第五章系统的稳定性.pptx

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1、第1页/共90页 阀芯受外力右移，即输入位移 后，控制口2 2、4 4打开，控制口3 3，1 1关闭，压力油进入左缸，右缸接通回油，活塞向右移动。当外力去掉后，阀芯停止运动,活塞滞后于阀芯,继续右移,直至控制口2 2关闭，回到原来的平衡位置。因移动的活塞有惯性，在伺服阀的平衡位置，活塞仍不能停止，继续右移。因而使控制口1 1，3 3打开，2 2，4 4关闭，压力油反过来进入右缸，左缸接能回油，这使活塞反向（向左）移动，并带动阀体左移，直至阀体与阀芯回复到原来的平衡位置。第2页/共90页 但活塞因惯性继续左移，使油路又反向这样，阀芯在原位不动的情况下，活塞与阀体相对阀芯反复振荡。由于所选择的系统

2、各参数（如质量、阻尼和弹性等）不同，当系统是线性系统时，这种振荡可能是衰减的（减幅的），也可能是发散的（增幅的）或等幅的，如图（a a）、（b b）、（c c）所示。当这种自由振荡是增幅振荡时，就称系统是不稳定的。第3页/共90页第4页/共90页系统的不稳定现象值得注意几点：首先，线性系统不稳定现象发生与否，取决于系统内部条件，而与输入无关。如上例，系统在输入撤消后，从偏离平衡位置所处的初始状态出发，因系统本身的固有特性而产生振动的线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构与参数，而与输入无关（非线性系统的稳定性是与输入有关的）。其次，系统发生不稳定现象必有适当的反馈作用。如原系统是稳定的，那么加

3、入反馈后就形成为闭环系统，可能产生不稳定；如原系统是不稳定的，加入反馈后就形成为闭环系统，更可能不稳定。第5页/共90页第6页/共90页 当输入 撤消后，此闭环系统就以初始偏差 作为进一步运动的信号，产生输出 ，而反馈联系不断将输出 反馈回来，从输入 中不断减去（或加上）。若反馈的结果，削弱了 的作用（即负反馈），则使 越来越小，系统最终趋于稳定；若反馈的结果，加强了 的作用（即正反馈），则使 越来越大，此时，此闭环系统是否稳定，则视 是收敛还是发散而定。第7页/共90页 第三，控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性。即讨论输入为零，系统仅存在有初始状态不为零时的稳定性，即讨论系

4、统自由振荡是收敛的还是发散的；或者：讨论系统初始状态为零时，系统脉冲响应是收敛的还是发散的。至于用激振或加外力方法施以强迫振动或运动，因而造成系统共振（或称谐振）或偏离平衡位置越来越远，这不是控制理论所要讨论的稳定性。第8页/共90页 稳定的定义和条件 若系统在初始状态下（不论是无输入时的初态，还是输入引起的初态，还是两者之和）的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零（即回到平衡位置），则称该系统为稳定的；反之，若在初始状态影响下，由它所引起的系统的时间响应随时间的推移而发散（即偏离平衡位置越来越远），则称该系统为不稳定的。根据上述稳定性的定义，可以用下述两种方法，分别求得定常线性系统稳定

5、性条件。第9页/共90页方法（1 1）：设定常线性系统的微分方程为：式中，若记 并对式（）作LaplaceLaplace变换，得 式中 为系统传递函数。（）（）第10页/共90页 是与初始条件 输出 及其各阶导数在输入作用前 时刻的值，即系统在输入作用前的初始状态有关的多项式。研究初始状态 影响下系统的时间响应时，可在式（）中取 得到这一时间响应（即零输入的响应）：第11页/共90页由上可知，若系统所有特征根 的实部均为负值，即ResResi i0,ZPZ则则N0N0，F F逆逆时针包围零点时针包围零点N N圈圈当当PZPZ则则N0 N0，F F顺顺时针包围零点时针包围零点N N圈圈当当P=Z

6、P=Z则则N=0 N=0，F F不不包围零点包围零点第48页/共90页 应用幅角原理不能单独确定出包围LsLs内的函数F F（s s）的零点数Z Z或其极点数P P，而仅能确定他们之间的差值（Z-PZ-P）。的极点就等于F F（s s）函数的极点，因此，若已知系统的 ，就可直接求得P P。若又能在F(s)F(s)平面上确定出L LF F曲线包围原点的圈数N N，则可由Z=N+PZ=N+P计算出在ss平面上包围于封闭曲线L LS S中的F(s)F(s)的零点数Z Z，这些零点也就是 相应的极点。曲线L LS SL LF F的形状对于N N，Z Z，P P的数值是没有关系的，即L LF F绕原点的

