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1、1 / 19【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第八章立体几何精选高考数学大一轮复习第八章立体几何 8-58-5直线平面垂直的判定与性质教师用书文新人教直线平面垂直的判定与性质教师用书文新人教1直线与平面垂直(1)定义如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，则直线 l 与平面 垂直(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直Error!l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行Error!ab2.平面与平面垂直(1)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相
2、垂直(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直Error!性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直Error!l【知识拓展】2 / 19重要结论：(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)(3)垂直于同一条直线的两个平面平行(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)直线 l 与平面 内的无
3、数条直线都垂直，则 l.( )(2)垂直于同一个平面的两平面平行( )(3)直线 a，b，则 ab.( )(4)若 ，aa.( )(5)若直线 a平面 ，直线 b，则直线 a 与 b 垂直( )1(教材改编)下列命题中不正确的是( )A如果平面 平面 ，且直线 l平面 ，则直线 l平面 B如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面C如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 D如果平面 平面 ，平面 平面 ，l，那么l答案 A解析 根据面面垂直的性质，知 A 不正确，直线 l 可能平行平面3 / 19，也可能在平面 内2设平面 与平面 相交于直线 m，直线 a 在
4、平面 内，直线 b在平面 内，且 bm，则“”是“ab”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 若 ，因为 m，b，bm，所以根据两个平面垂直的性质定理可得 b，又 a，所以 ab；反过来，当am 时，因为 bm，且 a，m 共面，一定有 ba，但不能保证b，所以不能推出 .3设 m、n 是两条不同的直线，、 是两个不同的平面，则( )A若 mn，n，则 mB若 m，则 mC若 m，n，n，则 mD若 mn，n，则 m答案 C解析 A 中，由 mn, n，可得 m 或 m 或 m 与 相交，错误；B 中，由 m，可得 m 或 m 或 m 与
5、 相交，错误；C 中，由 m，n，可得 mn，又 n，则 m，正确；D 中，由 mn，n，可得 m 与 相交或 m 或m，错误4(2016深圳模拟)在正四面体 ABCD 中，E，F，G 分别是BC，CD，DB 的中点，下面的结论不正确的是( )ABC平面 AGFBEG平面 ABF4 / 19C平面 AEF平面 BCDD平面 ABF平面 BCD答案 C解析 易知点 A 在平面 BCD 上的射影在底面的中心，而中心不在 EF上，所以平面 AEF平面 BCD 错误，选 C.5(教材改编)在三棱锥 PABC 中，点 P 在平面 ABC 中的射影为点 O.(1)若 PAPBPC，则点 O 是ABC 的_
6、心(2)若 PAPB，PBPC，PCPA，则点 O 是ABC 的_心答案 (1)外 (2)垂解析 (1)如图 1，连接 OA，OB，OC，OP，在 RtPOA、RtPOB 和 RtPOC 中，PAPCPB，所以 OAOBOC，即 O 为ABC 的外心(2)如图 2，延长 AO，BO，CO 分别交 BC，AC，AB 于 H，D，G.PCPA，PBPC，PAPBP，PC平面 PAB，AB平面 PAB，PCAB，又 ABPO，POPCP，AB平面 PGC，又 CG平面 PGC，ABCG，即 CG 为ABC 边 AB 上的高同理可证 BD，AH 为ABC 底边上的高，即 O 为ABC 的垂心题型一 直
7、线与平面垂直的判定与性质例 1 (2016全国甲卷改编)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB5，AC6，点 E，F 分别在 AD，CD 上，AECF，EF交 BD 于点 H.将DEF 沿 EF 折到DEF 的位置OD.5 / 19证明：DH平面 ABCD.证明 由已知得 ACBD，ADCD.又由 AECF 得，故 ACEF.因此 EFHD，从而 EFDH.由 AB5，AC6 得 DOBO4.由 EFAC 得.所以 OH1，DHDH3.于是 DH2OH2321210DO2，故 DHOH.又 DHEF，而 OHEFH，且 OH，EF平面 ABCD，所以 DH平面 ABC
8、D.思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想(2015江苏)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，已知ACBC，BCCC1.设 AB1 的中点为 D，B1CBC1E.求证：(1)DE平面 AA1C1C；(2)BC1AB1.证明 (1)由题意知，E 为 B1C 的中点，又 D 为 AB1 的中点，因此 DEAC.又因为 DE平面 AA1C1C，
