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1、在在ACAC、DBDB两段梁内，横两段梁内，横截面上同时存在弯矩截面上同时存在弯矩MM和切和切力力QQ，这种弯曲称为，这种弯曲称为横力弯横力弯曲或剪切弯曲；曲或剪切弯曲；在在CDCD段梁内各横截面上，段梁内各横截面上，切力切力QQ为零弯矩为零弯矩MM为常量，为常量，这种弯曲称为这种弯曲称为纯弯曲；纯弯曲；第1页/共52页1 1、变形几何条件、变形几何条件第2页/共52页取长为取长为dxdx的微段梁来分析；取横截的微段梁来分析；取横截面的对称轴为面的对称轴为y y轴，并取轴，并取z z轴与截面轴与截面的中性轴重合。研究距中性层的中性轴重合。研究距中性层y y处处纵向纤维纵向纤维abab的变形。的
2、变形。故其纵向线应变为：故其纵向线应变为：(a)第3页/共52页2 2、应力、应变关系、应力、应变关系设各纵向纤维之间互不挤压，每根纤维都只受设各纵向纤维之间互不挤压，每根纤维都只受到单向拉力或压力，则在应力不超过材料的比到单向拉力或压力，则在应力不超过材料的比例极限时，各纤维上的正应力与线应变的关系例极限时，各纤维上的正应力与线应变的关系应服从胡克定律：应服从胡克定律：可得：(b)第4页/共52页3 3、静力学关系、静力学关系截面上各处的法向内力元素构成了截面上各处的法向内力元素构成了一个空间平行力系，它可能组成三一个空间平行力系，它可能组成三个内力：平行于个内力：平行于x x轴的轴力轴的轴
3、力N N，对，对y y轴和轴和z z轴的力偶矩轴的力偶矩MMy y和和MMz z(c)(d)(e)第5页/共52页(1)(1)以式以式(b)(b)代入代入(c)(c)：为为截面图形对截面图形对Z Z轴的静矩轴的静矩。上式要满足，由必有截面形心的坐标上式要满足，由必有截面形心的坐标y yCC=0=0。由此，中性轴必然通过横截面的形心。由此，中性轴必然通过横截面的形心。第6页/共52页(2)(2)以式以式(b)(b)代入代入(d)(d)：第7页/共52页(3)(3)以式以式(b)(b)代入代入(e)(e)：令：第8页/共52页可得梁弯曲时中性层的曲率为：可得梁弯曲时中性层的曲率为：表明：在指定的横
4、截面处，中性层的曲率与该截面上的弯矩表明：在指定的横截面处，中性层的曲率与该截面上的弯矩MM成正比，与成正比，与EIEIz z成反比。在同样的弯矩作用下，成反比。在同样的弯矩作用下，EIEIz z愈大，则曲率愈小，即梁愈不易变形，愈大，则曲率愈小，即梁愈不易变形，故故EIEIz z称为称为梁的抗弯刚度。梁的抗弯刚度。梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式：梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式：(5-3)第9页/共52页第10页/共52页讨论：对于具有纵向对称面的其他截面形式的同样可以使用；对于非纯弯曲，对于跨长与截面高之比大于5的梁，式(5-3)的计算结果误差很小。在工程实际中，式(
5、5-3)可以足够精确地推广应用于剪切弯曲的情况；不适用于非平面弯曲；如梁的材料不服从胡克定律或正应力超过了材料的比例极限，式(5-3)不再适用；只适用于直梁，而不适用于曲梁，但可近似地用于曲率半径较梁高大的多的曲梁，对变截面梁也可近似的应用。第11页/共52页例例5-1 5-1 已知梁的跨长已知梁的跨长l=1ml=1m，均布载荷集度，均布载荷集度q=6kN/mq=6kN/m；梁由；梁由1010号槽钢制成，截号槽钢制成，截面有关尺寸如图示，自型钢表查得，横截面的惯性矩面有关尺寸如图示，自型钢表查得，横截面的惯性矩I Iz z=25.6x10=25.6x104 4mmmm4 4,试求此试求此梁的最
