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1、函数极限连续ppt1第1页，本讲稿共123页哪些主要的科学问题呢哪些主要的科学问题呢?有四种主要类型的问题有四种主要类型的问题.Archimedes2第2页，本讲稿共123页 第一类问题 已知物体移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。3第3页，本讲稿共123页 困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是 0，而 0/0 是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在它运动的每一时刻必
2、有速度，是不容怀疑的。第一类问题4第4页，本讲稿共123页 求曲线的切线。这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。第二类问题5第5页，本讲稿共123页 第二类问题 困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个没有解决的问题。古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。6第6页，本讲稿共123页 第三类问题 求函数的最大最小值问题。十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 角发射炮弹时，射程最大。研究行星运动也涉及最大最小值问题。
3、7第7页，本讲稿共123页 困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。第三类问题8第8页，本讲稿共123页 第四类问题 求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一个物体上的引力。9第9页，本讲稿共123页 困难在于：古希腊人用穷竭法求出了一些面积和体积，尽管他们只是对于比较简单的面积和体积应用了这个方法，但也必须添加许多技巧，因为这个方法缺乏一般性，而且经常得不到数值的解答。穷竭法先是被逐步修改，后来由微积分的创立而被根本修改了。第四类问题10第10页，本讲稿共123页1.分析基础:函数,极限,连续 2.微积
4、分学:一元微积分3.向量代数与空间解析几何4.无穷级数5.常微分方程主要内容主要内容多元微积分11第11页，本讲稿共123页二、如何学习高等数学二、如何学习高等数学?1.认识高等数学的重要性,培养浓厚的学习兴趣.2.学数学最好的方式是做数学.聪明在于学习聪明在于学习,天才在于积累天才在于积累.学而优则用学而优则用,学而优则创学而优则创.由薄到厚由薄到厚,由厚到薄由厚到薄.马克思马克思恩格斯恩格斯要辨证而又唯物地了解自然,就必须熟悉数学.一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步.华罗庚华罗庚12第12页，本讲稿共123页1 函函 数数、极极 限限 与与 连连 续续1.1函函数数
5、1.2 初初等等函函数数1.3 极极限限概概念念1.4 极极限限的的计计算算1.5 无无 穷穷 小小 量量 与与 无无 穷穷 大大 量量1.6 函函数数的的连连续续性性第13页，本讲稿共123页1.1函数函数1.1.1区间及邻域区间及邻域1.1.2函数的定义函数的定义1.1.3医学中常用的函数表示法医学中常用的函数表示法1.1.4函数的性质函数的性质第14页，本讲稿共123页1.1.1区间及邻域区间及邻域区间区间(interval)开区间开区间a ab b闭区间闭区间a ab b半开半闭区间半开半闭区间(a,b、a,b)以上区间统称为以上区间统称为以上区间统称为以上区间统称为有限区间有限区间无
6、限区间无限区间(P.1(P.1自学自学自学自学)第15页，本讲稿共123页邻域邻域(neighborhood)邻域是一种特殊的区间。邻域是一种特殊的区间。邻域是一种特殊的区间。邻域是一种特殊的区间。点点a的的邻域邻域a aa-a-a+a+点点a的空心邻域的空心邻域a aa-a-a+a+右邻域右邻域(a,a+)，左邻域，左邻域(a-,a)第16页，本讲稿共123页1.1.2函数的定义函数的定义(function)设设在某变化过程中有两个变量在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于如果对于x 在某个范围在某个范围D内的每一个确定的值内的每一个确定的值,按照某个对应法则按照某个对应法则f，y 都有（
