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1、1 / 16【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-99-9 圆锥曲线的综合问题第圆锥曲线的综合问题第 2 2 课时范围最值问题试题理北师课时范围最值问题试题理北师大大题型一 范围问题例 1 (2015天津)已知椭圆1(ab0)的左焦点为 F(c,0)，离心率为，点 M 在椭圆上且位于第一象限，直线 FM 被圆 x2y2截得的线段的长为 c，|FM|.(1)求直线 FM 的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点 P 在椭圆上，若直线 FP 的斜率大于，求直线 OP(O 为原点)的斜率的取值范围解 (1)由已知，有，又由
2、 a2b2c2，可得 a23c2，b22c2.设直线 FM 的斜率为 k(k0)，F(c,0)，则直线 FM 的方程为yk(xc)由已知，有 222，解得 k.(2)由(1)得椭圆方程为1，直线 FM 的方程为 y(xc)，两个方程联立，消去 y，整理得 3x22cx5c20，解得 xc 或 xc.因为点 M 在第一象限，可得 M 的坐标为.由|FM| .2 / 16解得 c1，所以椭圆的方程为1.(3)设点 P 的坐标为(x，y)，直线 FP 的斜率为 t，得 t，即直线 FP 的方程为 yt(x1)(x1)，与椭圆方程联立，Error!消去 y，整理得 2x23t2(x1)26，又由已知，
3、得 t ，解得x1 或1x0.设直线 OP 的斜率为 m，得 m，即 ymx(x0)，与椭圆方程联立，整理得 m2.当 x时，有 yt(x1)0，因此 m0，于是 m ，得 m.当 x(1,0)时，有 yt(x1)0.因此 m0，于是 m ，得 m.综上，直线 OP 的斜率的取值范围是.思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，
4、从而求出参数的取值范围；3 / 16(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围(2016黄冈模拟)已知椭圆 C：1(ab0)与双曲线y21 的离心率互为倒数，且直线 xy20 经过椭圆的右顶点(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设不过原点 O 的直线与椭圆 C 交于 M，N 两点，且直线OM，MN，ON 的斜率依次成等比数列，求OMN 面积的取值范围解 (1)双曲线的离心率为，椭圆的离心率 e.又直线 xy20 经过椭圆的右顶点，右顶点为(2,0)，即 a2，c，b1，椭圆方程为y21.(2)由题意可设直线的方程为 ykxm(k0，m0)，M(x
5、1，y1)，N(x2，y2)联立Error!消去 y，并整理得(14k2)x28kmx4(m21)0，则 x1x2，x1x2，于是 y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2.又直线 OM，MN，ON 的斜率依次成等比数列，故k2x1x2kmx1x2m2 x1x24 / 16k2m20.由 m0 得 k2，解得 k.又由 64k2m216(14k2)(m21)16(4k2m21)0，得 00)过点 F(0,1)，圆心 M 的轨迹为 C.(1)求轨迹 C 的方程；(2)设 P 为直线 l：xy20 上的点，过点 P 作曲线 C 的两条切线PA，PB，当点 P(x0，y0)为
6、直线 l 上的定点时，求直线 AB 的方程；(3)当点 P 在直线 l 上移动时，求|AF|BF|的最小值解 (1)依题意，由圆过定点 F 可知轨迹 C 的方程为 x24y.(2)抛物线 C 的方程为 x24y，即 yx2，求导得 yx.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中 y1，y2)，则切线 PA，PB 的斜率分别为 x1，x2，所以切线 PA 的方程为 yy1(xx1)，即 yxy1，即 x1x2y2y10.同理可得切线 PB 的方程为 x2x2y2y20.因为切线 PA，PB 均过点 P(x0，y0)，所以 x1x02y02y10，x2x02y02y20，所以(x1，y1)，(
7、x2，y2)为方程 x0x2y02y0 的两组解8 / 16所以直线 AB 的方程为 x0x2y2y00.(3)由抛物线定义可知|AF|y11，|BF|y21，所以|AF|BF|(y11)(y21)y1y2(y1y2)1，联立方程Error!消去 x 整理得 y2(2y0x)yy0，由一元二次方程根与系数的关系可得 y1y2x2y0，y1y2y，所以|AF|BF|y1y2(y1y2)1yx2y01.又点 P(x0，y0)在直线 l 上，所以 x0y02，所以 yx2y012y2y052(y0)2，所以当 y0时，|AF|BF|取得最小值，且最小值为.1(2016昆明两区七校调研)过抛物线 y2