6、大拉应力和最大压应力。梁的最大拉应力和最大压应力。qABl第12页/共52页5-2 惯性矩的计算1、简单截面的惯性矩（1）矩形截面对z轴的惯性矩：对y轴的惯性矩：第13页/共52页(2)圆形与圆环形截面圆形截面对圆心的极惯性矩为：圆形截面对圆心的极惯性矩为：由于由于y y和和z z轴皆为通过圆截面直径轴皆为通过圆截面直径的轴，故：的轴，故：第14页/共52页可得圆形截面对可得圆形截面对y y或或z z轴的惯性矩为：轴的惯性矩为：对于外径为对于外径为D D内径为内径为d d的圆环形截面的圆环形截面第15页/共52页2、组合截面的惯性矩 平行移轴公式组合截面对某一轴的惯性矩等于其各个组成部分对同一
7、轴的惯性矩之和。组合截面对某一轴的惯性矩等于其各个组成部分对同一轴的惯性矩之和。第16页/共52页平行移轴公式平行移轴公式已知：已知：A A，I Iz z求：求：I Iz1z1同理：同理：第17页/共52页例例5-2 5-2 已知一已知一T T字形截面，求其对中性轴字形截面，求其对中性轴Z Z的惯性矩的惯性矩解：（解：（1 1）确定形心和中性轴的位置）确定形心和中性轴的位置将截面划分为将截面划分为I,III,II两个矩形，取与截面两个矩形，取与截面底边相重合的底边相重合的zz轴为参考轴。轴为参考轴。第18页/共52页整个截面的形心整个截面的形心C C至至zz轴的距离为：轴的距离为：(2)(2)
8、求各组成部分对中性轴求各组成部分对中性轴z z的惯性矩的惯性矩 设两矩形的形心轴为设两矩形的形心轴为z z1 1和和z z2 2，它们对中，它们对中性轴性轴z z的距离分别为：的距离分别为：第19页/共52页两矩形对中性轴两矩形对中性轴z z的惯性矩分别为：的惯性矩分别为：（3 3）求整个截面对中性轴的惯性矩为：）求整个截面对中性轴的惯性矩为：第20页/共52页5-3 梁弯曲时的强度计算梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式：梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式：(5-3)最大正应力位于最大弯矩所在截面上距中性轴最远的地方：最大正应力位于最大弯矩所在截面上距中性轴最远的地方：(5-8
9、)第21页/共52页WWz z称为称为抗弯截面系数抗弯截面系数，是衡量横截面抗弯强度的一个几何量，其值与横截面的形，是衡量横截面抗弯强度的一个几何量，其值与横截面的形状及尺寸有关，单位为状及尺寸有关，单位为mm3 3 或或mmmm3 3对于矩形截面：对于矩形截面：对于圆形截面：对于圆形截面：对于空心圆形截面：对于空心圆形截面：第22页/共52页最在正应力的计算式可表为：最在正应力的计算式可表为：梁弯曲的正应力强度条件：梁弯曲的正应力强度条件：第23页/共52页例例5-3 5-3 一矩形截面木梁，已知一矩形截面木梁，已知P=10kN,a=1.2m;P=10kN,a=1.2m;木材的许用应力木材的
10、许用应力 =10Mpa=10Mpa，设梁横截面的高宽比为设梁横截面的高宽比为h/b=2 h/b=2 ，试选择梁的截面尺寸；，试选择梁的截面尺寸；第24页/共52页例例5-5 5-5 一起重量原为一起重量原为50kN50kN的单梁吊车，其跨度的单梁吊车，其跨度l=10.5m,l=10.5m,由由45a45a号工字钢制成。为号工字钢制成。为发挥其潜力，现拟将起重量提高到发挥其潜力，现拟将起重量提高到Q=70kNQ=70kN，试校核梁的强度。若强度不够，再，试校核梁的强度。若强度不够，再计算其可能承载的起重量。梁的材料为计算其可能承载的起重量。梁的材料为Q235AQ235A钢，许用应力钢，许用应力
