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1、力学量用算符表达第1页，本讲稿共29页18-10 势垒贯穿（隧道效穿（隧道效应）在在经典力学中典力学中,若若 ,粒子的粒子的 动能能为正正,它只能在它只能在 I 区中运区中运动。即粒子运。即粒子运动 到到势垒左左边缘就被反射回去，不能穿就被反射回去，不能穿过势垒。OIIIIII求一个求一个动量和能量已知的粒量和能量已知的粒 子受到子受到势场的作用后，被散的作用后，被散 射到各个方向去的几率。射到各个方向去的几率。在量子力学中在量子力学中,无无论粒子能量是大于粒子能量是大于还是是 小于小于 都有一定的几率穿都有一定的几率穿过势垒，也有，也有 一定的几率被反射。一定的几率被反射。我我们下面只就下面
2、只就 时，讨论薛定薛定谔方程的解。方程的解。第2页，本讲稿共29页势垒的的势场分布写分布写为：在三个区在三个区间内波函数内波函数应遵从的遵从的 薛定薛定谔方程分方程分别为：OIIIIII定定态薛定薛定谔方程方程 的解又如何呢？的解又如何呢？第3页，本讲稿共29页令：定定态解的含解的含时部分：部分：三个区三个区间的薛定的薛定谔方程化方程化为：第4页，本讲稿共29页若考若考虑粒子是从粒子是从 I 区入射，在区入射，在 I 区中有入射波区中有入射波 反射波；粒子从反射波；粒子从I区区经过II区穿区穿过势垒到到III 区，区，在在III区只有透射波。粒子在区只有透射波。粒子在处的几率要大的几率要大 于
3、在于在处出出现的几率。的几率。其解为：根据根据边界条件界条件：时、空异号、空异号 为右行波右行波第5页，本讲稿共29页求出解的形式画于求出解的形式画于图中。中。定定义粒子穿粒子穿过势垒的的贯穿系数穿系数：IIIIII隧道效隧道效应当当 时，势垒的的宽度度约50nm 以上以上时，贯穿系数会小六个数量穿系数会小六个数量级以上。隧道效以上。隧道效应在在 实际上已上已经没有意没有意义了。量子概念了。量子概念过渡到渡到经典了。典了。第6页，本讲稿共29页 隧道效隧道效应和和扫描隧道描隧道显微微镜STM由于由于电子的隧道效子的隧道效应，金属中的，金属中的电子并不完全局限于子并不完全局限于 表面表面边界之内
4、，界之内，电子密度并不在表面子密度并不在表面边界界处突突变为零，零，而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减而是在表面以外呈指数形式衰减，衰减长度度约为1nm。只要将原子只要将原子线度的极度的极细探探针 以及被研究物以及被研究物质的表面作的表面作为 两个两个电极，当极，当样品与品与针尖的尖的 距离非常接近距离非常接近时，它，它们的表的表 面面电子云就可能重叠。子云就可能重叠。若在若在样品与品与针尖尖 之之间加一微小加一微小电 压Ub电子就会穿子就会穿 过电极极间的的势垒 形成隧道形成隧道电流。流。隧道隧道电流流对针尖与尖与样品品间的距离十分敏感。的距离十分敏感。若控制隧道若控制隧道电流不流不变，则探
5、探针在垂直于在垂直于样品品 方向上的高度方向上的高度变化就能反映化就能反映样品表面的起伏。品表面的起伏。Scanning tunneling microscopy第7页，本讲稿共29页因因为隧道隧道电流流对针尖与尖与样品品间的距离十分敏感。的距离十分敏感。若控制若控制针尖高度不尖高度不变，通，通过隧道隧道电流的流的变化可化可 得到表面得到表面电子子态密度的分布；密度的分布；使人使人类第一次能第一次能够实时地地观 测到到单个原子在物个原子在物质表面上表面上 的排列状的排列状态以及与表面以及与表面电子子 行行为有关的性有关的性质。在表面科。在表面科 学、材料科学和生命科学等学、材料科学和生命科学等
6、 领域中有着重大的意域中有着重大的意义和广和广 阔的的应用前景。用前景。空气隙空气隙STM工作示意工作示意图样品品探探针利用利用STM可以分辨表面上可以分辨表面上 原子的台原子的台阶、平台和原子、平台和原子 阵列。可以直接列。可以直接绘出表面出表面 的三的三维图象象第8页，本讲稿共29页利用光学中的受抑全反射理利用光学中的受抑全反射理论，研制，研制 成功光子成功光子扫描隧道描隧道显微微镜（PSTM)。1989年提出成象技年提出成象技术。它可用于不它可用于不导电样品的品的观察。察。STM样品必品必须具有一定程度的具有一定程度的导电性；性；在恒流工作模式下有在恒流工作模式下有时对表面某些沟表面某些
