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1、第五章 弯曲应力第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学纯弯曲纯弯曲只在常值弯矩作用下的梁段.第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学横力弯曲横力弯曲剪力和弯矩同时存在的梁段.第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学观察变形现象观察变形现象1.横向线仍保持直线.2.纵向线弯曲为曲线.3.纵向线仍与横向线相正交.4.底部纵线伸长，顶部纵线缩短.5.纵线间距离保持不变.第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学1)平面假设平面假设对于纯弯曲，各横截面变形后仍然保持为平面，且仍与对于纯弯曲，各横截面变形后仍然保持为平面，且仍与梁轴正交，只是横截面间做相对转动。梁轴正交，只
2、是横截面间做相对转动。变形假设变形假设2)单向受力假设单向受力假设各纵向线只在其直线方向受力作用，各纵向线之间无各纵向线只在其直线方向受力作用，各纵向线之间无挤压或拉伸作用。挤压或拉伸作用。第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学推论推论1.横截面上只存在正应力横截面上只存在正应力.(纵向线与横向线保持直角纵向线与横向线保持直角.)2.正应力分布不是均匀的正应力分布不是均匀的.(纵向线中既有伸长也有缩短的纵向线中既有伸长也有缩短的.)第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学中性层和中性轴中性层和中性轴如图所示，当梁弯曲时，底部各纵向纤维伸长，顶部各纵向纤如图所示，当梁弯曲时，底部各纵向纤维伸长，顶
3、部各纵向纤维缩短。底部拉伸且顶部压缩，梁的底部和顶部之间必有一个维缩短。底部拉伸且顶部压缩，梁的底部和顶部之间必有一个平面，其上各纵向纤维长度不变化，该平面被称为梁的平面，其上各纵向纤维长度不变化，该平面被称为梁的中性层中性层，中性层与各横截面的交线成为中性层与各横截面的交线成为中性轴中性轴。第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 5-2 5-2 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力dq qr r OO1abcdGHOO1HO1abcdGOxyr r中性层中性层曲率半径曲率半径，与弯矩、截面几何性质及材料力学，与弯矩、截面几何性质及材料力学性质有关。性质有关。y距中
4、性层的距离。距中性层的距离。1 变形几何关系变形几何关系第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学2 物理关系物理关系根据根据根据根据单向受力假设单向受力假设单向受力假设单向受力假设,横截面上任意点受单轴向应力作用横截面上任意点受单轴向应力作用横截面上任意点受单轴向应力作用横截面上任意点受单轴向应力作用.x x根据胡克定律根据胡克定律根据胡克定律根据胡克定律xyMM(y)xyMM(y)xyMM(y)xyMM(y)第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学正应力的分布规律正应力的分布规律第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学3 静力等效关系静力等效关系 这表明：这表明：中性轴必定通过截面形心中性轴必定通
5、过截面形心.yz横截面对中性轴的横截面对中性轴的静矩静矩（或面积矩）（或面积矩）.由于，则必有 则 两个问题：两个问题：中性层位置？曲率半径中性层位置？曲率半径r r=？第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学静力等效关系静力等效关系 横截面上无侧弯矩！横截面上无侧弯矩！yz由于由于y轴是对称轴，则必有轴是对称轴，则必有横截面对横截面对y轴、轴、z轴的轴的惯性积惯性积。第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学静力等效关系静力等效关系 EIz 截面抗弯刚截面抗弯刚度度截面对截面对Z Z轴的轴的惯惯性矩性矩yz第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 联立方程联立方程最后可得最后可得 称为称为抗弯截面模
6、量抗弯截面模量yz第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学弯曲正应力的分布弯曲正应力的分布yzyz第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学yzbhzyd第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 Dd yzzcycCh1hbb1第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学纯弯曲纯弯曲梁的受力段受剪力和弯矩同时作用，弯矩是横截面在梁轴上的位置函数。梁的纯弯曲段只受弯矩的作用，并且各横截面上弯矩相等。横力弯曲横力弯曲 5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学这里，弯矩这里，弯矩M是截面位置是截面位置x的函数的函数。对于足够长的