11、=140MPa=140MPa；电葫；电葫芦自重为芦自重为G=15kNG=15kN，梁自重不计。，梁自重不计。第25页/共52页例例5-6 5-6 在上例中，为使吊车的起重量提高到在上例中，为使吊车的起重量提高到70kN70kN，可在工字梁上、下翼缘上加焊，可在工字梁上、下翼缘上加焊两块盖板。现设盖板的截面尺寸为：两块盖板。现设盖板的截面尺寸为：100X10(mm100X10(mm2 2)，试校核加焊盖板后梁的强度。，试校核加焊盖板后梁的强度。第26页/共52页例例5-7 5-7 一一T T形截面铸铁梁。已知形截面铸铁梁。已知P P1 1=8kN=8kN，P P2 2=20kN,a=0.6m;=
12、20kN,a=0.6m;横截面的惯横截面的惯性矩性矩I Iz z=5.33X10=5.33X106 6(mm(mm4 4)；材料的抗拉强度；材料的抗拉强度 b b=240MPa=240MPa，抗压强度抗压强度 bcbc=600MPa=600MPa，取安全系数取安全系数n=4n=4，试校核梁的强度。，试校核梁的强度。第27页/共52页解：（解：（1 1）作弯矩图）作弯矩图（3 3）校核强度）校核强度（2 2）确定许用应力）确定许用应力 材料的许用拉应力和许用压应力分别为：材料的许用拉应力和许用压应力分别为：截面截面A A下边缘处：下边缘处：截面截面A A上边缘处：上边缘处：截面截面C C下边缘处
13、：下边缘处：第28页/共52页5-4 提高梁抗弯能力的措施目标：目标：1、成本最低+满足强度 2、强度最高+有限成本途径：途径：1.降低 Mmax 支座的安排载荷的布置更合理2.增大Wz 同样面积 选 Wz 大的截面 截面放置 使 Wz 大的放置纵向 物体的形状或结构选取第29页/共52页提高弯曲强度的措施之一 选用合理截面 1.截面的放置与2.同样面积下W最大第30页/共52页常见梁截面的 Wz/A 值第31页/共52页3.截面选择采用以中性轴对称的截面或采用不以中性轴对称的截面（+）（-）（拉应力小）（+）（-）（压应力小）塑性材料脆性材料钢筋混凝土第32页/共52页 提高弯曲强度的措施之
14、二 整体考虑变截面梁的例子变截面梁的例子第33页/共52页1.支座位置 合理布置支座位置，使 M max 尽可能小 提高弯曲强度的措施之三 改善受力状态qLqL/5L/5Mx402qL502qL-Mx第34页/共52页第35页/共52页2.加载方式合理布置外力作用，使 M max 尽可能小第36页/共52页第37页/共52页第38页/共52页 超静定梁qL/2L/2 提高弯曲强度的措施之四 用超静定梁qLMx322qL-Mx第39页/共52页5-6 梁弯曲时的切应力 1、矩形截面梁横截面上任一点处的切应力的计算公式为：横截面上任一点处的切应力的计算公式为：QQ：横截面上的剪力；：横截面上的剪力
15、；I Iz z：整个横截面对中性轴：整个横截面对中性轴z z的惯性矩的惯性矩b:b:横截面在所求切应力处的宽度横截面在所求切应力处的宽度Sz*Sz*：横截面上切应力：横截面上切应力 所在的横线至边缘部分的所在的横线至边缘部分的面积对中性轴的静矩面积对中性轴的静矩第40页/共52页切应力计算公式变为：第41页/共52页2、工字形截面梁yzBHh1dtyA*腹板翼板最大切应力在腹板的中性轴最大切应力在腹板的中性轴上：上：d:d:腹板的宽度腹板的宽度Szmax*Szmax*：中性轴一侧的截面面积：中性轴一侧的截面面积对中性轴的静矩对中性轴的静矩第42页/共52页近似计算公式：Bh H第43页/共52