7、唯一）确定的值都有（唯一）确定的值与它对应，则称变量与它对应，则称变量y 是确定在是确定在D上的上的x 的的函数函数。定义定义1.1 x：自变量自变量 x的取值范围的取值范围D：定义域定义域 y：因变量因变量(函数变量函数变量)函数值函数值 y的取值范围：的取值范围：值域值域，记为，记为f(D)(function)记为：记为：y=f(x)，xD第17页，本讲稿共123页1.决定一个函数的因素有哪些？决定一个函数的因素有哪些？2.如何确定函数的定义域？如何确定函数的定义域？第18页，本讲稿共123页1.1.3医学中常用的函数表示法医学中常用的函数表示法列表法列表法 用表格列示出用表格列示出x与与
8、y的对应关系。的对应关系。图像法图像法 以数对以数对(x,y)为点的坐标描绘出能反映为点的坐标描绘出能反映x解析法解析法 用等式表示出用等式表示出x与与y的关系。的关系。优点优点：便于查出函数值。：便于查出函数值。与与y的对应关系的曲线。的对应关系的曲线。优点优点：容易观察函数的变化趋势。：容易观察函数的变化趋势。优点优点：便于从理论上：便于从理论上对函数进行定性对函数进行定性研究与定量分析。研究与定量分析。第19页，本讲稿共123页医学和物理学中常用的医学和物理学中常用的分段函数分段函数：例例1.1.1符号函数符号函数xyo-11例例1.1.2脉冲函数脉冲函数xoy例例1.1.3xyo第20
9、页，本讲稿共123页1.1.4函数的性质函数的性质奇偶性奇偶性设函数设函数y=f(x)，xD，D是对称于原点的数集是对称于原点的数集。若对。若对D上任何上任何x，如果如果f(x)=f(x)，则称，则称y=f(x)为为偶函数偶函数；如果如果f(x)=f(x)，则称，则称y=f(x)为为奇函数奇函数。偶函数的图像关于偶函数的图像关于y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称。轴对称，奇函数的图像关于原点对称。第21页，本讲稿共123页单调性单调性设函数设函数y=f(x)，xD。若对于。若对于D内任意两个内任意两个x1，x2，当当x1x2时，总有时，总有f(x1)f(x2)，则称函数，则称函数y=f(x)
10、是是D上的上的单调递增函数单调递增函数；当当x1 0当 x=0当 x N 时,总有记作此时也称数列收敛,否则称数列发散.几何解释:即或则称该数列的极限为 a,43第43页，本讲稿共123页例例例例1.1.已知已知证明数列的极限为1.证证:欲使即只要因此,取则当时,就有故第44页，本讲稿共123页例例例例2.2.已知已知证明证证:欲使只要即取则当时,就有故故也可取也可由N 与 有关,但不唯一.不一定取最小的 N.说明说明:取45第45页，本讲稿共123页收敛性质收敛性质证证:用反证法.及且取因故存在 N1,从而同理,因故存在 N2,使当 n N2 时,有1.收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.
11、使当 n N1 时,假设从而矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时,故假设不真!满足的不等式46第46页，本讲稿共123页2.收敛数列一定有界收敛数列一定有界.说明说明:此性质反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛.数列47第47页，本讲稿共123页1.3.2函数极限函数极限(limit of function)数列数列xn可表示成函数的形式：可表示成函数的形式：y=f(n),nNy=f(x),xN这时，自变量的变化趋势只有一种：这时，自变量的变化趋势只有一种：x+而对一般的函数而言，而对一般的函数而言，y=f(x),xD自变量的变化趋势有两种情形：自变量的变化趋势有两种情形：x+、
12、x-、x;xx0第48页，本讲稿共123页定义定义1.4(x 趋于无穷大时函数趋于无穷大时函数f(x)的的极限极限)设函数设函数f(x)在区间在区间(a,+)内有定义，内有定义，A是某确定常数。若当是某确定常数。若当x+时，时，f(x)与与A的距离的距离|f(x)-A|任意小，则称任意小，则称函数函数f(x)在在x+时以常数时以常数A为极限为极限，记为记为或或并称并称x+时时f(x)收敛收敛(converge)；否则，称；否则，称x+时时f(x)发散发散(diverge)。同理，可定义同理，可定义函数函数f(x)在在x-时以常数时以常数A为极限：为极限：第49页，本讲稿共123页定义定义.设函
13、数大于某一正数时有定义,若则称常数时的极限,几何解释几何解释:记作直线 y=A 为曲线的水平渐近线A 为函数50第50页，本讲稿共123页直线 y=A 仍是曲线 y=f(x)的渐近线.两种特殊情况两种特殊情况:当时,有当时,有几何意义几何意义:例如，都有水平渐近线都有水平渐近线又如，51第51页，本讲稿共123页定义定义1.5(x 趋于趋于x0时函数时函数f(x)的的极限极限)设函数设函数f(x)在在点点x0附近有定义附近有定义，A是某确定常数。若当自变量是某确定常数。若当自变量x 趋于趋于x0时，时，f(x)与与A的距离的距离|f(x)-A|任意小，则称任意小，则称函数函数f(x)在在x 趋