7、等截面直梁，横力弯曲时横截面对于足够长的等截面直梁，横力弯曲时横截面上的正应力仍可按纯弯曲的正应力公式计算。上的正应力仍可按纯弯曲的正应力公式计算。第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学解决三类问题解决三类问题(1)校核强度校核强度(2)设计截面尺寸设计截面尺寸(3)计算许用载荷计算许用载荷或或第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学q=50kN/mAB2m1m例例 5-1 T形截面梁受力及几何尺寸如图所示，已知截面对中性形截面梁受力及几何尺寸如图所示，已知截面对中性轴的惯性矩轴的惯性矩Iz=2610cm4,（1）试求梁上的最大拉应力和最大压）试求梁上的最大拉应力和最大压应力，并指明产生于何处。
8、（应力，并指明产生于何处。（2）若）若s=160MPa，校核此梁的校核此梁的强度。强度。解解解解：cyzy1=142mmy2=48mmRBRA(1)求支反力求支反力第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学q=50kN/mAB2m1mRARB(2)画弯矩图画弯矩图x137.562.55014.125极值点弯矩：极值点弯矩：C点：点：B点：点：最大弯矩：最大弯矩：FQM(kN)(kN.m)CBCB第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学14.125M(kN.m)CBcyzy1=142mmy2=48mmC截面截面B截面截面最大拉应力可能发生在最大拉应力可能发生在C截面的下边缘或截面的下边缘或B截面的上边
9、缘截面的上边缘故最大拉应力为故最大拉应力为 ，发生在发生在C截面的下边缘截面的下边缘(3)求最大应力求最大应力第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学14.125M(kN.m)CBcyzy1=142mmy2=48mmC截面截面B截面截面最大压应力只可能发生在最大压应力只可能发生在B截面的下边缘截面的下边缘(4)强度校核强度校核满足强度要求。满足强度要求。第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学两个假设两个假设两个假设两个假设:横截面上各点的切应力横截面上各点的切应力横截面上各点的切应力横截面上各点的切应力方向与剪力平行，即平行方向与剪力平行，即平行方向与剪力平行，即平行方向与剪力平行，即平行于横截
10、面的垂直边于横截面的垂直边于横截面的垂直边于横截面的垂直边；切应力沿截面宽度方向切应力沿截面宽度方向切应力沿截面宽度方向切应力沿截面宽度方向均匀分布，在高度方向上均匀分布，在高度方向上均匀分布，在高度方向上均匀分布，在高度方向上可能有变化。可能有变化。可能有变化。可能有变化。5-4 5-4 弯曲切应力弯曲切应力弯曲切应力弯曲切应力 矩形截面梁矩形截面梁矩形截面梁矩形截面梁第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学yx研究方法研究方法研究方法研究方法:FQ+dFQMM+dMFQdx 1xyz 2 2t t1 1t tbxdx自由体平衡自由体平衡 在梁上截取宽度为在梁上截取宽度为dxdx的小段的小段微
11、元微元；如图所示，在微段上选取一如图所示，在微段上选取一小块，作用在其上的所有应力小块，作用在其上的所有应力应平衡应平衡.第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学yxFQ+dFQMM+dMFQdx 1xyz 2 2t t1 1t tbxdx因为因为第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学yxFQ+dFQMM+dMFQdx 1xyz 2 2t t1 1t tbxdxFQ第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学A第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学同理梁腹板面积.webFlange第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学A同理第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学需进行弯曲切应力强度条件校核的情况：需进
12、行弯曲切应力强度条件校核的情况：铆接或焊接的工字梁，腹板较薄而高度较大，腹板铆接或焊接的工字梁，腹板较薄而高度较大，腹板铆接或焊接的工字梁，腹板较薄而高度较大，腹板铆接或焊接的工字梁，腹板较薄而高度较大，腹板与高度的比值小于型钢的相应比值。与高度的比值小于型钢的相应比值。与高度的比值小于型钢的相应比值。与高度的比值小于型钢的相应比值。梁的跨度较短，或在支座附近作用较大载荷。梁的跨度较短，或在支座附近作用较大载荷。梁的跨度较短，或在支座附近作用较大载荷。梁的跨度较短，或在支座附近作用较大载荷。焊接、铆接或胶合而成的梁，焊缝、铆钉或胶合面。焊接、铆接或胶合而成的梁，焊缝、铆钉或胶合面。焊接、铆接或
13、胶合而成的梁，焊缝、铆钉或胶合面。焊接、铆接或胶合而成的梁，焊缝、铆钉或胶合面。弯曲切应力强度条件：弯曲切应力强度条件：弯曲切应力强度条件：弯曲切应力强度条件：第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学例例例例 5-2 5-2 如图所示，木质简支梁受均布如图所示，木质简支梁受均布如图所示，木质简支梁受均布如图所示，木质简支梁受均布载荷作用，横截面为矩形，已知载荷作用，横截面为矩形，已知载荷作用，横截面为矩形，已知载荷作用，横截面为矩形，已知b b h h=0.12m=0.12m 0.18m,0.18m,7MPa7MPa，0.9MPa0.9MPa,请计算请计算请计算请计算 maxmax/maxmax
