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1、材料力学第六章弯曲变形第1页，本讲稿共40页主要内容及重点：主要内容及重点：计算弯曲变形的积分法、叠加法计算弯曲变形的积分法、叠加法弯曲刚度计算弯曲刚度计算梁的超静定问题梁的超静定问题第2页，本讲稿共40页工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题实例实例第3页，本讲稿共40页1、挠曲线（轴）、挠曲线（轴）平面弯曲时，梁变形后轴线。平面弯曲时，梁变形后轴线。平面弯曲时，梁变形后轴线。平面弯曲时，梁变形后轴线。在在在在xoyxoyxoyxoy平面内的一条连续、光滑的弹性曲线。平面内的一条连续、光滑的弹性曲线。平面内的一条连续、光滑的弹性曲线。平面内的一条连续、光滑的弹性曲线。Pyx6-1 6-1
2、引言引言第4页，本讲稿共40页2、挠度和转角、挠度和转角（梁弯曲变形的两个基本量）（梁弯曲变形的两个基本量）（梁弯曲变形的两个基本量）（梁弯曲变形的两个基本量）（1 1）挠度：）挠度：）挠度：）挠度：梁变形后，横截面的形心在垂直梁变形后，横截面的形心在垂直梁变形后，横截面的形心在垂直梁变形后，横截面的形心在垂直 于梁轴线（于梁轴线（于梁轴线（于梁轴线（x x 轴）方向上所产生轴）方向上所产生轴）方向上所产生轴）方向上所产生 的线位移，称为梁在截面的挠度。的线位移，称为梁在截面的挠度。的线位移，称为梁在截面的挠度。的线位移，称为梁在截面的挠度。一般情况下，不同一般情况下，不同横截面的挠度值不同。
3、横截面的挠度值不同。横截面的挠度值不同。横截面的挠度值不同。横截面挠度随截面位置（横截面挠度随截面位置（x 轴）而改变轴）而改变的规律用挠曲线方程表示。即：的规律用挠曲线方程表示。即：yAPy yx第5页，本讲稿共40页（2）转角）转角：横截面绕中性轴所转过的角度。横截面绕中性轴所转过的角度。由梁弯曲的平面假设可知：梁的横截面由梁弯曲的平面假设可知：梁的横截面变形前垂直于轴线，变形后仍垂直于挠曲线。变形前垂直于轴线，变形后仍垂直于挠曲线。变形前垂直于轴线，变形后仍垂直于挠曲线。变形前垂直于轴线，变形后仍垂直于挠曲线。A：曲线曲线OABOAB在在A点的切线与点的切线与点的切线与点的切线与X轴间的
4、夹角轴间的夹角 AyAPy yx A（3）挠度与转角的关系）挠度与转角的关系挠曲线挠曲线挠曲线挠曲线切线切线的斜率：的斜率：的斜率：的斜率：工程中工程中工程中工程中 极小：极小：极小：极小：第6页，本讲稿共40页思考：思考：在扭转变形中，扭转角是构件横截面在扭转变形中，扭转角是构件横截面绕绕 的角位移的角位移在平面弯曲变形中，梁的转角是横截在平面弯曲变形中，梁的转角是横截面绕面绕 的角位移的角位移轴线转动轴线转动中性轴转动中性轴转动中性轴转动中性轴转动 在平面弯曲变形中，梁的转角是在平面弯曲变形中，梁的转角是 的角位移的角位移轴线轴线 第7页，本讲稿共40页Pyx6-2 6-2 挠曲轴近似微分
5、方程挠曲轴近似微分方程第8页，本讲稿共40页Pyx第9页，本讲稿共40页挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程线弹性范围适用线弹性范围适用第10页，本讲稿共40页对于等直梁对于等直梁C、D：积分常数积分常数边界条件边界条件已知的挠度及转角已知的挠度及转角光滑连续性光滑连续性6-3 6-3 计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法第11页，本讲稿共40页解：解：M(x)FP(L-x)x0时时A0 x0 时时 wA0C=0 D=0例例1 求在求在FP作用下梁的挠曲线方程和转角方程，作用下梁的挠曲线方程和转角方程，并求最大挠度和最大转角。并求最大挠度和最大转角。第12页，本讲稿共40页例例2：求梁的最大挠