14、于趋于x0时以常数时以常数A为为极限极限，记为，记为或或并称并称x 趋于趋于x0时时f(x)收敛收敛；否则，称；否则，称x 趋于趋于x0时时f(x)发散发散。第52页，本讲稿共123页定义定义定义定义1.1.设函数设函数在点的某去心邻域内有定义,当时,有则称常数 A 为函数当时的极限,或即当时,有若记作几何解释几何解释:极限存在函数局部有界这表明:53第53页，本讲稿共123页说明：说明：1.1.函数极限的实质函数极限的实质函数极限的实质函数极限的实质：考察当考察当考察当考察当 xx x00时，函数时，函数时，函数时，函数 f f(x)的变化趋势：的变化趋势：的变化趋势：的变化趋势：若若若若
15、x xx x00时函数时函数时函数时函数 f(x x)收敛，则收敛，则收敛，则收敛，则 x xx x00时时f(x x)必定趋向于某一个确定的数；必定趋向于某一个确定的数；必定趋向于某一个确定的数；必定趋向于某一个确定的数；若若若若 x xx x00时函数时函数时函数时函数 f f(x)发散，则发散，则发散，则发散，则 x xx x00时时时时 f f(x x)不趋向于任何确定的数。不趋向于任何确定的数。不趋向于任何确定的数。不趋向于任何确定的数。2.2.“x xx0”表示表示表示表示 x x 从从x x00的的两侧两侧两侧两侧任意接近任意接近任意接近任意接近 x0 0。3.3.但有时也需考虑
16、但有时也需考虑但有时也需考虑但有时也需考虑 x 从从从从 x0的某一侧任意接近的某一侧任意接近x x0时，函数时，函数时，函数时，函数 f(x x)的极限情况。的极限情况。的极限情况。的极限情况。第54页，本讲稿共123页例例例例.证明证明证证:故取当时,必有因此55第55页，本讲稿共123页例例1.3.2不存在不存在不存在不存在不存在不存在不存在不存在第56页，本讲稿共123页x x00 时，时，时，时，在在在在11和和和和11之间无限震荡。之间无限震荡。之间无限震荡。之间无限震荡。第57页，本讲稿共123页1.3.3单侧极限单侧极限(one-sided limit)定义定义1.6(单侧极限
17、单侧极限)设函数设函数f(x)在区间在区间(x0,x0+)内有定义，内有定义，A是某确定常数。若是某确定常数。若x 从从x0的的右侧右侧趋于趋于x0时，时，f(x)与与A的距离的距离|f(x)-A|任意小，则称函数任意小，则称函数f(x)在在x 趋于趋于x0时以常数时以常数A为为右极限右极限(right-sided limit)，记为，记为或或同理，同理，左极限：左极限：(left-sided limit)第58页，本讲稿共123页例例1.3.3考察符号函数考察符号函数sgnx在在x=0处的单侧极限。处的单侧极限。解：解：sgnx 的图像如右图：的图像如右图：o x y1-1则右极限则右极限左
18、极限左极限 x x0时，时，sgnxsgnx的变化趋势如何？的变化趋势如何？的变化趋势如何？的变化趋势如何？是否有极限？可得出什么结论？是否有极限？可得出什么结论？是否有极限？可得出什么结论？是否有极限？可得出什么结论？第59页，本讲稿共123页定理定理1.1(单侧极限与一般极限的关系单侧极限与一般极限的关系)当当xx0时，函数时，函数f(x)极限存在的充要条件是左、右极限存在且相等，即极限存在的充要条件是左、右极限存在且相等，即or第60页，本讲稿共123页例例例例.设函数设函数讨论 时的极限是否存在.解解:利用定理 3.因为显然所以不存在.61第61页，本讲稿共123页问问a 为何值时，所
19、给函数在为何值时，所给函数在x=2处极限存在处极限存在?例例1.3.4解：解：左极限左极限右极限右极限欲使函数在欲使函数在x=2处有极限，必有处有极限，必有4+2a=20,a=8.第62页，本讲稿共123页1.研究函数在研究函数在x xx x0极限时，是否要考虑极限时，是否要考虑极限时，是否要考虑极限时，是否要考虑 f f(x x)在在在在 x=x x0时的性态？为什么？时的性态？为什么？时的性态？为什么？时的性态？为什么？2.若若f f(x x0+0)0+0)和和和和 f(x x0 0-0)-0)都存在，当都存在，当都存在，当都存在，当 x x 趋于趋于x00时，时，时，时，f(x x)的极