9、AC平面 AA1C1C，所以 DE平面 AA1C1C.6 / 19(2)因为棱柱 ABCA1B1C1 是直三棱柱，所以 CC1平面 ABC.因为 AC平面 ABC，所以 ACCC1.又因为 ACBC，CC1平面 BCC1B1，BC平面 BCC1B1，BCCC1C，所以 AC平面 BCC1B1.又因为 BC1平面 BCC1B1，所以 BC1AC.因为 BCCC1，所以矩形 BCC1B1 是正方形，因此 BC1B1C.因为 AC，B1C平面 B1AC，ACB1CC，所以 BC1平面 B1AC.又因为 AB1平面 B1AC，所以 BC1AB1.题型二 平面与平面垂直的判定与性质例 2 如图，四棱锥
10、PABCD 中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N 分别为PB，AB，BC，PD，PC 的中点(1)求证：CE平面 PAD；(2)求证：平面 EFG平面 EMN.证明 (1)方法一 取 PA 的中点 H，连接 EH，DH.又 E 为 PB 的中点，所以 EH 綊 AB.又 CD 綊 AB，所以 EH 綊 CD.所以四边形 DCEH 是平行四边形，所以 CEDH.7 / 19又 DH平面 PAD，CE平面 PAD.所以 CE平面 PAD.方法二 连接 CF.因为 F 为 AB 的中点，所以 AFAB.又 CDAB，所以 AFCD.又 AFCD，所以四边形 AFCD 为平
11、行四边形因此 CFAD，又 CF平面 PAD，AD平面 PAD，所以 CF平面 PAD.因为 E，F 分别为 PB，AB 的中点，所以 EFPA.又 EF平面 PAD，PA平面 PAD，所以 EF平面 PAD.因为 CFEFF，故平面 CEF平面 PAD.又 CE平面 CEF，所以 CE平面 PAD.(2)因为 E、F 分别为 PB、AB 的中点，所以 EFPA.又因为 ABPA，所以 EFAB，同理可证 ABFG.又因为 EFFGF，EF平面 EFG，FG平面 EFG.所以 AB平面 EFG.又因为 M，N 分别为 PD，PC 的中点，所以 MNCD，又 ABCD，所以 MNAB，所以 MN
12、平面 EFG.又因为 MN平面 EMN，所以平面 EFG平面 EMN.引申探究1在本例条件下，证明：平面 EMN平面 PAC.8 / 19证明 因为 ABPA，ABAC，且 PAACA，所以 AB平面 PAC.又 MNCD，CDAB，所以 MNAB，所以 MN平面 PAC.又 MN平面 EMN，所以平面 EMN平面 PAC.2在本例条件下，证明：平面 EFG平面 PAC.证明 因为 E，F，G 分别为 PB，AB，BC 的中点，所以 EFPA，FGAC，又 EF平面 PAC，PA平面 PAC，所以 EF平面 PAC.同理，FG平面 PAC.又 EFFGF，所以平面 EFG平面 PAC.思维升华
13、 (1)判定面面垂直的方法面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a)(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直(2016江苏)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且 B1DA1F，A1C1A1B1.求证：(1)直线 DE平面 A1C1F；(2)平面 B1DE平面 A1C1F.证明 (1)由已知，DE 为ABC 的中位线，9 / 19DEAC，又由三棱柱的性质可得 ACA1C1，DEA1C1，又DE平面 A1C1F，A1C1平面 A1C1F，DE平面 A
14、1C1F.(2)在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA1平面 A1B1C1，AA1A1C1，又A1B1A1C1，且 A1B1AA1A1，A1C1平面 ABB1A1，B1D平面 ABB1A1，A1C1B1D，又A1FB1D，且 A1FA1C1A1，B1D平面 A1C1F，又B1D平面 B1DE，平面 B1DE平面 A1C1F.题型三 直线、平面垂直的综合应用例 3 如图所示，在四棱锥 PABCD 中，平面 PAD平面ABCD，ABDC，PAD 是等边三角形，已知 BD2AD8，AB2DC4.(1)设 M 是 PC 上的一点，求证：平面 MBD平面 PAD；(2)求四棱锥 PABCD 的体积(1
15、)证明 在ABD 中，AD4，BD8，AB4，AD2BD2AB2，ADBD.又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，BD平面ABCD，BD平面 PAD.又 BD平面 MBD，平面 MBD平面 PAD.10 / 19(2)解 过 P 作 POAD，平面 PAD平面 ABCD，PO平面 ABCD，即 PO 为四棱锥 PABCD 的高又PAD 是边长为 4 的等边三角形，PO2.在四边形 ABCD 中，ABDC，AB2DC，四边形 ABCD 为梯形在 RtADB 中，斜边 AB 边上的高为，此即为梯形的高S 四边形 ABCD24.VPABCD24216.思维升华 垂直关系综合题