7、圈数N N仅取决于L LS S所包围的F(s)F(s)的零点和极点的数目，而与L LS S的形状无关。L LF F,L,LS S也称为NyquistNyquist轨迹。第49页/共90页稳定判据 定常线性系统稳定的充要条件是，其闭环系统的特征方程1+G(s)H(s)=01+G(s)H(s)=0的全部根具有负实部，即在ss平面的右半平面系统没有极点，亦即F(s)F(s)在ss平面的右半平面没有零点（Z=0Z=0）。第50页/共90页第51页/共90页1 1、ss平面上的NyquistNyquist轨迹 ss平面上的NyquistNyquist轨迹如图（a a）所示。设在ss平面上有封闭曲线L L

8、S S，其中(1)(1)，(2)(2)两段是由 到 的整个虚轴组成的，(3)(3)段是由半径R R趋于无穷大的圆弧组成的。因此，(1)(1)，(2)(2)，(3)(3)段就封闭地包围了整个ss平面的右半平面，由于在应用幅角原理时，L LS S不能通过F(s)F(s)函数的任何极点。所以当函数F(s)F(s)有若干个极点处于ss平面的虚轴或原点上时，L LS S应被认为是以这些点为圆心，以无穷小为半径的圆弧按反时针方向从这些点的右侧绕过，如小段圆弧(4)(4)与(4)(4)所示。由于(4)(4)，(4)(4)紧贴极点绕过，因此，可以认为L LS S曲线包围了整个ss平面的右半平面。这一L LS

9、S封闭曲线即为ss平面上的NuquistNuquist轨迹。当 由 变到 时，轨迹的方向为顺时针方向。第52页/共90页2 2、FF平面上的NyquistNyquist轨迹 FF平面上的NyquistNyquist轨迹（FF平面即F(s)F(s)平面的简定）按F(s)F(s)函数作出。若其图形如图所示，则其曲线不包围原点，即N=0N=0，说明相应的LsLs曲线所包围的F(s)F(s)函数的极点数与零点数相等，故其差值为零（N=Z-P=0N=Z-P=0）。注意：这里所说的Z Z，P P是指包围于图上LsLs曲线中的F(s)F(s)位于ss平面的右半平面的零、极点数，不是指F(s)F(s)函数所有

10、的零点数和极点数。由前述可知，系统稳定的充要条件是Z=0Z=0。判别Z=0Z=0，不是在ss平面上进行，而是转化到FF平面上进行。第53页/共90页 由FF平面上的NyquistNyquist轨迹L LF F可知，若它包围原点N N圈，则可知N N。另外，由已知的F(s)F(s)函数，可以先求得F(s)F(s)位于ss平面的右半平面的极点数P P，从而可求得Z=N+PZ=N+P，为保证系统稳定，应使Z=0Z=0，即 N=Z-P=-PN=Z-P=-P 也就是，当FF平面的NyquistNyquist轨迹L LF F逆时针包围原点的圈数N N等于F(s)F(s)函数位于ss平面的右半平面的极点数P

11、 P时，系统稳定。第54页/共90页3 3、GHGH平面上的NyquistNyquist轨迹GHGH平面（即G(s)H(s)G(s)H(s)平面的简写）上的情况与此相似。因 ，即 GHGH平面只不过是将FF平面的虚轴右移了1 1个单位之后所构成的新复平面。GHGH平面上的（-1,j0-1,j0）点就是FF平面上的原点。所以，在GHGH平面上，包围点（-1,j0-1,j0）的圈数N N，就等于在FF平在上LFLF包围原点的圈数N N，其关系如图，(c)(c)所示。GHGH平面的NyquistNyquist轨迹，如图所示，它的相应的ss平面的NyquistNyquist轨迹如图所示。第55页/共9

12、0页由于任何物理上可实现的开环系统，其的分母的阶次n n必不小于分于的阶系，故有：和 当然，均指其模而言。所以，ss平面上半径为 的半圆映射到GHGH平面上为原点或实轴上的一点；ss平面上的原点映射到GHGH平面上为半径 的半圆弧（当分母含有积分环节时）。第56页/共90页 因为L LS S表示：ss平面上 中实部 为零，由 变到 时s s的轨迹（即虚轴），再加上半径为 的半圆弧；而ss平面上半径为 的半圆弧映射到GHGH平面上只是一个点，它对于 包围某点的情况无影响，所以 的绕行情况只需考虑ss平面的 轴映射到GHGH平面上的开环NyquistNyquist轨迹 即可。第57页/共90页 G