16、页 工字形梁翼板上的切应力分布沿剪力Q 方向的 切应力分量 沿翼板宽度方向 切应力分量z 翼板上两种方向的切应力与腹板上 切应力相比较小，工程上一般不考虑z第44页/共52页3、圆形、圆环形截面梁 实心圆截面：最大切应力在中性轴上 空心圆环：最大切应力在中性轴上第45页/共52页梁的剪应力强度条件：梁的剪应力强度条件：b:b:截面在中性轴处的宽度截面在中性轴处的宽度Szmax*Szmax*：中性轴一侧的截面面积对中性轴的静矩：中性轴一侧的截面面积对中性轴的静矩：材料的许用切应力材料的许用切应力在梁的强度计算中，必须同时满足正应力和切应力两个强度条件。通常是先在梁的强度计算中，必须同时满足正应力
17、和切应力两个强度条件。通常是先按正应力强度条件选择横截面的尺寸和形状，必要时再按切应力强度条件进按正应力强度条件选择横截面的尺寸和形状，必要时再按切应力强度条件进行校核。行校核。第46页/共52页一般对以下几种情况须进行切应力强度校核：若梁较短或载荷很靠近支座，这时梁的最大弯矩可能很小，而最大剪力却相对较大；对于一些组合截面梁，如其腹板的宽度b相对于截面高度很小时，横截面上可能产生较大的切应力；对于木梁，它在顺纹方向的抗剪能力较差，而由切应力互等定理，在中性层上也同时有max作用，因而可能沿中性层发生剪切破坏，所以需要校核其切应力强度。第47页/共52页例例5-8 5-8 一外伸梁，已知一外伸
18、梁，已知P=50kN,a=0.15m,l=1m;P=50kN,a=0.15m,l=1m;梁由工字钢制成，材料的许用梁由工字钢制成，材料的许用弯曲应力弯曲应力 =160MPa,=160MPa,许用切应力许用切应力 =100MPa=100MPa，试选择工字钢的型号。，试选择工字钢的型号。第48页/共52页小小 结结1 1、梁横截面上存在两种应力：正应力和切应力。、梁横截面上存在两种应力：正应力和切应力。2 2、梁弯曲变形的基本公式：、梁弯曲变形的基本公式：轴向拉压：轴向拉压：扭转：扭转：第49页/共52页3 3、梁弯曲时的正应力公式及其强度条件、梁弯曲时的正应力公式及其强度条件注意：注意：（1 1
19、）梁处于平面弯曲，材料服从胡克定律）梁处于平面弯曲，材料服从胡克定律（2 2）横截面上的正应力沿截面高度方向呈线性分布，在中性轴处的正应力为零，）横截面上的正应力沿截面高度方向呈线性分布，在中性轴处的正应力为零，在上、下边缘处的正应力最大；在上、下边缘处的正应力最大；（3 3）中性轴通过截面的形心；）中性轴通过截面的形心；（4 4）中性轴的上、下两侧截面分别受拉和受压，应力的正负号（拉或压）可直）中性轴的上、下两侧截面分别受拉和受压，应力的正负号（拉或压）可直接根据梁的变形或弯矩的方向来确定。接根据梁的变形或弯矩的方向来确定。第50页/共52页4 4、梁弯曲时的切应力公式及其强度条件是：、梁弯曲时的切应力公式及其强度条件是：应注意：应注意：（1 1）矩形截面梁横截面上的切应力沿截面高度方向呈二次抛物线分布，一）矩形截面梁横截面上的切应力沿截面高度方向呈二次抛物线分布，一般在中性轴上的切应力最大；般在中性轴上的切应力最大；（2 2）S Sz z*和和S Szmaxzmax*为部分截面对中性轴的静矩，而为部分截面对中性轴的静矩，而I IZ Z则是整个截面对中性轴的则是整个截面对中性轴的惯性矩惯性矩第51页/共52页感谢您的观看！第52页/共52页