8、x 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，且直线 l 的倾斜角 ，点 A 在 x 轴上方，则|FA|的取值范围是( )A(，1 B(，)C(，) D(，1答案 D解析 记点 A 的横坐标是 x1，则有|AF|x1(|AF|cos )|AF|cos ，|AF|(1cos )，|AF|.由0，b0)的左，右焦点，对于左支上任意一点 P 都有|PF2|28a|PF1|(a 为实半轴长)，则此双曲线的离心率 e 的取值范围是( )A(1，) B(2,3C(1,3 D(1,2答案 C解析 由 P 是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义，得|PF2|2a|PF1|，所以|PF1|4a8a，所以|
9、PF1|2a，|PF2|4a，在PF1F2 中，|PF1|PF2|F1F2|，即 2a4a2c，所以 e3.又 e1，所以 10 得 m22，1，即 e，而 00，b0)由已知得 a，c2，又 a2b2c2，得 b21，双曲线 C 的方程为y21.(2)联立Error!整理得(13k2)x26kmx3m230.直线与双曲线有两个不同的交点，Error!可得 m23k21 且 k2，13 / 16设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN 的中点为 B(x0，y0)，则 x1x2，x0，y0kx0m.由题意，ABMN，kAB(k0，m0)整理得 3k24m1，将代入，得 m24m0，m4.又
10、3k24m10(k0)，即 m.m 的取值范围是(4，)8已知椭圆 C1：1(ab0)的右顶点为 A(1,0)，过 C1 的焦点且垂直长轴的弦长为 1.(1)求椭圆 C1 的方程；(2)设点 P 在抛物线 C2：yx2h(hR)上，C2 在点 P 处的切线与C1 交于点 M，N.当线段 AP 的中点与 MN 的中点的横坐标相等时，求 h的最小值解 (1)由题意，得从而Error!因此，所求的椭圆 C1 的方程为x21.(2)如图，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2h)，则抛物线 C2 在点 P 处的切线斜率为 y.直线 MN 的方程为y2txt2h.将上式代入椭圆 C1 的方
11、程中，得 4x2(2txt2h)240，14 / 16即 4(1t2)x24t(t2h)x(t2h)240.因为直线 MN 与椭圆 C1 有两个不同的交点，所以式中的 116t42(h2)t2h240.设线段 MN 的中点的横坐标是 x3，则 x3.设线段 PA 的中点的横坐标是 x4，则 x4.由题意，得 x3x4，即 t2(1h)t10.由式中的 2(1h)240，得 h1 或 h3.当 h3 时，h2b0)的左，右焦点分别为 F1，F2，离心率为 e1；双曲线 C2：1 的左，右焦点分别为F3，F4，离心率为 e2.已知 e1e2，且|F2F4|1.(1)求 C1，C2 的方程；(2)过
12、 F1 作 C1 的不垂直于 y 轴的弦 AB，M 为 AB 的中点，当直线 OM与 C2 交于 P，Q 两点时，求四边形 APBQ 面积的最小值解 (1)因为 e1e2，所以 ，即 a4b4a4，因此 a22b2，从而 F2(b,0)，F4(b,0)，于是 bb|F2F4|1，所以15 / 16b1，a22.故 C1，C2 的方程分别为y21，y21.(2)因为 AB 不垂直于 y 轴，且过点 F1(1,0)，故可设直线 AB 的方程为 xmy1.由得(m22)y22my10.易知此方程的判别式大于 0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1，y2 是上述方程的两个实根，所以 y1
13、y2，y1y2.因此 x1x2m(y1y2)2，于是 AB 的中点为 M(，)，故直线 PQ 的斜率为，PQ 的方程为 yx，即 mx2y0.由得(2m2)x24，所以 2m20，且 x2，y2，从而|PQ|22.设点 A 到直线 PQ 的距离为 d，则点 B 到直线 PQ 的距离也为 d，所以 2d.因为点 A，B 在直线 mx2y0 的异侧，所以(mx12y1)(mx22y2)0，于是|mx12y1|mx22y2|16 / 16|mx12y1mx22y2|，从而 2d.又因为|y1y2|y1y224y1y2，所以 2d.故四边形 APBQ 的面积 S|PQ|2d2.而 02m22，故当 m0 时，S 取得最小值 2.综上所述，四边形 APBQ 面积的最小值为 2.