13、HGH平面上系统稳定的充要条件可表述为：若当GHGH平面上 ，即 的NyquistNyquist轨迹逆时针包围点（-1,j0-1,j0）的圈数N N，等于 在ss平面的右半平面的极点数P P时，则闭环系统稳定，因为此时N=-PN=-P，由N=Z-PN=Z-P知Z=0Z=0。这一充要条件也可表述为：当 由 到 时，若GHGH平面上的开环频率特性 即 顺时针方向包围点（-1,j0-1,j0）P P圈（P P为 在ss平面的右半平面的极点数P P），则闭环系统稳定。这一表述就是NyquistNyquist稳定判据。第58页/共90页 在应用NyquistNyquist判据时，首先要知道系统的 在ss

14、平面上的右半平面的极点数P P，然后分下述两种情况来判别：（1 1）当P=0P=0和 从 变到 时，若GHGH平面上的 不包围点（-1,j0-1,j0），即N=0N=0，则闭环系统稳定；反之，则闭环系统不稳定。（2 2）当 和 从 变到 时，若GHGH平面上的逆时针包围点（-1,j0-1,j0）P P圈，则闭环系统稳定；若逆时针包围点（-1,j0-1,j0）的圈数不到P P圈（表示ZPZPZP），则闭环系统不稳定。第59页/共90页开环含有积分环节时的Nyquist Nyquist 判据 当系统中串联有积分环节时，开环传递函数 有位于平面坐标原点处的极点。应用NyquistNyquist判据时

15、，由于平面上的NyquistNyquist轨迹L LS S不能经过 的极点，故应以半径为无穷小的圆弧 逆时针绕过开环极点所在的原点，如图（a a）所示。这时开环传递函数在右半平面上的极点数已不再包含原点处的极点。第60页/共90页 设开环传递函数为：式中，为系统中串联积分环节的个数。当沿无穷小半圆逆时针方向移动时，有：映射到 平面上的NyquistNyquist轨迹为：因此，当 沿小半圆从 变化到 时，角从 经00变化到 ，这时 平面上的NyquistNyquist轨迹将沿无穷大半径按顺时针方向从 到 。第61页/共90页关于Nyquist Nyquist 判据的几点说明 1 1）Nyquis

16、tNyquist判据并不是在ss平面而是GHGH平面判别系统的稳定性。通过幅角原理将ss平面的NyquistNyquist轨迹（虚轴）映射为GHGH平面上的NyquistNyquist轨迹 ，然后根据 轨迹包围点（-1,j0-1,j0）的情况来判别闭环系统的稳定性，而 正是系统的 。第62页/共90页 2 2）NyquistNyquist判据的证明虽较复杂，但应用简单.由于一般系统的开环系统多为最小相位系统，P=0P=0，故只要看开环NyquistNyquist轨迹是否包围点（-1,j0-1,j0），若不包围，系统就稳定。当开环系统为非最小相位系统，先求出其P P，再看开环NyquistNyq

17、uist轨迹包围点（-1,j01,j0）的圈数，并注意 由小到大时轨迹的方向，若是逆时针包围点（-1,j0-1,j0）P P圈，则系统稳定。第63页/共90页 3 3）在P=0P=0，即 在ss平面的右半平面无极点时，按习惯有时称为开环稳定；在 ，即开环传递函数在ss平面的右半平面有极点时，按习惯有时称为开环不稳定，有的书上介绍的就是首先判明开环是否稳定，亦即先确定P P的数值，然后再用NyquistNyquist判据来判别闭环系统的稳定性。开环不稳定，闭环仍可能稳定；开环稳定，闭环也可能不稳定。第64页/共90页 4 4）开环NyquistNyquist轨迹对实轴是对称的，因为当 变为 时，

18、与 的模相同，而相位异号，即：所以，由 到0 0与 由0 0到 的开环NyquistNyquist轨迹对实轴对称。因而一般只需绘出 由0 0到 的曲线即可判别稳定性。NyquistNyquist轨迹在 由0 0到 时，包围点（-1,j01,j0）一圈，故已可知 由 到 时共包围点（-1,j0-1,j0）两圈，所以系统不稳定。；第65页/共90页系统传递函数的分母反映了系统本身的固有特性，现在闭环系统的传递函数的分母是 ，即F F（s s），而F F（s s）包围FF平面上原点的情况与 包围GHGH平面上点（-1.j01.j0）的情况完全一样，因此，这一开环传递函数包围GHGH平面上点（-1.j

