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1、- 1 - / 10【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第三章导数及其应精选高考数学一轮复习第三章导数及其应用用 3-43-4 定积分与微积分基本定理学案理定积分与微积分基本定理学案理考纲展示 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念2了解微积分基本定理的含义考点 1 定积分的计算1.定积分的定义一般地，如果函数 f(x)在区间a，b上连续，用分点ax00)所围成的曲边梯形的面积为(kxx2)dxk3，即 k38，k2.点石成金 1.利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)
2、运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积2求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正.1.由曲线 ysin x，ycos x 与直线 x0，x所围成的平面图形的面积是( )B A1- 6 - / 10D22C.答案：D解析：由 sin xcos x，解得 x，故图中阴影部分的面积S,) (cos xsin x)dx,) (sin xcos x)dx(sin xcos x) ,0)(cos xsin x),)sin cos cos 0(cos 2sin 2)(cos 4sin
3、4)22.(本题也可利用图形的对称性求解)22017山东日照模拟如图，由两条曲线 yx2，yx2及直线 y1 所围成的平面图形的面积为_答案：4 3解析：由 得交点 A(1，1)，B(1，1)由 得交点 C(2，1)，D(2，1)面积 S21 0(14x2x2)dx2 1(14x21)dx2.考点 3 定积分在物理中的应用典题 3 2017湖北武汉调研一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 v(t)73t(t 的单位：s，v 的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )B825ln A125ln 5 11 3D450ln 2C425ln 5 答案
4、C解析 令 v(t)0，得t4 或 t(舍去)，- 7 - / 10汽车行驶距离 sdt4 07t3 2t225ln1t282425ln 5425ln 5(m)点石成金 定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为vv(t)，那么从时刻 ta 到 tb 所经过的路程 sv(t)dt.(2)变力做功：一物体在变力 F(x)的作用下，沿着与 F(x)相同方向从 xa 移动到 xb 时，力 F(x)所做的功是 WF(x)dx.一物体在力 F(x)(单位：N)的作用下沿与力 F 相同的方向，从x0 处运动到 x4(单位：m)处，则力 F(x)做的功为_焦答案：36解析
5、：由题意知，力 F(x)所做的功为WF(x)dx5dx(3x4)dx524 2(3 2x24x)103 2 424 4(32 224 2)36(焦)方法技巧 1.求定积分的方法(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强(2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下：求被积函数 f(x)的一个原函数 F(x)；计算 F(b)F(a)(3)利用定积分的几何意义求定积分2求曲边多边形面积的步骤(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形(2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、- 8 - / 10下限(3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和(4)计算定积分易错防范 1.被
6、积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分2若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量3定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限4定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负5将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷真题演练集训 12014陕西卷定积分(2xex)dx 的值为( )Be1Ae2De1Ce 答案：C解析：(2xex)dx(x2ex) (1e)(0e0)e，故选 C.22014山东卷直线 y4x 与曲线 yx3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )B4A22D4C2答案：D解析：由 4xx3，解得 x0
7、或 x2 或 x2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线 y4x 与曲线 yx3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为(4xx3)dx4.- 9 - / 1032015天津卷曲线 yx2 与直线 yx 所围成的封闭图形的面积为_答案：1 6解析：如图，阴影部分的面积即为所求由得 A(1,1)故所求面积为 S(xx2)dx|.42015湖南卷(x1)dx_.答案：0解析：(x1)dx(22)00.52015陕西卷如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为_答案：1.2解析：建立如图所示的平面直角坐标系由抛物线过点
8、(0，2)，(5,0)，(5,0)，得抛物线的函数表达式为 yx22，抛物线与 x 轴围成的面积 S15dx，梯形面积S216.最大流量比为 S2S11.2.课外拓展阅读 探究定积分与不等式交汇问题典例2016湖南长沙模拟如图，矩形 OABC 内的阴影部分是由曲线 f(x)sin x；x(0，)及直线 xa，a(0，)与 x 轴围成，向矩形 OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则 a的值是( )B A.DC.5 6- 10 - / 10审题视角 先运用定积分求出阴影部分的面积，再利用几何概型概率计算公式求出概率解析 由已知 S 矩形 OABCa6，而阴影部分的面积为Ssin xdx(cos x) 1cos a，依题意有，即，解得 cos a，又 a(0，)，所以 a.故选 B.答案 B定积分还可与其他知识交汇，如与二项式定理、数列等知识交汇方法点睛