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1、 一个人走在灯火通明的大街上，会一个人走在灯火通明的大街上，会在地面上形成影子，随着人不停的走动，在地面上形成影子，随着人不停的走动，这个影子忽前忽后、忽左忽右，但是无这个影子忽前忽后、忽左忽右，但是无论怎样，人始终与影子相交于一点，并论怎样，人始终与影子相交于一点，并始终保持始终保持垂直垂直.复习引入复习引入第1页/共33页讲授新课讲授新课1.直线和平面垂直的定义直线和平面垂直的定义lP第2页/共33页讲授新课讲授新课 如果直线如果直线l与平面与平面 内的任意一条直线内的任意一条直线都垂直，则直线都垂直，则直线l与平面与平面 互相垂直，记作互相垂直，记作l.lP1.直线和平面垂直的定义直线和
2、平面垂直的定义第3页/共33页讲授新课讲授新课 如果直线如果直线l与平面与平面 内的任意一条直线内的任意一条直线都垂直，则直线都垂直，则直线l与平面与平面 互相垂直，记作互相垂直，记作l.l叫平面叫平面 的的垂线垂线，叫直线叫直线l的的垂面垂面.1.直线和平面垂直的定义直线和平面垂直的定义lP第4页/共33页讲授新课讲授新课 如果直线如果直线l与平面与平面 内的任意一条直线内的任意一条直线都垂直，则直线都垂直，则直线l与平面与平面 互相垂直，记作互相垂直，记作l.l叫平面叫平面 的的垂线垂线，叫直线叫直线l的的垂面垂面.直线与平面垂直时，它们惟一的公共点直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做
3、叫做垂足垂足.1.直线和平面垂直的定义直线和平面垂直的定义lP第5页/共33页讲授新课讲授新课 如果直线如果直线l与平面与平面 内的任意一条直线内的任意一条直线都垂直，则直线都垂直，则直线l与平面与平面 互相垂直，记作互相垂直，记作l.l叫平面叫平面 的的垂线垂线，叫直线叫直线l的的垂面垂面.直线与平面垂直时，它们惟一的公共点直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做叫做垂足垂足.1.直线和平面垂直的定义直线和平面垂直的定义lP第6页/共33页举例：举例：生活中直线与平面垂直的现象有生活中直线与平面垂直的现象有哪些？哪些？第7页/共33页举例：举例：生活中直线与平面垂直的现象有生活中直线与平面垂
4、直的现象有哪些？哪些？提问：你觉得垂直的依据是什么？提问：你觉得垂直的依据是什么？第8页/共33页举例：举例：生活中直线与平面垂直的现象有生活中直线与平面垂直的现象有哪些？哪些？提问：你觉得垂直的依据是什么？提问：你觉得垂直的依据是什么？思考：给定一条直线和一个平面，如思考：给定一条直线和一个平面，如何判定它们是否垂直？何判定它们是否垂直？第9页/共33页nml2.直线和平面垂直的判定直线和平面垂直的判定B第10页/共33页 定理：一条直线与一个平面内的两定理：一条直线与一个平面内的两条条相交相交直线都垂直，则这条直线与该平直线都垂直，则这条直线与该平面垂直面垂直.l2.直线和平面垂直的判定直
5、线和平面垂直的判定nmlB符号语言符号语言:若若lm，ln，mnB，m ，n ，则，则l.第11页/共33页练习练习 如图，在长方体如图，在长方体ABCD-ABCD中，中，与平面与平面BCCB垂直的直线有垂直的直线有 ；与直线与直线AA垂直的平面有垂直的平面有 .BDCABADC第12页/共33页例例1 已知已知ab，a，求证：，求证：b.ab第13页/共33页b例例1 已知已知ab，a，求证：，求证：b.mabn第14页/共33页例例1 已知已知ab，a，求证：，求证：b.mabn线面垂直线面垂直线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直 第15页/共33页例2 2 在三棱锥P-ABCP-ABC中，P
6、APA平面ABCABC，ABBCABBC，PA=ABPA=AB，D D为PBPB的中点，求证：ADPC.ADPC.PABCD第16页/共33页直线与平面垂直的判定方法：直线与平面垂直的判定方法：1.定义；定义；2.定理；定理；3.两条平行线中的一条与平面垂直，两条平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直则另一条也与这个平面垂直.线面垂直线面垂直线线垂直线线垂直课堂小结课堂小结第17页/共33页瀛海学校瀛海学校 杨宇杨宇第18页/共33页 一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线斜线，斜线和平面的交点叫做斜足斜足。斜线上一点与斜足间的线段叫做这点到这个平面
7、的斜线段斜线段。过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影斜线在这个平面上的射影；斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上。2.2.2.2.斜线斜线斜线斜线斜线段斜线段ACAC在在 的的射影射影ACB第19页/共33页AaOP 已知POPO是平面 的斜线，PAPA、AOAO是POPO在平面 上的射影。a a ，aAOaAO。求证：aPOaPO在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。三垂线定理三垂线定理第20页/共33页证明：aPOPA a AOaa平面PAOPO平面PAOPA aAaOP第21页/共33页三
8、垂线定理三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。aPOPAOA是PO在内的射影a AOa 由三垂线定理由三垂线定理AaOP第22页/共33页PAOa三垂线定理包含几种垂直关系？线影垂直线影垂直PAOa线面垂直线面垂直 线斜垂直线斜垂直PAOa直 线 和平面垂直平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直平面内的直线和平面的一条斜线垂直第23页/共33页PCBA例1 已知P 是平面ABC 外一点，PA平面ABC，AC BC，求证：PC BC证明:PA平面ABC AC是PC在平面ABC上的射影 BC 平面ABC BC AC 由三垂线定理得 BC PC第
9、24页/共33页例2 直接利用三垂线定理证明下列各题：(1)PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点求证：POBD，PCBD(3)在正方体AC1中，求证：A1CB1D1，A1CBC1(2)已知：PA平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BCAMA D C B A1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD第25页/共33页三垂线定理解题的关键：找三垂！三垂线定理解题的关键：找三垂！怎么找？一找直线和平面垂直二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直注意：由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件解解题题回回顾顾PAOa第26页/共33页线影垂直线
10、影垂直线斜垂直线斜垂直PAOaPAOa平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理？第27页/共33页 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。PAOa三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理aAOPAOA是PO在内的射影a POa 由三垂线逆定理由三垂线逆定理第28页/共33页三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。三垂线定理三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，
11、它就和这条斜线垂直。线影垂直线影垂直线斜垂直线斜垂直定理逆定理第29页/共33页例4 在四面体ABCD中，已知ABCD，ADBC求证：ACBDBCDO，于是ADBC.证明：作AO平面BCD于点O，连接BO，CO，DO，则BO，CO，DO分别为AB，AC，AD在平面BCD上的射影。OADCBABCD，CD 面面BCD，同理BDCO，于是O是BCD的垂心，由三垂线逆定理CDBO，第30页/共33页1.已知 PA、PB、PC两两垂直，求证：P在平面ABC内的射影是ABC的垂心。CBPAH2.在ABCDA1B1C1D1中，求证：AC1平面BA1DD1DCBAC1B1A1第31页/共33页第32页/共33页感谢您的观看！第33页/共33页