7、沟 槽不能准确探槽不能准确探测。任何一种技。任何一种技术都有都有 其局限性。其局限性。见FPCAI、ZLCAI、CAIUPS软件。件。量子量子围栏和分子人。和分子人。第9页，本讲稿共29页例例题：线性性谐振子的定振子的定态薛定薛定谔方程及解方程及解若若选取取线性性谐振子平衡位置振子平衡位置为坐坐标原点，并原点，并选取取 其其为势能的零点，能的零点，则线性性谐振子的振子的势能表示能表示为：m是粒子的是粒子的质量，量，K是是 谐振子的振子的弹性系数。性系数。对经典典谐振子振子 它是角它是角频率。率。线性性谐振子的定振子的定态薛定薛定谔方程方程为：它是它是变系数二系数二阶常微分方程，可解。常微分方程
8、，可解。第10页，本讲稿共29页引引进无量无量纲参量参量 和和方程化方程化为：*波函数在波函数在 时的的渐近行近行为：方程化方程化为：其其渐近解近解为：因因为谐振子是振子是处于束于束缚态应舍弃舍弃 解。解。所以有当所以有当 时第11页，本讲稿共29页根据根据渐近行近行为方程解可写方程解可写为：上述厄米微分方程的解是个无上述厄米微分方程的解是个无穷级数。数。为了了 保保证束束缚态边界条件的成立，必界条件的成立，必须使使这个个级 数只包含有限数只包含有限项，其条件是：，其条件是：代入原方程代入原方程应满足：足：第12页，本讲稿共29页*得出得出满足束足束缚边界条件的界条件的级数解是：数解是：称称为
9、厄米多厄米多项式。它的前几个式。它的前几个为：普遍表达式：普遍表达式：第13页，本讲稿共29页*能量本征能量本征值和零点能和零点能因因为：所以所以线性性谐振子的能振子的能级只能取分立只能取分立值，能，能级间隔相等。隔相等。线性性谐振子基振子基态能：能：第14页，本讲稿共29页有关光被晶体散射的有关光被晶体散射的实验，证明在明在趋于于绝对零度零度时，散，散 射光的射光的强度度趋于一确定于一确定值。说明原子有零点振明原子有零点振动存在。存在。常常压下，温度下，温度趋于零度附近，液于零度附近，液态氦也不会氦也不会 变成固体，具有成固体，具有显著的零点能效著的零点能效应。实验事事实：*能量本征函数和宇
10、称能量本征函数和宇称线性性谐振子的定振子的定态波函数波函数第15页，本讲稿共29页线性性谐振振子子波波函函数数线性性谐振振子子位位置置几几率率密密度度第16页，本讲稿共29页线性性谐振子振子 n=11 时的几率密度分布的几率密度分布在原点速度最大，停留在原点速度最大，停留时间短，粒子出短，粒子出现的的 几率小；在两端速度几率小；在两端速度为零，出零，出现的几率最大。的几率最大。虚虚线是是经典典结果。果。第17页，本讲稿共29页可可见当当n为偶数偶数时，称，称线性性谐振子振子处于偶宇称。于偶宇称。可可见当当n为奇数奇数时，称，称线性性谐振子振子处于奇宇称。于奇宇称。随量子数随量子数n增大，量子增
11、大，量子谐振子的几率密度迅速振子的几率密度迅速 震震荡，其平均，其平均值与与经典典结果果趋于符合。相似性于符合。相似性 逐逐渐增大。在原点速度最大，停留增大。在原点速度最大，停留时间短，粒短，粒 子出子出现的几率小；在两端速度的几率小；在两端速度为零，出零，出现的几的几 率最大。率最大。第18页，本讲稿共29页波函数的模方波函数的模方 代表粒子在代表粒子在 t 时刻时刻 r 处的处的 几率密度。波函数是几率波，满足波的叠加。几率密度。波函数是几率波，满足波的叠加。18-11 量子力学的基本假设量子力学的基本假设量子体系的状态由波函数完全描述。量子体系的状态由波函数完全描述。可观测的力学量对应一
12、个线性厄米算符。可观测的力学量对应一个线性厄米算符。力学量算符的本征值方程力学量算符的本征值方程 中的本征值中的本征值 对应该力学量的一切可对应该力学量的一切可 测量值。测量值。第19页，本讲稿共29页其展开系数的模方其展开系数的模方 就是在就是在该态 中中测量量 到与算符到与算符 相相应的本征的本征态 其本征其本征值的几率。的几率。力学量算符的本征函数力学量算符的本征函数 构成完构成完备正交系正交系力学量的平均力学量的平均值：任何任何态函数函数 均可以用力学量算符的本征均可以用力学量算符的本征 函数系，或一函数系，或一组力学量完全集的共同本征力学量完全集的共同本征 函数系来展开。例如：函数系
