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1、王 培 荣 Saturday,February 18,2023教学要求n n1熟练掌握计算梁变形的叠加法。n n2掌握梁刚度条件的应用。n n3.了解提高梁刚度的主要措施。64 用叠加法求弯曲变形 Deformations by superposition n n1.载荷叠加法；n n2.位移叠加法（逐段刚化法）；n n3.斜弯曲变形的位移计算。一、用叠加法计算梁的变形 设梁上有设梁上有n n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为为M(x)M(x)，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为y y，则有：，则有：若梁上只有第若梁上只有第i i个载荷单独作用，截面上弯矩为个载
2、荷单独作用，截面上弯矩为 ，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为 ，则有：，则有：由弯矩的叠加原理知：由弯矩的叠加原理知：所以，所以，故故由于梁的边界条件不变，因此由于梁的边界条件不变，因此重要结论：重要结论：梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是这就是计算弯曲变形的叠加原理计算弯曲变形的叠加原理。叠 加 法 特 征n n1.各载荷同时作用下挠度、转角，等于单独作用下挠度、转角的矢量和。同一方向的矢量和即为代数和。n n2.梁在简单载荷作用下的挠度、转角应为已知，
3、或有变形表，可供查找。叠 加 法 特 征n n1.各载荷同时作用下挠度、转角，等于单独作用下挠度、转角的矢量和。同一方向的矢量和即为代数和。n n2.梁在简单载荷作用下的挠度、转角应为已知，或有变形表，可供查找。叠加法前提叠加法前提 力与位移之间的线性关系力与位移之间的线性关系 小变形小变形n n计算步骤：n n1.分解：将作用在梁上的复杂载荷分解成简单载荷；n n2.分别计算：利用简单载荷作用下梁的挠度和转角的计算结果；n n3.叠加：可求出梁在复杂载荷作用下的变形。1.载荷叠加法已知已知：q、l EI求求：wC,B怎样用怎样用怎样用怎样用叠加法确定叠加法确定 C和和wC例 题 图示悬臂梁受
4、集中载荷F、均布载荷q和集中力偶m的作用。若已知梁的抗弯刚度为EI,跨度为l，试求B截面的转角和挠度。ABlqFmABlmABlFABlq解:画出载荷m、F、q单独作用时的悬臂梁B wBml EIFl22EI ql3 6EIml 2 2EIFl33EI ql4 8EI将各种载荷单独作用引起的变形叠加得:例 题 图示悬臂梁受均布载荷q作用。若已知梁的抗弯刚度为EI,试求B截面的转角和挠度。ABaqCaABaqCaABaqCaABaqCa例 题 图示梁受均布载荷q作用。若已知梁的抗弯刚度为EI,试求C截面的挠度。ABaqCa解法一ABaq/2CaABaq/2CaABaqCaq/2解法二ABaqCa
5、ABaqCaABaqCa例 题 图示梁受均布载荷q作用。若已知梁的抗弯刚度为EI,试求A截面的挠度。Aa2qDaaqCBAa2qDaaqCBAa2qDaaCBAaDaaqCBqa2qa22qa2qa2.位移叠加法（逐段刚化法）n n将梁分成几段，分别计算各梁段的变形在需求位移处引起的位移时，叠加得需求之位移。n n计算步骤：n n1.分段；n n2.考虑某梁段变形引起的位移时，将其它梁段视为刚化，计算位移；n n3.叠加。例题：已知例题：已知 P P,E,G,E,G，求，求C C点点铅垂位移铅垂位移PABC尺寸：尺寸：l,d尺寸：尺寸：a,b,h分析：分析：AB 弯曲弯曲+扭转变形，扭转变形，
6、BC 弯曲变形弯曲变形 故故 C点的挠度由三部分组成点的挠度由三部分组成 AB弯曲引起的弯曲引起的B点下沉点下沉AB扭转引起扭转引起C点位移点位移 BC弯曲引起弯曲引起C点下沉点下沉解：采用逐段刚化法解：采用逐段刚化法(1)(1)将将ABAB刚化刚化,计算计算BCBC弯曲变形引起的弯曲变形引起的(2)(2)C C点的挠度点的挠度.PB(固定端固定端)C尺寸：尺寸：a,b,h(2)将将BC刚化刚化,即去掉即去掉BC，但保留，但保留BC对对AB的的 作用力，计算作用力，计算AB弯曲引起的弯曲引起的C点的挠度点的挠度PAB尺寸：l,dT(3)将将BC刚化计算刚化计算AB扭转变形引起的扭转变形引起的C
7、点的点的挠度挠度计算计算B截面扭转角截面扭转角所以，所以，C点位移为：点位移为：PAB尺寸：l,dT例 题 图示梁受均布载荷q作用。若已知梁的抗弯刚度为EI,试求A截面的挠度。Aa2qDaaqCB解:1.先使CB段刚化，只考虑AC段的变形2.再使AC段刚化，考虑CB段的变形AaDaaCBAaDaaqCBq2q2qAaDaaqCBqa22qaAaDaaqCB2q 3.将AC段和CB段变形在A点分别引起的挠度叠加，得例 题 图示铰接联合梁，受均布载荷q、集中载荷F=qa的作用。若已知梁的抗弯刚度EI及尺寸a。试求B、D两点的挠度。AaDaaqCBF=qa解:1.先使BD段刚化，只考虑AB段的变形A
8、aDaaqCBF=qaAaqP=qaB2.再使AB段刚化，考虑BD段的变形AaDaaqCBF=qaaDaCBF=qa将BD段视为外伸梁，由表查得:3.将AB段和BCD段变形在B点(D点)分别引起的挠度叠加，得 用用叠加法求叠加法求AB梁上梁上E处的处的挠度挠度 wEwE 2wE=wE 1+wE 2 =wE 1+wB/2wB=?=?wE 1wB=wB1 1+wB2 2+wB3 3梁的刚度计算n n刚度条件wmaxw,maxn n式中wmax、max是由外力引起的梁中挠度和转角绝对值的最大值，它们可以通过积分法或叠加法计算求得。n n(一)校核刚度验算梁是否满足刚度条件。n n(二)设计截面由刚度
9、条件确定梁所需要横截面尺寸。n n(三)确定许可载荷由刚度条件确定梁所能承受的最大弯矩；进一步计算出梁所能承受的最大载荷。刚度条件应用例 题 工字钢截面悬臂梁AB长l=4m，在自由端作用集中荷载F=10kN。设材料的弹性模量G=210GPa，梁的容许挠度w=l/400。试按刚度条件选择工字钢截面的型号。FlAB由刚度条件:由型钢表查得32a工字钢的惯性矩为11000cm4，它能满足刚度条件，故可选用32a工字钢制作该梁。66 提高弯曲刚度的一些措施 讨论与思考题讨论与思考题AaDaaqCBP=qaAaDaaqCBP=qaAaDaaCBP=qaP=qa作 业n610（a）、(d)n614n615n621例：试求B截面的转角和挠度。3.斜弯曲变形的位移计算tan=wzwytan=FPzFPy=?llEI2EIABC例题：阶梯形悬臂梁。例题：阶梯形悬臂梁。BC段刚度为段刚度为EI，AB段刚段刚 度为度为2EI，自由端，自由端C处作用集中处作用集中力力F。求求C处挠度和转角处挠度和转角FllEI2EIABC刚化刚化BCFABCFFlABCFFl