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1、1 / 5【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 2 2 章函数导数及其章函数导数及其应用热点探究训练应用热点探究训练 1 1 导数应用中的高考热点问题教师用书导数应用中的高考热点问题教师用书文新人教文新人教 A A 版版1(2015重庆高考)设函数 f(x)(aR)(1)若 f(x)在 x0 处取得极值，确定 a 的值，并求此时曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若 f(x)在3，)上为减函数，求 a 的取值范围解 (1)对 f(x)求导得 f(x).2 分因为 f(x)在 x0 处取得极值，所以 f(0)0，即 a0.当 a0 时，f(
2、x)，f(x)，故 f(1)，f(1)，从而f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 y(x1)，化简得3xey0.5 分(2)由(1)知 f(x)，令 g(x)3x2(6a)xa，由 g(x)0 解得 x1，x2.7 分当 x0，即 f(x)0，故 f(x)为增函数；当 xx2 时，g(x)0，即 f(x)0，故 f(x)为减函数.9 分由 f(x)在3，)上为减函数，知 x23，解得 a.故a 的取值范围为.12 分2已知函数 f(x)ex(x2axa)，其中 a 是常数【导学号：31222100】2 / 5(1)当 a1 时，求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若存在
3、实数 k，使得关于 x 的方程 f(x)k 在0，)上有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围解 (1)由 f(x)ex(x2axa)可得f(x)exx2(a2)x.2 分当 a1 时，f(1)e，f(1)4e.所以曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为：ye4e(x1)，即 y4ex3e.5 分(2)令 f(x)exx2(a2)x0，解得 x(a2)或 x0.6 分当(a2)0，即 a2 时，在区间0，)上，f(x)0，所以 f(x)是0，)上的增函数，所以方程 f(x)k 在0，)上不可能有两个不相等的实数根.8分当(a2)0，即 a2 时，f(x)，f(x)随 x 的变化情况如
4、下表：x0(0，(a2)(a2)(a2)，)f(x)00f(x)aa4 ea2由上表可知函数 f(x)在0，)上的最小值为f(a2).因为函数 f(x)是(0，(a2)上的减函数，是(a2)，)上的增函数，且当 xa 时，有 f(x)ea(a)a，又 f(0)a.所以要使方程 f(x)k 在0，)上有两个不相等的实数根，3 / 5则 k 的取值范围是.12 分3(2016全国卷)已知函数 f(x)(x2)exa(x1)2.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围解 (1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a).1分()设 a0，则当 x(，1
5、)时，f(x)0；当 x(1，)时，f(x)0.所以 f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增.3分()设 a0，由 f(x)0 得 x1 或 xln(2a)若 a，则 f(x)(x1)(exe)，所以 f(x)在(，)上单调递增若 a，则 ln(2a)1，故当 x(，ln(2a)(1，)时，f(x)0；当 x(ln(2a)，1)时，f(x)0.所以 f(x)在(，ln(2a)，(1，)上单调递增，在(ln(2a)，1)上单调递减.5 分若 a，则 ln(2a)1，故当 x(，1)(ln(2a)，)时，f(x)0；当 x(1，ln(2a)时，f(x)0.所以 f(x)在(，1)，(l
6、n(2a)，)上单调递增，在(1，ln(2a)上单调递减.7 分(2)()设 a0，则由(1)知，f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增又 f(1)e，f(2)a，取 b 满足 b04 / 5且 bln，则 f(b)(b2)a(b1)2a0，所以 f(x)有两个零点.9 分()设 a0，则 f(x)(x2)ex，所以 f(x)只有一个零点()设 a0，若 a，则由(1)知，f(x)在(1，)上单调递增又当 x1 时 f(x)0，故 f(x)不存在两个零点；若 a，则由(1)知，f(x)在(1，ln(2a)上单调递减，在(ln(2a)，)上单调递增又当 x1 时，f(x)0，故 f(
7、x)不存在两个零点综上，a 的取值范围为(0，).12 分4(2017郑州二次质量预测)已知函数 f(x).(1)讨论函数 yf(x)在 x(m，)上的单调性；(2)若 m，则当 xm，m1时，函数 yf(x)的图象是否总在函数 g(x)x2x 图象上方？请写出判断过程解 (1)f(x)，2 分当 x(m，m1)时，f(x)0；当 x(m1，)时，f(x)0，所以函数 f(x)在(m，m1)上单调递减，在(m1，)上单调递增.4 分(2)由(1)知 f(x)在(m，m1)上单调递减，所以其最小值为 f(m1)em1.5 分因为 m，g(x)在 xm，m1最大值为(m1)2m1.所以下面判断 f(m1)与(m1)2m1 的大小，即判断 ex 与(1x)x 的大小，其中 xm1.令 m(x)ex(1x)x，m(x)ex2x1，令 h(x)m(x)，则 h(x)ex2，因为 xm1，所以 h(x)ex20，m(x)单调递增.85 / 5分所以 m(1)e30，me40，故存在 x0，使得m(x0)ex02x010，所以 m(x)在(1，x0)上单调递减，在上单调递增，所以 m(x)m(x0)ex0xx02x01xx0xx01，所以当 x0时，m(x0)xx010，即 ex(1x)x，也即 f(m1)(m1)2m1，所以函数 yf(x)的图象总在函数 g(x)x2x 图象上方.12 分