13、来展开。例如：第20页，本讲稿共29页函数随函数随时间的演化服从薛定的演化服从薛定谔波波动方程方程对于全同粒子系的状于全同粒子系的状态，粒子的交，粒子的交换不改不改变 系系统的状的状态全同性原理。全同性原理。其中其中 是系是系统的哈密的哈密顿算符算符第21页，本讲稿共29页除了位置和除了位置和动量以外，其中一量以外，其中一类以坐以坐标为函数函数 的力学量，其量子力学所的力学量，其量子力学所对应的算符形式不的算符形式不变。如如势能能 和作用力和作用力 。力学量用算符表达力学量用算符表达经验告告诉我我们，与，与经典力学量典力学量对应的量子力学的量子力学 中的算符形式：中的算符形式：另一另一类经典力
14、学量是与典力学量是与动量有关，其量子力学量有关，其量子力学 所所对应的算符可用的算符可用动量的量的对应关系得出，例如关系得出，例如 动能算符的表达式：能算符的表达式：第22页，本讲稿共29页角角动量算符的表达式：量算符的表达式：第23页，本讲稿共29页角角动量算符的模方定量算符的模方定义为：球坐标球坐标第24页，本讲稿共29页 本征本征值和本征函数和本征函数是力学量是力学量A 取确定取确定值 时的本征的本征态称上式称上式为算符算符 的本征的本征值方程方程。是力学量是力学量A的一个本征的一个本征值。由本征由本征值方程解出的全部本征方程解出的全部本征值 就是相就是相应力学量的力学量的可能取可能取值
15、。当力学量算符当力学量算符 作用在波函数作用在波函数 上，其上，其结果是果是 同一个函数乘以一个常量同一个函数乘以一个常量时：第25页，本讲稿共29页则称本征称本征值 是是 重重简并的。称并的。称 为简并度并度简并并态的的选择不是唯一的。不是唯一的。如果属于本征如果属于本征值 的本征的本征态不是一个，而是不是一个，而是 个，即力学量个，即力学量A的本征方程的本征方程为：矩矩阵代数中的厄米矩代数中的厄米矩阵 矩矩阵代数中的本征矢代数中的本征矢 矩矩阵代数中的本征代数中的本征值 物理量算符物理量算符微微观粒子的定粒子的定态与定与定态对应的的 物理量的确定物理量的确定值第26页，本讲稿共29页举例：
16、动量算符的本征值方程是举例：动量算符的本征值方程是式中式中 是动量算符的本征值，在直角坐标系下是动量算符的本征值，在直角坐标系下 为为 均为实数。动量本征值方程的解：均为实数。动量本征值方程的解：它就是它就是 的单色平面波，在量子力的单色平面波，在量子力 学中，平面波代表粒子有确定的动量、在学中，平面波代表粒子有确定的动量、在 空间各处出现的几率相同的状态。空间各处出现的几率相同的状态。第27页，本讲稿共29页力学量算符必力学量算符必须是是线性厄米算符。性厄米算符。*厄米算符的本征厄米算符的本征值必必为实数。数。*厄米算符的平均厄米算符的平均值必必为实数。数。*当出当出现简并并时，可以，可以证
17、明：明：总可以适当可以适当 地地线性性组合合简并并态，使之彼此正交。，使之彼此正交。线性厄米算符的性性厄米算符的性质：*厄米算符的属于不同本征厄米算符的属于不同本征值的本征函数的本征函数 彼此正交。彼此正交。厄米算符厄米算符第28页，本讲稿共29页力学量的完全集、本征函数的完全性力学量的完全集、本征函数的完全性通常一个力学量通常一个力学量 的本征的本征值是是简并的并的,这时必必 定存在独立于定存在独立于 ,而又与它而又与它对易的其它力学量易的其它力学量 。如果它。如果它们的共同本征函数仍然的共同本征函数仍然简并，并，则必定必定还存在与它存在与它们都都对易的另一个力学量易的另一个力学量 余此余此类推。推。、，共同本征函数共同本征函数 ，其中，其中 是是 一一组量子数的量子数的记号，当号，当这一一组记号号给定后，定后，该体系就有完全确定的状体系就有完全确定的状态。称。称这一一组力学力学 量构成体系的一量构成体系的一组力学量完全集。力学量完全集。力学量完全集的共同本征函数力学量完全集的共同本征函数 是正交是正交归一的一的。第29页，本讲稿共29页