16、的类型及解法(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化(2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用(3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积(2016全国乙卷)如图，已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形，PA6，顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D，D 在平面PAB 内的正投影为点 E，连接 PE 并延长交 AB 于点 G.(1)证明：G 是 AB 的中点；(2)作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F(说明作法及理由)，并求四面体 PDEF 的体积(1)证明 因为 P 在平面
17、ABC 内的正投影为 D，11 / 19所以 ABPD.因为 D 在平面 PAB 内的正投影为 E，所以 ABDE.因为 PDDED，PD，DE 都在平面 PED 内，所以 AB平面 PED，又 PG 在平面 PED 内，故 ABPG.又由已知可得，PAPB，从而 G 是 AB 的中点(2)解 在平面 PAB 内，过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F，F 即为 E在平面 PAC 内的正投影理由如下：由已知可得 PBPA，PBPC，又 EFPB，所以EFPA，EFPC，PCPAP，PC 与 PA 都在平面 PAC 中，因此 EF平面 PAC，即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影
18、连接 CG，因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 D 是正三角形 ABC的中心由(1)知，G 是 AB 的中点，所以 D 在 CG 上，故 CDCG.由题设可得 PC平面 PAB，DE平面 PAB，所以 DEPC，因此 PEPG，DEPC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA6，可得 DE2，PE2.在等腰直角三角形 EFP 中，可得 EFPF2，所以四面体 PDEF 的体积 V222.17立体几何证明问题中的转化思想典例 (12 分)如图所示，M，N，K 分别是正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱 AB，CD，C1D1 的中点求证：(1)AN平面 A1MK；(2)平面 A
19、1B1C平面 A1MK.12 / 19思想方法指导 (1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范规范解答证明 (1)如图所示，连接 NK.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，四边形 AA1D1D，DD1C1C 都为正方形，AA1DD1，AA1DD1，C1D1CD，C1D1CD.2 分N，K 分别为
20、CD，C1D1 的中点，DND1K，DND1K，四边形 DD1KN 为平行四边形，3 分KNDD1，KNDD1，AA1KN，AA1KN，四边形 AA1KN 为平行四边形，ANA1K.4 分A1K平面 A1MK，AN平面 A1MK，AN平面 A1MK.6 分(2)如图所示，连接 BC1.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，ABC1D1，ABC1D1.M，K 分别为 AB，C1D1 的中点，BMC1K，BMC1K，13 / 19四边形 BC1KM 为平行四边形，MKBC1.8 分在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，A1B1平面 BB1C1C，BC1平面 BB1C1C，A1B1BC1.MKB
21、C1，A1B1MK.四边形 BB1C1C 为正方形，BC1B1C.10 分MKB1C.A1B1平面 A1B1C，B1C平面 A1B1C，A1B1B1CB1，MK平面A1B1C.又MK平面 A1MK，平面 A1B1C平面 A1MK.12 分1已知直线 m，n 和平面 ，若 ，m，要使n，则应增加的条件是( )An 且 mn BnCn 且 nm Dn答案 C解析 由面面垂直的性质定理知选 C.2设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A若 ，m，n，则 mnB若 ，m，n， ，则 mnC若 mn，m，n，则 D若 m，mn，n，则 答案 D解析 A 中，m 与 n
22、 可垂直、可异面、可平行；B 中，m 与 n 可平行、可异面；C 中，若 ，仍然满足 mn，m，n，故 C 错误；14 / 19故选 D.3(2016包头模拟)如图，三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱 AA1 垂直底面 A1B1C1，底面三角形 A1B1C1 是正三角形，E 是 BC 中点，则下列叙述正确的是( )ACC1 与 B1E 是异面直线BAC平面 ABB1A1CAE 与 B1C1 是异面直线，且 AEB1C1DA1C1平面 AB1E答案 C解析 A 不正确，因为 CC1 与 B1E 在同一个侧面中，故不是异面直线；B 不正确，由题意知，上底面 ABC 是一个正三角形，故不可能存在A
23、C平面 ABB1A1；C 正确，因为 AE，B1C1 为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D 不正确，因为 A1C1 所在的平面与平面 AB1E 相交，且 A1C1 与交线有公共点，故 A1C1平面AB1E 不正确，故选 C.4正方体 ABCDABCD中，E 为 AC的中点，则直线 CE垂直于( )AAC BBD CAD DAA答案 B解析 连接 BD，BDAC，BDCC，且 ACCCC，BD平面 CCE.而 CE平面 CCE，BDCE.又BDBD，BDCE.15 / 195.如图所示，直线 PA 垂直于O 所在的平面，ABC 内接于O，且AB 为O 的直径，点 M 为线段