19、0-1.j0）的情况就反映了闭环系统的固有特性。因此，用它来判别系统的稳定性，即由NyquistNyquist判据用开环传递函数判别闭环系统的稳定性，从物理意义上来说也是容易解释的。第66页/共90页判据应用举例第67页/共90页应用Nyquist Nyquist 判据分析延时系统的稳定性 延时环节是线性环节，但用劳斯判据难以进行判断，现分析延时环节串联或并联在闭环系统的前向通道中的情况。第68页/共90页1.1.延时环节串联在闭环系统的前向通道中时系统的稳定性 图所示为一具有延时环节的系统方框图，其中G G1 1(s s)是除延时环节以外的开环传递函数，这时整个系统的开环传递函数为：其开环频

20、率特性，幅频特性和相频特性分别为：由此可见，延时环节不改变原系统的幅频特性，而仅仅使相频特性发生变化。第69页/共90页第70页/共90页例如，在图所示系统中，若则开环传递函数和开环频率特性分别为：其开环NyquistNyquist图如图所示。，第71页/共90页第72页/共90页 由图可见，当 ，即无延时环节时，NyquistNyquist轨迹的相位不超过180180度，只到第三象限，此二阶系统肯定是稳定的。随着值增加，相位也增加，NyquistNyquist轨迹向左上方偏转，进入第二和第一象限，当 增加到使NyquistNyquist轨迹包围点（1,j01,j0）时，闭环系统就不稳定。所以

21、，由开环NyquistNyquist图上可以明显看出，串联延时环节对稳定性是不利的，虽然一阶系统或二阶系统，其开环放大系数K K就不允许取很高的数值，同时，为了提高这些系统的稳定性，还应尽可能地减小延时时间 。第73页/共90页5.4 Bode5.4 Bode稳定判据 NyquistNyquist判据:利用开环频率特性的极坐标图（NyquistNyquist图）来判别闭环系统稳定性。利用开环对数坐标图，即BodeBode图，来判别系统的稳定性。这种方法有时称为对数频率特性判据，简称对数判据或BodeBode判据。它实质上是NyquistNyquist判据的引申。第74页/共90页图与BodeB

22、ode图的对应关系 开环BodeBode图与开环极坐标图对应关系：（1 1）极坐标图上的单位圆相当于BodeBode图上的0 0分贝线，即对数幅频特性图的横轴。（2 2）极坐标图上的负实轴相当于BodeBode图上的180180线，即对数相频特性图的横轴。相位GH GH 均为180180。由上对应关系，极坐标图也可画成BodeBode图，如图中(a)(a)可画成(c)(c)，(b)(b)可画成(d)(d)。第75页/共90页第76页/共90页 为NyquistNyquist轨迹与单位圆交点的频率，即对数幅频特性曲线与横轴交点的频率，亦即输入与输出幅值相等时的频率称为剪切频率或幅值穿越频率、幅值

23、交界频率；为NyquistNyquist轨迹与负实轴交点的频率，亦即对数相频特性曲线与横轴交点的频率，称为相位穿越频率或相位交界频率。由图可见，曲线顺时针包围点（1,j01,j0），即曲线先在 时交于负实轴，后在 时才交于单位圆，亦即在BodeBode图即图中，对数相频特性先在 时交于180180线，对数幅频特性后 在时交于0 0分贝线。图，图的情况则相反。第77页/共90页穿越的概念 如图所示，在a a点，相频特性由上而下穿过横轴，这称为负穿越；在b b点，相频特性由下而上穿过横轴，这称为正穿越。可以看出，对数相频特性正穿越一次，就相当于NyquistNyquist轨迹由上而下穿过负实轴一次

24、，此时相位减小（这里指绝对值减小）；反之，对数相频特性负穿越一次，就相当于NyquistNyquist轨迹由下而上穿过负实轴一次，此时相位增大。由图可见，在0 0 范围内，对数相频特性正、负穿越次数之差为0 0，那么在P P=0=0时，系统稳定，此系统实际为一条件稳定系统。对IIII型系统（如 ），对其对数相频特性一开始就由180180向下，则算负半次穿越；反之，若对数相频特性一开始就由180180向上，则算正半次穿越，如图所示。第78页/共90页第79页/共90页第80页/共90页判据 根据NyquistNyquist判据和此种对应关系，对数判据可表述如下：在P P=0=0时，若开环对数幅频

