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1、专题9.7立体几何线面角1在三棱柱中，侧面是正方形，（1）求证：平面平面；（2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为？2如图，在直三棱柱中，（1）求异面直线和所成角的大小；（2）求直线和平面所成角的大小3如图，四棱台中，底面为正方形，平面，且，（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长4如图所示，在三棱锥中，（1）求证：平面；（2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值5如图，在多面体中，均垂直于平面，（1）证明：平面；（2）求与平面所成角的余弦值6如图，在直三棱柱中，分别是棱，的中点，点在线段上（包括两个端点）运动（1）当为线段的中点时，求证：；（2）求直线与平面所成的
2、角的正弦值的取值范围专题9.7立体几何线面角1在三棱柱中，侧面是正方形，（1）求证：平面平面；（2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为？解：（1）取中点，连接，故，四边形是正方形，故，故，平面，平面，故平面平面（2）以，为，轴建立空间直角坐标系，则，0，1，由得到，设，则，据此可得，则平面的一个法向量，即，所以，即为的中点2如图，在直三棱柱中，（1）求异面直线和所成角的大小；（2）求直线和平面所成角的大小解：（1）因为为直三棱柱，所以平面，又，平面，则，又，则，两两垂直，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，0，0，0，2，故，设异面直线和所成角为，所以，又，所以，故异面直线
3、和所成角的大小为；（2）由（1）可知，又，设平面的法向量为，所以，令，则，故，设直线和平面所成角为，所以，因为，所以，故直线和平面所成角的大小为3如图，四棱台中，底面为正方形，平面，且，（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长（1）证明：延长侧棱交于点，连结交于点，连结，由条件可知，分别为与的中点，所以，又平面，平面，所以平面；（2）解：如图，建立空间直角坐标系，则，0，0，4，4，设，2，则，1，所以，4，1，设平面的法向量，则，令，则，所以，设直线与平面所成角为，所以，整理得，解得或，所以，2，或，2，所以或，所以或4如图所示，在三棱锥中，（1）求证：平面；（2）若为的
4、中点，求直线与平面所成角的正弦值（1）证明：因为，所以在中，由余弦定理得，所以，又，所以，即，又，所以平面；（2）作交于，又平面，所以以，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，在三角形中，由正弦定理得，故，所以，即，所以，所以，又，0，所以，设平面的法向量为，所以，令，所以，所以，设直线与平面所成角为，所以，即直线与平面所成角的正弦值为5如图，在多面体中，均垂直于平面，（1）证明：平面；（2）求与平面所成角的余弦值（1）证明：连接，由且，四边形为平行四边形，即，由为等腰梯形，结合题设：，则由平面，平面，则，又，平面，故平面（2）解：法一：过作于，延长至使，过作交于，连接，面，面，则，又，面，
5、即为平行四边形，则四边形为平行四边形，面，则即为所求线面角，由题意：，在梯形中，易得，所以，得，则，在中，易得，则法二：以为坐标原点，为轴，为轴，作轴，建立空间直角坐标系，易得，0，设面的一个法向量为，由，可得，记与面所成角为，即与面所成角的余弦值为6如图，在直三棱柱中，分别是棱，的中点，点在线段上（包括两个端点）运动（1）当为线段的中点时，求证：；（2）求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围由题意可知，两两垂直，分别以，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，0，0，2，2，因为，分别是棱，的中点，所以，2，1，（1）证明：当为线段的中点时，0，所以，又，所以，即（2）解：因为点在线段上运动，所以设，得，0，所以设平面的一个法向量为，因为，所以由，得，取，则，所以设直线与平面所成的角为，则，因为，所以，设，则，所以，设，则，设，则，易求得的取值范围为，所以的取值范围为，所以直线与平面所成角的正弦值的取值范为