20、限一定存在吗？的极限一定存在吗？3.3.如何利用如何利用如何利用如何利用 f(x0 0+0)和和f f(x x0 0-0)来判断当来判断当x x 趋于趋于趋于趋于 x x00时，时，f f(x)的极限不存在？的极限不存在？的极限不存在？的极限不存在？第63页，本讲稿共123页1.4极限的计算极限的计算1.4.1极限的四则运算法则极限的四则运算法则1.4.2两个重要极限两个重要极限第64页，本讲稿共123页1.4.1极限的四则运算法则极限的四则运算法则具体的运算法则见具体的运算法则见P.18定理。以下面几个例子来说明极限的运算法则定理。以下面几个例子来说明极限的运算法则:定理定理1.2(极限的四
21、则运算法则极限的四则运算法则)则有定理定理.若定理定理定理定理 .若若则有定理定理定理定理 .若且 B0,则有第65页，本讲稿共123页例例例例.求求解解:x=1 时分母=0,分子0,但因66第66页，本讲稿共123页例例例例6 6 .求求解解:时,分子分子分母同除以则分母“抓大头抓大头”原式67第67页，本讲稿共123页一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数)68第68页，本讲稿共123页例例1.4.1例例1.4.2=-1例例1.4.3第69页，本讲稿共123页思考及练习思考及练习1.是否存在?为什么?答答:不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,与已知条件矛盾.解解:原式2.问70
22、第70页，本讲稿共123页3.3.求求解法解法1原式=解法解法2令则原式=71第71页，本讲稿共123页4.4.试确定常数试确定常数 a a 使使解解:令则故因此72第72页，本讲稿共123页1.4.2两个重要极限两个重要极限两个重要极限是极限的证明及计算中的重要内容。重要极限及其变形两个重要极限是极限的证明及计算中的重要内容。重要极限及其变形也是各类考试的考点。也是各类考试的考点。第73页，本讲稿共123页圆扇形AOB的面积证证:当即亦即时，显然有AOB 的面积AOD的面积故有注注74第74页，本讲稿共123页当时注注75第75页，本讲稿共123页例例1.4.5=-1例例1.4.6=1例例1
23、.4.4=3第76页，本讲稿共123页例例例例.求解解:例例.求解解:令则因此原式77第77页，本讲稿共123页例例1.4.7第78页，本讲稿共123页例例例例.求求解解:原式=例例.已知圆内接正 n 边形面积为证明:证证:说明说明:计算中注意利用79第79页，本讲稿共123页第80页，本讲稿共123页2.证证:当时,设则81第81页，本讲稿共123页当则从而有故说明说明:此极限也可写为时,令82第82页，本讲稿共123页例例1.4.9例例1.4.10例例1.4.8第83页，本讲稿共123页例例.求解解:原式=84第84页，本讲稿共123页例例.求解解:令则因此原式且85第85页，本讲稿共12
24、3页例例例例.求求解解:原式=86第86页，本讲稿共123页1.5无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量1.5.1无穷小量无穷小量1.5.2无穷小量阶的比较无穷小量阶的比较1.5.3无穷大量无穷大量第87页，本讲稿共123页1.5.1无穷小量无穷小量如果如果定义定义1.7(无穷小量无穷小量)则称则称f(x)是是xx0 时的时的无穷小量无穷小量(infinitesimal).说明：说明：类似地，可定义在自变量的其它变化情形下的无穷小量：类似地，可定义在自变量的其它变化情形下的无穷小量：类似地，可定义在自变量的其它变化情形下的无穷小量：类似地，可定义在自变量的其它变化情形下的无穷小量：x，xx0+，
25、xx0-，称以称以称以称以0 0为极限的数列为为极限的数列为为极限的数列为为极限的数列为无穷小数列无穷小数列。第88页，本讲稿共123页例例1.5.1因为因为所以当所以当x1 时函数时函数x-1为无穷小量。为无穷小量。因为因为所以当所以当x 时函数时函数1/x为无穷小量。为无穷小量。1.无穷小量是很小的数吗？无穷小量是很小的数吗？2.数零是不是无穷小量？数零是不是无穷小量？第89页，本讲稿共123页无穷小的性质无穷小的性质当当xx0时，如果时，如果f(x)、g(x)均为无穷小，则当均为无穷小，则当xx0时，有时，有:1)f(x)g(x)为无穷小。为无穷小。推广：推广：有限个有限个无穷小的代数和
26、是无穷小无穷小的代数和是无穷小。2)有界变量有界变量(常量、无穷小量常量、无穷小量)与无穷小的积是无穷小与无穷小的积是无穷小。两个无穷小的和、差与积仍是无穷小。两个无穷小的商呢？两个无穷小的和、差与积仍是无穷小。两个无穷小的商呢？两个无穷小的和、差与积仍是无穷小。两个无穷小的商呢？两个无穷小的和、差与积仍是无穷小。两个无穷小的商呢？如：如：x x00时，时，时，时，3 3x x、x x2 2、sinxsinx 都是无穷小，但都是无穷小，但都是无穷小，但都是无穷小，但第90页，本讲稿共123页其中 为时的无穷小量.定理定理.(无穷小与函数极限的关系)证证:当时,有对自变量的其它变化过程类似可证.
