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1、力学量与算符第1页，本讲稿共20页n第二章中，求 的平均值时，引入了算符概念：将这一概念推广，得量子力学的第四个基本假定：*任一力学量A，对应于一力学量算符 即，n那么：1.量子力学中算符的一般定义是什么？2.算符之间如何运算？3.与力学量A对应的算符 与数学上的一般算符有何异同？4.的本征值问题？5.如何随时间变化？6.An如何随 中参数变化？这就是本章将要解答的问题！第2页，本讲稿共20页4.1 力学量算符的定义及运算一，定义：对任意波函数 ，=算符的定义与波函数是分不开的，若无特别说明，算符对它后面的波函数都起作用。二，算法运算：1，加减 a，结合律 b，交换律 2，乘 note:不一定
2、等于第3页，本讲稿共20页3，对易关系4,逆算符：若 ，则5，除：6，算符函数：第4页，本讲稿共20页 三.算符的厄米共轭运算与厄米算符1，内积2，算符的复共轭运算：在某一表象下，求算符的共轭算符。如：3，定义算符的转置算符，满足*厄米共轭运算：第5页，本讲稿共20页4，算符的厄米共轭运算(1)定义：若 则(2)性质：5，厄米算符：若 ，则称 为厄米算符第6页，本讲稿共20页4.2 厄米算符的性质1厄米算符的平均值为实数2厄米算符的本征波函数具有正交性3厄米算符的本征函数是完备的4两个厄米算符有共同本征波函数完备集的充分必要条件是：二者对易。第7页，本讲稿共20页4.3 力学量与力学量算符及平
3、均值n量子力学第三个基本假定：力学量和力学量算符任一力学量 都对应于一个力学量算符 ；且 是厄米算符，；力学量算符 的本征值就是力学量F允许的取值；当且仅当粒子处在 本征态时，粒子的力学量有确定值，i.e.相应的本征值。第8页，本讲稿共20页n量子力学第四个基本假定：力学量的平均值量子力学中所说的力学量算符的本征波函数是完备的，i.e.任一波函数均可用此本征波函数展开；展开系数模平方是粒子处在该本征态的几率；力学量在态的平均值是：第9页，本讲稿共20页4.4 常见力学量算符的本征值和n常见力学量算符：1坐标：，任意且连续 归一化：第10页，本讲稿共20页二，动量正交归一：经验：当本征值取连续值
4、时，本征波函数要归一化为函数三，轨道角动量1.角动量算符及其对易关系第11页，本讲稿共20页 可证：有共同的本征波函数完备集 第12页，本讲稿共20页2.球坐标系下，轨道角动量算符的表达式特点 、只与 有关，与r无关可求 或 或 的共同本征波函数完备集。第13页，本讲稿共20页3.球坐标下求解 的共同本征波函数完备集在球坐标下有：利用自然边界条件：和 是同一点得将其带入方程并作参数变换，变形后对比Legendre方程可得：其中 为球谐函数，为连带Legendre多项式第14页，本讲稿共20页n球谐函数的性质：正交归一性；宇称确定；完备性；递推性。n升降算符定义：厄米共轭：对易关系：对于球谐函数
5、有：第15页，本讲稿共20页4.5 不确定关系n引入：n两算符 有共同本征波函数完备集的充分必要条件是：n当粒子处于算符 本征态时，有确定值，n当粒子处于算符 本征态时，有确定值，因此，当 时，、可同时有确定值那么，当 时，两者是否可同时有确定值？计算可知：此式称为测不准关系或不确定关系。第16页，本讲稿共20页测不准关系的理解n测不准关系表示不论粒子处于什么状态，在任一时刻测量到的粒子力学量A与B的几率分布宽度A与B之间，存在一定的关系。若 与 不对易，一般不为零，这时测不准关系表示乘积A与B一定大于或等于某一个正数。这表明A与B不能同时为零，粒子波函数不可能同时是 与 的本征函数，粒子不可
6、能同时处于 与 的本征态上。第17页，本讲稿共20页4.7 力学量平均值随时间的变化，守恒量n在由归一化波函数 描写的态中，力学量F的平均值一般为时间t的函数，上式对t微商，得利用薛定谔方程及其复共轭方程，结合 是厄米算符的特点，得如果 不含t，且 与 对易，则 ，不随时间变化，可见，力学量算符不含t，且与 对易的条件下，无论粒子处于何态，该力学量的平均值均不随时间变化，该力学量称为守恒量。第18页，本讲稿共20页讨论n在某一力场中力学量F守恒，并不表示力学量F一定去确定值fn。它仅表示无论粒子处于此力场的哪一个态上，力学量F的平均值均不随时间变化。如果t=0时粒子的F=fn，即粒子处于 的本征值为fn的本征态上，则任何时候该粒子的F都是fn，即粒子永远处于 的本征值为fn的本征态上；反之亦然。第19页，本讲稿共20页4.7 维里定理与F-H定理n维里定理 维里定理包含以下两个内容：n当粒子处于势场V(r)中的束缚定态n n(r)(r)时，其动能平均值可表示为：或n如果V(r)是 r的次齐次函数，则n费曼-海尔曼定理(F-H定理)nF-H定理：设粒子的束缚定态能量为En，相应的归一化波函数为n n，为哈密顿算符中任一参数，则第20页，本讲稿共20页