面平面（1）求证：；（2）若二面角的余弦值为，为中点，求与面所成角的正弦值2图1是直角梯形，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2（1）求证：平面平面；（2）已知点为线段上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值3如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，点，分别在线段和上，且（1）求证：平面；（2）设二面角大小为，若，求直线和平面所成角的正弦值4如图，四边形是圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于，的点（1）求证：平面；（2）若圆柱的侧面积为，体积为，点为线段上靠近点的三等分点，设，是否存在角使得直线与平面所成角的正弦值最大？
2、若存在，求出相应的正弦值，并求出；若不存在，说明理由5在四棱锥中，为等腰直角三角形，过的平面分别交线段，于，在线段上，不同于端点）（）求证：平面；（）若为的中点，且平面，求直线与平面所成角的正弦值6如图1，在平面四边形中，且为等边三角形设为中点，连结，将沿折起，使点到达平面上方的点，连结，设是的中点，连结，如图2（1）证明：平面；（2）若二面角为，设平面与平面的交线为，求与平面所成角的正弦值一轮复习大题专练51立体几何（线面角3）1已知三棱柱，侧面为矩形，平面平面（1）求证：；（2）若二面角的余弦值为，为中点，求与面所成角的正弦值（1）证明：取中点，由于是正三角形，所以，又因为为矩形，而三棱柱
3、中，所以，从而面，则，所以（2）解：面面，面，设，如图，以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系，则，0，0，0，面法向量即为，设面法向量为，则，所以所给二面角余弦为，所以此时，面法向量为，所求角的正弦值为：，所以，所成角的正弦值为2图1是直角梯形，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2（1）求证：平面平面；（2）已知点为线段上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值（1）证明：如图1，连接，由题意可知，因为且，所以四边形为菱形，连接交于点，则，在中，所以，在图2中，因为，所以，又，平面，所以平面，又平面，故平面平面；（2）解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
4、则，设，则，因为，则，解得，故点，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，故，又，所以，故直线与平面所成角的正弦值为3如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，点，分别在线段和上，且（1）求证：平面；（2）设二面角大小为，若，求直线和平面所成角的正弦值（1）证明：连接，交于点，因为，所以，因为，则，则，故，又平面，平面，故平面；（2）解：取的中点，连接，因为为正三角形，则，因为为直角梯形，故四边形为矩形，则，又，平面，所以平面，又平面，故平面平面，所以为二面角的平面角，故，且，设，由余弦定理可得，所以，整理可得，解得或（舍，过点作，交于点，因为，且平面，故平面，又平面，则平面平面，又平面平
5、面，平面，所以平面，故即为点到平面的距离，又，平面，平面，所以平面，故即为点到平面的距离，因为，则，所以，即，解得，又，故直线与平面所成角的正弦值为4如图，四边形是圆柱的轴截面，点为底面圆周上异于，的点（1）求证：平面；（2）若圆柱的侧面积为，体积为，点为线段上靠近点的三等分点，设，是否存在角使得直线与平面所成角的正弦值最大？若存在，求出相应的正弦值，并求出；若不存在，说明理由（1）证明：因为是圆的直径，点是圆周上一点，所以，即，又在圆柱中，母线底面，底面，所以，又，平面，平面，所以平面；（2）解：设圆柱底面半径为，母线为，则，解得，在中，过作交于点，由（1）知平面，又平面，所以，又，平面，所
6、以平面，若与不重合，则即为直线与平面所成的角；若与重合，直线与平面所成的角为，设，在中，在中，于是，当且仅当，即，即时等号成立，故时，直线与平面所成的角的正弦值最大，最大值为15在四棱锥中，为等腰直角三角形，过的平面分别交线段，于，在线段上，不同于端点）（）求证：平面；（）若为的中点，且平面，求直线与平面所成角的正弦值（）证明：，平面，平面，平面，又平面，平面平面，又平面，平面，平面（）解：作于，连接，由三垂线定理有，在中，在中，为的中点，为的中点，平面平面，直线与平面所成角，即直线与平面所成角平面，又，平面，平面平面，过点作交于点，连接，则平面是直线与平面所成角，直线与平面所成角的正弦值为6如图1，在平面四边形中，且为等边三角形设为中点，连结，将沿折起，使点到达平面上方的点，连结，设是的中点，连结，如图2（1）证明：平面；（2）若二面角为，设平面与平面的交线为，求与平面所成角的正弦值解：（1）证明：在平面中，设、的延长线交于点，连结，在中，设，则，且，且为中点，是中点，平面，平面，平面（2）在图1中，是中点，即，在图2中，、平面，平面，平面，平面平面，且是二面角的平面角，二面角为，设为中点，连结，则，且平面，过作，则平面，以为坐标原点，分别以、为，轴，建立空间直角坐标系，则，0，0，1，0，平面平面，设平面的一个法向量为，则，取，得，设与平面所成角为，则，与平面所成角的正弦值为