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1、Stokes公式公式第1页/共25页第十一、十二章习题课第十一、十二章习题课一、一、曲线积分的计算法曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法二、曲面积分的计算法线面积分的计算第2页/共25页一、曲线积分的计算一、曲线积分的计算法法1.基本方法曲线积分第一类(对弧长)第二类(对坐标)(1)统一积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2)确定积分上下限第一类:下小上大第二类:下始上终第3页/共25页(1)利用对称性及重心公式简化计算;(2)利用积分与路径无关的等价条件;(3)利用格林公式(注意加辅助线的技巧注意加辅助线的技巧);(4)利用斯托克斯公式;(5)利用两类曲线积分的联系公式.
2、2.基本技巧基本技巧第4页/共25页例例1.计算计算其中 为曲线解解:利用轮换对称性轮换对称性,有利用重心公式知(的的重心在原点重心在原点)第5页/共25页将曲线写成参数方程形式将曲线写成参数方程形式思路思路:闭合闭合非闭非闭闭合闭合非闭非闭补充曲线或用公式补充曲线或用公式例例2.计算计算其中L 是沿逆时针方向以原点为中心,a 为半径的上半圆周.第6页/共25页例例2.计算计算其中L 是沿逆时针方向以原点为中心,解法解法1 令则这说明积分与路径无关,故a 为半径的上半圆周.第7页/共25页解法解法2 它与L所围区域为D,(利用格林公式利用格林公式)则添加辅助线段解法解法3第8页/共25页练习练
3、习1：设设 C 为为沿沿从点依逆时针的半圆,计算解解:添加辅助线如图添加辅助线如图,利用格林公式利用格林公式.原式原式=到点第9页/共25页作业练习册作业练习册P41P41第第2 2题题练习练习2 2：法法1 1 折线路径积分法折线路径积分法法法2 2 原函数法原函数法第10页/共25页例例3.设L 是平面与柱面的交线从 z 轴正向看去,L 为逆时针方向,计算 解解:记 为平面上 L 所围部分的上侧,D为在 xoy 面上的投影.由斯托克斯公式第11页/共25页第12页/共25页二、曲面积分的计算法二、曲面积分的计算法1.基本方法曲面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)转化二重积分(1)统一积分
4、变量 代入曲面方程(2)积分元素投影第一类:始终非负第二类:有向投影(3)确定二重积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面第13页/共25页2.基本技巧基本技巧(1)利用对称性及重心公式简化计算(2)利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面辅助面一般取平行坐标面的平面)(3)两类曲面积分的转化第14页/共25页例例4.已知曲面壳已知曲面壳求此曲面壳在平面求此曲面壳在平面 z1以上部分以上部分 的的的面密度的面密度质量质量 M.解解:在在 xoy 面上的投影为面上的投影为 故故第15页/共25页例例5.计计算算其中其中 是球面是球面利用对称性可知利用对称性可知解解:
5、显然球心为显然球心为半径为半径为利用重心公式利用重心公式第16页/共25页例例6解解利用两类曲面积分之间的关系利用两类曲面积分之间的关系作业练习册作业练习册P47P47第第3 3题题第17页/共25页第18页/共25页例例7.第19页/共25页解解：第20页/共25页练习：练习：提示：提示：第21页/共25页法法1 1 分片投影法分片投影法法法2 2 利用两类曲面积分间的联系利用两类曲面积分间的联系法法3 3 合一投影法合一投影法法法4 4 高斯公式高斯公式(重点掌握重点掌握)例例8.第22页/共25页的外法向量,计算解解:例例9.设设第23页/共25页设设一卦限中的部分,则有().(2000 考研考研)第24页/共25页感谢您的观看！第25页/共25页