24、 PB 的中点现有结论：BCPC；OM平面 APC；点 B 到平面 PAC 的距离等于线段 BC的长其中正确的是( )A BC D答案 B解析 对于，PA平面 ABC，PABC，AB 为O 的直径，BCAC，BC平面 PAC，又 PC平面 PAC，BCPC；对于，点 M 为线段 PB 的中点，OMPA，PA平面 PAC，OM平面 PAC，OM平面 PAC；对于，由知 BC平面 PAC，线段 BC 的长即是点 B 到平面 PAC的距离，故都正确6.如图，BAC90，PC平面 ABC，则在ABC 和PAC 的边所在的直线中，与 PC 垂直的直线有_；与 AP 垂直的直线有_答案 AB、BC、AC
25、AB解析 PC平面 ABC，PC 垂直于直线AB，BC，AC；ABAC，ABPC，ACPCC，AB平面 PAC，与 AP 垂直的直线是 AB.7.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，且底面各边都相等，M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足_时，平面 MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案 DMPC(或 BMPC 等)16 / 19解析 由定理可知，BDPC.当 DMPC(或 BMPC)时，即有 PC平面 MBD，而 PC平面 PCD，平面 MBD平面 PCD.8.如图，PA圆 O 所在的平面，AB 是圆 O 的直径，C 是圆 O 上的一点，E，F 分
26、别是点 A 在 PB，PC 上的射影，给出下列结论：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面 PBC.其中正确结论的序号是_答案 解析 由题意知 PA平面 ABC，PABC.又 ACBC，且 PAACA，BC平面 PAC，BCAF.AFPC，且 BCPCC，AF平面 PBC，AFPB，又 AEPB，AEAFA，PB平面 AEF，PBEF.故正确9已知 ， 是三个不同的平面，命题“，且”是真命题，如果把 ， 中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有_个答案 2解析 若 ， 换为直线 a，b，则命题化为“ab，且ab” ，此命题为真命题；若 ， 换为直线 a，b，则命题化
27、为“a，且 abb” ，此命题为假命题；若 ， 换为直线 a，b，则命题化为“a，且 bab” ，此命题为真命17 / 19题10(2016四川)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PACD，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD.(1)在平面 PAD 内找一点 M，使得直线 CM平面 PAB，并说明理由；(2)证明：平面 PAB平面 PBD.(1)解 取棱 AD 的中点 M(M平面 PAD)，点 M 即为所求的一个点，理由如下：连接 BM，CM.因为 ADBC，BCAD，所以 BCAM，且 BCAM，所以四边形 AMCB 是平行四边形，从而 CMAB.又 AB平面 PAB，CM平面 PAB.
28、所以 CM平面 PAB.(说明：取棱 PD 的中点 N，则所找的点可以是直线 MN 上任意一点)(2)证明 由已知，PAAB，PACD.因为 ADBC，BCCDAD，所以直线 AB 与 CD 相交，所以 PA平面 ABCD，从而 PABD.又 BCMD，且 BCMD.所以四边形 BCDM 是平行四边形，所以 BMCDAD，所以 BDAB.又 ABAPA，所以 BD平面 PAB.又 BD平面 PBD，所以平面 PAB平面 PBD.18 / 1911(2016北京)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC.(1)求证：DC平面 PAC；(2)求证：平面 PAB平面 P
29、AC；(3)设点 E 为 AB 的中点，在棱 PB 上是否存在点 F，使得 PA平面CEF？说明理由(1)证明 PC平面 ABCD，DC平面 ABCD，PCDC.又 ACDC，PCACC，PC平面 PAC，AC平面PAC，DC平面 PAC.(2)证明 ABCD，CD平面 PAC，AB平面 PAC，又 AB平面 PAB，平面 PAB平面 PAC.(3)解 棱 PB 上存在点 F，使得 PA平面 CEF.证明如下：取 PB 的中点 F，连接 EF，CE，CF，又E 为 AB 的中点，EF 为PAB 的中位线，EFPA.又 PA平面 CEF，EF平面 CEF，PA平面 CEF.*12.(2016山东
30、)在如图所示的几何体中，D 是 AC 的中点，EFDB.(1)已知 ABBC，AEEC，求证：ACFB；(2)已知 G，H 分别是 EC 和 FB 的中点求证：GH平面 ABC.证明 (1)因为 EFDB，所以 EF 与 DB 确定平面 BDEF，如图，连接 DE.因为 AEEC，D 为 AC 的中点，所以 DEAC.同理可得 BDAC.又 BDDED，所以 AC平面 BDEF.19 / 19因为 FB平面 BDEF，所以 ACFB.(2)设 FC 的中点为 I，连接 GI，HI.在CEF 中，因为 G 是 CE 的中点，所以 GIEF.又 EFDB，所以 GIDB.在CFB 中，因为 H 是 FB 的中点，所以 HIBC.又 HIGII，DBBCB，所以平面 GHI平面 ABC，因为 GH平面 GHI，所以 GH平面 ABC.