6、度和转角求梁的最大挠度和转角解：解：建立坐标、建立坐标、建立坐标、建立坐标、写弯矩方程写弯矩方程A AB BC CPL/2L/2L/2L/2xx第13页，本讲稿共40页积分积分积分积分一次：一次：一次：一次：再次再次再次再次积分：积分：积分：积分：利用边界条件确定积分常数：利用边界条件确定积分常数：利用边界条件确定积分常数：利用边界条件确定积分常数：A AB BC CpL/2L/2L/2L/2xx第14页，本讲稿共40页A AB BC CpL/2L/2L/2L/2xx第15页，本讲稿共40页思考：思考：图示纯弯曲悬臂梁的挠曲线应为一圆弧线，而图示纯弯曲悬臂梁的挠曲线应为一圆弧线，而由积分法求得
7、的梁挠曲线为二次抛物线由积分法求得的梁挠曲线为二次抛物线 为什么？为什么？近似微分方程获得的梁挠曲线近似解近似微分方程获得的梁挠曲线近似解 自由端自由端B处挠度的精确解：处挠度的精确解：第16页，本讲稿共40页例例3 求下图挠曲线方程和转角方程。求下图挠曲线方程和转角方程。第17页，本讲稿共40页第18页，本讲稿共40页叠加法：叠加法：叠加法：叠加法：当梁上同时作用几个荷载时，在小变形当梁上同时作用几个荷载时，在小变形当梁上同时作用几个荷载时，在小变形当梁上同时作用几个荷载时，在小变形情况下，且梁内应力不超过比例极限，则每个荷情况下，且梁内应力不超过比例极限，则每个荷情况下，且梁内应力不超过比
8、例极限，则每个荷情况下，且梁内应力不超过比例极限，则每个荷载所引起的变形（挠度和转角）将不受其它荷载载所引起的变形（挠度和转角）将不受其它荷载载所引起的变形（挠度和转角）将不受其它荷载载所引起的变形（挠度和转角）将不受其它荷载的影响。的影响。的影响。的影响。梁上任意横截面的总位移梁上任意横截面的总位移等于各荷载单独作用时，在该等于各荷载单独作用时，在该截面所引起的位移的代数和。截面所引起的位移的代数和。6-4 6-4 计算梁位移的叠加法计算梁位移的叠加法第19页，本讲稿共40页例题：求例题：求wc、A第20页，本讲稿共40页例题例题 求求fcfcfcq+fcm逐段刚化逐段刚化考虑某段梁的变形时
9、，将其它梁段视为刚体考虑某段梁的变形时，将其它梁段视为刚体第21页，本讲稿共40页例题例题 求梁自由端求梁自由端B截面处的转角和挠度截面处的转角和挠度第22页，本讲稿共40页ACBqL/2L/2L/2L/2ACBqL/2L/2L/2L/2ACBqL/2L/2L/2L/2尽可能利用叠加法尽可能利用叠加法第23页，本讲稿共40页悬臂梁受力如图。已知：悬臂梁受力如图。已知：M、EI、L为为为为常数。求：使常数。求：使常数。求：使常数。求：使 C=0=0时，时，P=？，并求此时的，并求此时的yC解：解：ACMPL/2L/2L/2L/2第24页，本讲稿共40页习题习题6-3c；6-4a1）要抄题，画原图
10、；）要抄题，画原图；2）用铅笔、直尺作图）用铅笔、直尺作图习题要求习题要求第25页，本讲稿共40页例题：已知：例题：已知：例题：已知：例题：已知：P P1 1=2KN=2KN，P P2 2=1KN=1KN。L=400mmL=400mm，a=100mma=100mm，外外外外径径径径D=80mmD=80mm，内径内径内径内径d=40mmd=40mm，E=200GPaE=200GPa，截面截面截面截面C C处挠度不超过处挠度不超过处挠度不超过处挠度不超过两轴承间距离的两轴承间距离的两轴承间距离的两轴承间距离的1010-4-4，轴承，轴承，轴承，轴承B B处转角不超过处转角不超过处转角不超过处转角不
11、超过1010-3-3 radrad 。试校核试校核试校核试校核该主轴的刚度。该主轴的刚度。该主轴的刚度。该主轴的刚度。P2P1ABCL/2L/2L/2L/2aP2ABCy1y2P1ABC第26页，本讲稿共40页满足刚度条件满足刚度条件满足刚度条件满足刚度条件P2P1ABCL/2L/2L/2L/2aP2ABCy1y2P1ABC第27页，本讲稿共40页刚度条件刚度条件6-5 6-5 梁的刚度条件与合理刚度设计梁的刚度条件与合理刚度设计第28页，本讲稿共40页提高梁抗弯刚度的措施提高梁抗弯刚度的措施 梁的变形不仅与荷载、支承有关，梁的变形不仅与荷载、支承有关，而且与材料、跨度等也有关。而且与材料、跨