14、的比的比的比的比率并校核梁的率并校核梁的率并校核梁的率并校核梁的强强强强度。度。度。度。解解:1)画出内力图，确定可能的危险截画出内力图，确定可能的危险截面面.q=3.6kN/mAL=3mxMBxFQ第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学q=3.6kN/mAL=3mBxFQ2)计算最大应力并校核强度.梁是安全的.xM第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学q=3.6kN/mAL=3mB3)计算 max/max 的比率.xFQxM第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学F/2l/2F/2l/4l/4合理安排梁的受力情况合理安排梁的受力情况FlMmax=Fl/4+
15、Mmax=Fl/8+第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学合理安排梁的支撑位置合理安排梁的支撑位置q=F/ll+Mmax=ql2/8=Fl/8l-2aaq=F/la+Fl/8-Fa/2Fa2/2lFa2/2l第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学例例 5-3 两端外伸梁如图所示，若已知钢材许用应力两端外伸梁如图所示，若已知钢材许用应力s=s=160MPa，试，试分别设计以下几种形状的截面尺寸和型号：（分别设计以下几种形状的截面尺寸和型号：（1）矩形（）矩形（h/b=2）、）、（2）圆形、（）圆形、（3）工字钢、（）工字钢、（4）管形（）管形（D/d=2）、（）、（5）薄壁管（）薄壁管（D/d=
16、1.1），并比较其经济性。），并比较其经济性。5kN.m15kN10kN/m0.5m0.5m0.5m0.5mAB第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学5kN.m15kN10kN/m0.5m0.5m0.5m0.5m例例 5-3 s=s=160MPa，设计截面尺寸和型号：（，设计截面尺寸和型号：（1）矩形（）矩形（h/b=2）、）、（2）圆形、（）圆形、（3）工字钢、（）工字钢、（4）管形（）管形（D/d=2）、（）、（5）薄壁管（）薄壁管（D/d=1.1）解解解解：1 求支反力求支反力RARBAB2.5kN12.5kN17.5kN5kN5kN.mFQM2 作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图第五章第
17、五章 弯曲应力弯曲应力材料力学3 根据强度条件进行截面设计根据强度条件进行截面设计(1)矩形矩形（h/b=2）解得解得yzbh第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学(2)圆形圆形(3)工字钢工字钢查型钢表，选择查型钢表，选择No10号工字钢号工字钢(4)管形（管形（D/d=2）(5)薄壁管（薄壁管（D/d=1.1）zydDd第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学yzbhzydDdDd第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学yz提高提高WZ：尽可能使截面的面积分布得尽可能使截面的面积分布得远离中性层。远离中性层。Dd第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学yzbh对于矩形截面：对于矩形截面：增加高度
18、减小宽度来提高增加高度减小宽度来提高WZ。R北宋李诫于北宋李诫于1100年著年著 营造法式营造法式 一书中指出一书中指出:矩形木梁的合理高宽比矩形木梁的合理高宽比(h/b =)=)1.5T.Young(英英)于于1807年著年著 自然哲学与机械技术讲义自然哲学与机械技术讲义 一书中指出一书中指出:矩形木梁的合理高宽比为矩形木梁的合理高宽比为bh第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学 如果抗拉和抗压能力不同，如脆性材料，则应采用上下非如果抗拉和抗压能力不同，如脆性材料，则应采用上下非对称截面对称截面.Cz第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学FM 变截面等强度设计变截面等强度设计.第五章第五章
19、弯曲应力弯曲应力材料力学本章完本章完第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学2 惯性矩的计算惯性矩的计算量纲量纲:L4单位单位:m4 或或 mm4惯性矩的值恒为正惯性矩的值恒为正.平面图形关于平面图形关于z轴和轴和y轴的惯性矩定义：轴的惯性矩定义：关于关于z轴的惯性矩轴的惯性矩.关于关于y轴的惯性矩轴的惯性矩.极惯性矩极惯性矩.zyyzdAO第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学矩形关于形心轴矩形关于形心轴矩形关于形心轴矩形关于形心轴z z z zc c c c和和和和y y y yc c c c的惯性矩的惯性矩的惯性矩的惯性矩.bhzcycCh/2ydydA第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力
20、学圆形关于形心轴圆形关于形心轴圆形关于形心轴圆形关于形心轴z z z zc c c c轴和轴和轴和轴和 y y y yc c c c轴的惯性矩轴的惯性矩轴的惯性矩轴的惯性矩.DzcycC 由图形的对称性计算由图形的对称性计算由图形的对称性计算由图形的对称性计算 同理，同理，同理，同理，空心圆截面空心圆截面空心圆截面空心圆截面的惯性矩为：的惯性矩为：的惯性矩为：的惯性矩为：第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学组合图形的惯性矩组合图形的惯性矩zcycCh1hbb1例如例如例如例如 空箱体截面关于形心轴空箱体截面关于形心轴空箱体截面关于形心轴空箱体截面关于形心轴z zc c、y yc c的惯性矩的惯性矩的惯性矩的惯性矩.第五章第五章 弯曲应力弯曲应力材料力学A Ay yC Cz zC CO Od dA Az zy yy y1 1z z1 1O O z z1 1y y1 1ab平行移轴公式平行移轴公式