27、91第91页，本讲稿共123页1.5.2无穷小量阶的比较无穷小量阶的比较对无穷小量进行阶的比较是为了考察两个无穷小量趋于对无穷小量进行阶的比较是为了考察两个无穷小量趋于0的速度。的速度。设设f(x)、g(x)为为xx0时的无穷小，如果时的无穷小，如果则称则称xx0时，时，f(x)是比是比g(x)高阶的无穷小高阶的无穷小；则称则称xx0时，时，f(x)是比是比g(x)低阶的无穷小低阶的无穷小；记为：记为：f(x)=o(g(x)(xx0)第92页，本讲稿共123页则称则称xx0时，时，f(x)与与g(x)是是同阶的无穷小同阶的无穷小。特别地，当特别地，当k=1时，称时，称f(x)与与g(x)是是等
28、价无穷小等价无穷小。记为：记为：f(x)=O(g(x)(xx0)记为：记为：f(x)g(x)(xx0)第93页，本讲稿共123页例如例如例如例如 ,当当时又如又如，故时是关于 x 的二阶无穷小,且94第94页，本讲稿共123页例例1.5.2因为因为所以，所以，当当x0时，时，x2是比是比3x高阶的无穷小量高阶的无穷小量,即即x2=o(3x)(x0)又又则当则当x3时时,x2-9 是与是与x-3 同阶的无穷小量，同阶的无穷小量，x2-9=O(x-3)(x3)第95页，本讲稿共123页例例1.5.3当当 x0 时，时，a 取何值使得取何值使得解：解：要使要使必须必须a=2第96页，本讲稿共123页
29、扩展：扩展：定理定理设设且且且且存在，存在，存在，存在，则则则则在求极限中的应用：在求极限中的应用：在求极限中的应用：在求极限中的应用：例例1.5.4求求解：解：当当时，时，sinx x,故故P.24P.24例例例例3 3第97页，本讲稿共123页例例1.求解解:原式 例例例例2.2.求求解解:98第98页，本讲稿共123页1.5.2无穷大量无穷大量定义定义1.8(无穷大量无穷大量)如果如果则称函数变量则称函数变量f(x)是是x x0时的时的无穷大量无穷大量(infinitelygreat)。说明：说明：1.不可将无穷大不可将无穷大()与很大的数混为一谈；与很大的数混为一谈；2.无穷大数列无穷
30、大数列；3.无穷大与无穷小的关系无穷大与无穷小的关系无穷大与无穷小的关系无穷大与无穷小的关系。第99页，本讲稿共123页1.6函数的连续性函数的连续性1.6.1连续的概念连续的概念1.6.2函数的间断点函数的间断点1.6.3连续函数的性质与初等函数的连续性连续函数的性质与初等函数的连续性第100页，本讲稿共123页1.6.1连续的概念连续的概念变量的增量变量的增量(increment)函数的连续性函数的连续性定义定义1.9(函数的连续性函数的连续性定义定义1)设设y=f(x)在在x0的某邻域内有定义。自变量的增量的某邻域内有定义。自变量的增量x=x-x0,函数的增量函数的增量y=f(x0+x)
31、-f(x0)。则称则称函数函数y=f(x)在在x0处连续处连续。(continuityoffunction)x0f(x0)x0+xf(x0+x)yf(x)若若第101页，本讲稿共123页例例1.6.1证明证明 y=sinx 在点在点x(-,+)连续。连续。证明：证明：由定义由定义1.9知知,y=sinx 在任意点在任意点x(-,+)连续，称连续，称sinx在区间在区间(-,+)内是连续的内是连续的。类似地类似地,y=cosx在区间在区间(-,+)内是连续的内是连续的。第102页，本讲稿共123页定义定义1.10(函数的连续性定义函数的连续性定义2)说明：说明：(1)(1)函数函数函数函数 y
32、y=f f(x x)在点在点x00及附近有定义；及附近有定义；及附近有定义；及附近有定义；2.几何意义：几何意义：1.定义要点：定义要点：函数曲线在函数曲线在函数曲线在函数曲线在 x=x x0处是处是“连连”着的。着的。3.在求极限中的应用：在求极限中的应用：在求极限中的应用：在求极限中的应用：(2)(2)函数函数函数函数 y=f f(x x)在点在点x x00处极限存在；处极限存在；处极限存在；处极限存在；(3)(3)函数函数函数函数 y y=f f(x x)在点在点在点在点 x x00处极限值等于函数值处极限值等于函数值处极限值等于函数值处极限值等于函数值 f f(x x0 0),即即：求