25、特性比其对数相频特性先效于横轴，即 ，如图所示，则闭环系统稳定；若开环对数幅频特性比其对数相频特性后交于横轴，即 ，如图所示，则闭环系统不稳定；若 ，则闭环系统临界稳定。或换言之：若开环对数幅频特性达到0 0分贝，即交于 时，其对数相频特性还在180180线以上，即相位还不足180180，则闭环系统稳定；若开环相频特性达到180180时，其对数幅频特性还在0 0分贝线以上，即幅值不足1 1，则闭环系统不稳定。第81页/共90页 一般系统的开环系统多为最小相位系统，即P P=0=0，故可按上述条件来判别其稳定性。上述即为P P=0=0的闭环系统稳定的充要条件。若考虑包括P P00时的情况，对数判

26、据则可全面地叙述如下 在BodeBode图上，当 由0 0变到 时，开环对数相频特性在0 0到 的频率范围（即开环对数幅频特性不为负值的范围）内，正穿越和负穿越180180轴线的次数之差为P P/2/2时，闭环系统稳定；否则不稳定。若开环对数幅频特性对横轴有多个剪切频率，如图所示，则取剪切频率取大的 判别，因为若系统是稳定的，则用 判别，自然也就是稳定的。第82页/共90页5.5 5.5 系统的相对稳定性 从NyquistNyquist稳定判据可推知：若P P=0=0的闭环系统稳定，且当NyquistNyquist轨迹离点（-1,j0-1,j0）越远，则其闭环系统的稳定性越高；开环Nyquis

27、tNyquist轨迹离点（-1,j0-1,j0）越近，则其闭环系统的稳定性越低。这便是通常所说的系统的相对稳定性，它通过 对点（-1,j0-1,j0）的靠近程度来表征，其定量表示为相位裕度 和幅值裕度K Kg g，如图所示。第83页/共90页相位裕度 在 为剪切频率 （）时，相频特性GH GH 距180180线的相位差值称为相位裕度。图所示的系统不仅稳定，而且有相当的稳定性储备，它可以在 的频率下，允许相位再增加 才达到 的临界稳定条件，因此，相位裕度有时又叫做相位稳定性储备。对于稳定系统，必在BodeBode图横轴以上，这时称为正相位裕度，即有正的稳定性储备，如图所示；对于不稳定系统，必在B

28、odeBode图横轴之下，这时称为负相位裕度，即有负的稳定性储备，如图所示。第84页/共90页 相应地，在极坐标图中，如图、图所示，即为NyquistNyquist轨迹与单位圆的交点A A对负实轴的相位差值，它表示在幅值比为1 1的频率 时，,（）其中 的相位 一般为负值。对于稳定系统，必在极坐标图负实轴以下，如图所示；对于不稳定系统，必在极坐标图负实轴以上，如图所示。第85页/共90页幅值裕度 当 为相位交界频率 （）时，开环幅频特性 的倒数，称为系统的幅值裕度，即：在BodeBode图上，幅值裕度改以分贝表示为：此时，对于稳定系统，K Kg g(dB)(dB)必在0 0分贝线以下，K Kg

29、 g(dB)(dB)0 0，此时称为正幅值裕度，如图所示；对于不稳定系统，KgKg(dB)(dB)必在0 0分贝线以上，KgKg(dB)(dB)0 0，此时称为负幅值裕度，如图。第86页/共90页 上述表明，在图，对数幅频特性还可以上移K Kg g(dB)(dB)分贝，才使系统满足 的临界稳定条件，亦满足即只有增加系统的开环增益K Kg g倍，才刚刚临界稳定条件。因此幅值裕度有时又称为增益裕度。在极坐标图上，由于：所以，NyquistNyquist轨迹与负实轴的交点至原点的距离为1/1/KgKg，它代表在 频率下开环频率特性的模。显然，对于稳定系统，1/1/KgKg1 1，如图所示；对于不稳定

30、系统，1/1/KgKg1 1，如图所示。第87页/共90页 综上所述，对于开环为P P=0=0的系统的闭环系统来说，具有正幅值裕度与正相位裕度时，其闭环系统是稳定的；具有匀幅值裕度及负相位裕度时，其闭环系统是不稳定的。由上可见，利用NyquistNyquist图或BodeBode图所计算出的 ，K Kg g相同。从工程控制实践中可知，为使上述系统有满意有稳定性储备，一般希望：K Kg g(dB)(dB)6dB6dB，即K Kg g2 2。应当着重指出，为了确定上述系统的相对稳定性，必须同时考虑相位裕度和幅值裕度两个指标，只应用其中一个指标，不足以说明系统的相对稳定性。第88页/共90页作业p171-5.7;5.10-1、3;5.12;5.14第89页/共90页感谢您的观看！第90页/共90页