12、度等也有关。而且与材料、跨度等也有关。而且与材料、跨度等也有关。第29页，本讲稿共40页提高梁抗弯刚度的措施提高梁抗弯刚度的措施1.合理选择截面形状（合理选择截面形状（I）2.合理选择材料（合理选择材料（E）3.梁的合理加强梁的合理加强(局部截面惯性矩增局部截面惯性矩增局部截面惯性矩增局部截面惯性矩增 加，即采用加，即采用加，即采用加，即采用变截面梁变截面梁变截面梁变截面梁)。4.梁跨度的合理选取梁跨度的合理选取5.合理安排梁的约束与加载方式合理安排梁的约束与加载方式合理安排梁的约束与加载方式合理安排梁的约束与加载方式调整支承调整支承外伸梁外伸梁增加支承增加支承超静定超静定第30页，本讲稿共4
13、0页提高梁抗弯刚度的措施提高梁抗弯刚度的措施1 选择合理的加载方式减小梁变形选择合理的加载方式减小梁变形:第31页，本讲稿共40页2 2 减小梁的跨度减小梁的跨度第32页，本讲稿共40页6-6 6-6 简单超静定梁简单超静定梁超静定梁：可减小变形，降低梁内最大弯矩。超静定梁：可减小变形，降低梁内最大弯矩。超静定梁：可减小变形，降低梁内最大弯矩。超静定梁：可减小变形，降低梁内最大弯矩。例：试求：图示梁的约束反力例：试求：图示梁的约束反力例：试求：图示梁的约束反力例：试求：图示梁的约束反力 EI EI 为已知。为已知。为已知。为已知。解：解：（1）选取静定基：）选取静定基：去掉荷载及多余去掉荷载及
14、多余约束使原超静定结构约束使原超静定结构变为静定的变为静定的基本系统基本系统静定基。静定基。第33页，本讲稿共40页（2）得相当系统）得相当系统 将荷载及代替支坐将荷载及代替支坐将荷载及代替支坐将荷载及代替支坐的多余约束反力重新作的多余约束反力重新作用在静定基上而得到的用在静定基上而得到的系统系统系统系统相当系统相当系统相当系统相当系统（3 3）列变形协调方程）列变形协调方程）列变形协调方程）列变形协调方程 将相当系统的变形与将相当系统的变形与将相当系统的变形与将相当系统的变形与原系统的变形相比较，列原系统的变形相比较，列原系统的变形相比较，列原系统的变形相比较，列变形协调方程。变形协调方程。
15、变形协调方程。变形协调方程。变形协调方程变形协调方程第34页，本讲稿共40页（4 4）列补充方程）列补充方程）列补充方程）列补充方程列出力与变形间物理方程列出力与变形间物理方程列出力与变形间物理方程列出力与变形间物理方程补充方程补充方程补充方程补充方程（5）列静平衡方程）列静平衡方程变形协调方程变形协调方程变形协调方程变形协调方程第35页，本讲稿共40页已知：荷载已知：荷载q，梁梁梁梁ABAB的抗弯刚度为的抗弯刚度为EI、杆杆BC的抗拉压刚度为的抗拉压刚度为EA。试求：试求：BC 杆内力杆内力解解：（1）选取静定基）选取静定基（2 2）得相当系统）得相当系统）得相当系统）得相当系统 （3 3）
16、将相当系统变形与）将相当系统变形与）将相当系统变形与）将相当系统变形与原系统比较，得变形协调方程：原系统比较，得变形协调方程：原系统比较，得变形协调方程：原系统比较，得变形协调方程：B/BACL LL/2L/2qRBq第36页，本讲稿共40页B/BACL LL/2L/2qRBq第37页，本讲稿共40页本章总结本章总结梁弯曲的基本方程梁弯曲的基本方程（小变形条件）小变形条件）挠度和转角计算挠度和转角计算（积分法）（积分法）常数常数C、D由初边条件确定由初边条件确定第38页，本讲稿共40页本章总结续本章总结续弯曲刚度计算设计弯曲刚度计算设计挠度和转角计算挠度和转角计算（基本积分法和叠加法）（基本积分法和叠加法）一次静不定问题（增加一一次静不定问题（增加一个位移约束条件个位移约束条件第39页，本讲稿共40页习题习题6-9c；6-10c；6-14；6-211）要抄题，画原图；）要抄题，画原图；2）用铅笔、直尺作图）用铅笔、直尺作图习题要求习题要求第40页，本讲稿共40页