33、连续函数的极限时求连续函数的极限时求连续函数的极限时求连续函数的极限时,极限符号与连续函数符号可以交换顺序。因此，只要求出函数极限符号与连续函数符号可以交换顺序。因此，只要求出函数极限符号与连续函数符号可以交换顺序。因此，只要求出函数极限符号与连续函数符号可以交换顺序。因此，只要求出函数值即可。值即可。值即可。值即可。第103页，本讲稿共123页定义定义1.11(函数的左、右连续性函数的左、右连续性)设函数设函数y=f(x)在区间在区间(x0-,x0内有定义，如果内有定义，如果f(x0)=f(x0-0)，则称函数在，则称函数在点点x0左连续左连续。同理，可定义同理，可定义右连续右连续。x xy
34、 yx x0 0 x xy yx x0 0定理定理1.3(连续的充分必要条件连续的充分必要条件)左连续左连续左连续左连续右连续右连续右连续右连续第104页，本讲稿共123页定义定义1.12(函数函数在区在区间内内(上上)连续)如果函数如果函数 y=f(x)在开区间在开区间(a,b)内的每一点都连续，则称内的每一点都连续，则称 y=f(x)在开区在开区间间(a,b)内连续内连续。如果函数如果函数y=f(x)在开区间在开区间(a,b)内连续，且在区间左端点内连续，且在区间左端点a右连续，在区右连续，在区间右端点间右端点b左连续，则称左连续，则称y=f(x)在闭区间在闭区间 a,b 上连续上连续。说
35、明：说明：区区间内内(上上)的连续函数的图像是一条没有间断的曲线。的连续函数的图像是一条没有间断的曲线。第105页，本讲稿共123页1.6.2函数的间断点函数的间断点函数的间断点：函数的间断点：如果函数如果函数 y=f(x)在点在点x0 0不连续，则称不连续，则称点点x0 0为函数为函数 y=f(x)的的间断点间断点(pointofdiscontinuity)。怎样判断怎样判断点点x0 0为函数为函数 y=f(x)的间断点：的间断点：(1)函数在点函数在点x0是否有定义；是否有定义；(2)函数在点函数在点x0处的左、右极限均是否存在并相等；处的左、右极限均是否存在并相等；(3)函数在点函数在点
36、x0处的极限值是否等于该点的函数值。处的极限值是否等于该点的函数值。函数函数间断点的分断点的分类：间断点分为两类。间断点分为两类。第106页，本讲稿共123页第一第一类间断点断点：设设x0为函数为函数y=f(x)的间断点，如果的间断点，如果f(x)在间断点在间断点x0处的左、右极限都存在处的左、右极限都存在(不论不论f(x)在在x0处是否有定义处是否有定义)，则称，则称x0是是f(x)的的第一第一类间断点断点x xy yx x0 0 x xy yx x0 0第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点可去间断点可去间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点跳
37、跃间断点跳跃间断点x xy yx x0 0第107页，本讲稿共123页显然为其可去间断点.为其跳跃间断点.108第108页，本讲稿共123页第第二二类间断点：断点：除第一类间断点以外的其它间断点统称为除第一类间断点以外的其它间断点统称为第二类间断点第二类间断点。常见的有常见的有无穷间断点无穷间断点和和振荡间断点。振荡间断点。例例1.6.3考察下列函数在考察下列函数在x=0处的间断情况：处的间断情况：x=0=0为振荡间断点为振荡间断点为无穷间断点为无穷间断点第109页，本讲稿共123页1.求的间断点,并判别其类型.解解:x=1 为第一类可去间断点 x=1 为第二类无穷间断点 x=0 为第一类跳跃
38、间断点110第110页，本讲稿共123页1.6.3连续函数的性质与初等函数的连续性连续函数的性质与初等函数的连续性定理定理1.4(连续函数四则运算的连续性连续函数四则运算的连续性)在区间在区间I 上连续的函数的和、差、积与商上连续的函数的和、差、积与商(分母不为零分母不为零)，在区间，在区间I 上仍是上仍是连续的。连续的。定理定理1.5(复合函数的连续性复合函数的连续性)由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数。由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数。由由由由 sinxsinx、cosx 的连续性知的连续性知的连续性知的连续性知,tan,tanx x=
39、sinx/cosx sinx/cosx 和和cotx=cosx/sinx cosx/sinx 在其定义域内是连续函数。在其定义域内是连续函数。在其定义域内是连续函数。在其定义域内是连续函数。幂函数幂函数在其定义域内是连续函数。在其定义域内是连续函数。在其定义域内是连续函数。在其定义域内是连续函数。第111页，本讲稿共123页例如例如,是由连续函数链因此在上连续.复合而成,112第112页，本讲稿共123页例例.设均在上连续,证明函数也在上连续.证证:根据连续函数运算法则,可知也在上连续.113第113页，本讲稿共123页定理定理1.6(反函数的连续性反函数的连续性)在区间在区间I 上连续且严格
40、单调的函数的反函数，在对应区间上仍是连续且严格上连续且严格单调的函数的反函数，在对应区间上仍是连续且严格单调的。单调的。由三角函数的连续性知，反三角函数由三角函数的连续性知，反三角函数由三角函数的连续性知，反三角函数由三角函数的连续性知，反三角函数 arcsinxarcsinx,arccosx,arctanx,arccotx arccotx 在其定义域在其定义域内都是连续函数。内都是连续函数。定理定理1.6(基本初等函数的连续性基本初等函数的连续性)基本初等函数在其定义域内是连续函数。基本初等函数在其定义域内是连续函数。定理定理1.7(初等函数的连续性初等函数的连续性)初等函数在其定义域内是连
41、续函数。初等函数在其定义域内是连续函数。第114页，本讲稿共123页例例例例.求求解解:原式例例.求解解:令则原式说明说明:当时,有115第115页，本讲稿共123页例例例例.求求求求解解:原式说明说明:若则有116第116页，本讲稿共123页例例例例.设设解解:讨论复合函数的连续性.故此时连续;而故x=1为第一类间断点.在点 x=1 不连续,117第117页，本讲稿共123页定理定理1.7(最大值、最小值定理最大值、最小值定理)闭区间闭区间a,b上的连续函数必有最大值上的连续函数必有最大值M和最小值和最小值m。定理定理1.8(介值定理介值定理)f(x)在闭区间在闭区间a,b上连续，上连续，f
42、(a)=A，f(b)=B,那么对那么对A 与与B 之间任意的数之间任意的数h，在开区间，在开区间(a,b)内至少有一点内至少有一点c，使得，使得f(c)=h第118页，本讲稿共123页例例例例.证明方程一个根.证证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即说明说明:内必有方程的根;取的中点内必有方程的根;可用此法求近似根.二分法二分法在区间内至少有则则119第119页，本讲稿共123页小结小结在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4.当时,使必存在上有界;在在120第120页，本讲稿共123页1.任给一张面积为 A 的纸片(如图),证明必可将它思考与练习思考与练习一刀剪为面积相等的两片.提示提示:建立坐标系如图.则面积函数因故由介值定理可知:121第121页，本讲稿共123页则证明至少存在使提示提示:令则易证2.2.设设一点122第122页，本讲稿共123页备用题备用题备用题备用题 至少有一个不超过 4 的 证证：证明令且根据零点定理,原命题得证.内至少存在一点在开区间显然正根.123第123页，本讲稿共123页