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1、1 / 18【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第十二章概率随机变精选高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布量及其分布 12-112-1 随机事件的概率教师用书理新人教随机事件的概率教师用书理新人教1概率和频率(1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(A)为事件 A 出现的频率(2)对于给定的随机事件 A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件 A 发生的可能性大小
2、，并把这个常数称为随机事件 A 的概率，记作 P(A)2事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)BA(或AB)相等关系若BA且ABAB并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)AB(或AB)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)AB(或AB)互斥事件若AB为不可能事件(AB)，那么称事件A与事件B互斥AB对立事件若AB为不可能事件，AB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件P(A)P
3、(B)13.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0P(A)1.2 / 18(2)必然事件的概率 P(E)1.(3)不可能事件的概率 P(F)0.(4)概率的加法公式如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(AB)P(A)P(B)(5)对立事件的概率若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 P(A)1P(B)【知识拓展】互斥事件与对立事件的区别与联系互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中
4、打“”或“”)(1)事件发生频率与概率是相同的( )(2)随机事件和随机试验是一回事( )(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值( )(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生( )(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件( )(6)两互斥事件的概率和为 1.( )1从1,2,3,4,5中随机选取一个数 a，从1,2,3中随机选取一个数 b，则 ba 的概率是( )A. B. C. D.1 5答案 D解析 基本事件的个数有 5315，其中满足 ba 的有 3 种，所以 ba3 / 18的概率为.2(教材改编)将一枚硬币向上抛掷 10 次，其中“正面向上恰有 5 次”是( )A
5、必然事件 B随机事件C不可能事件 D无法确定答案 B解析 抛掷 10 次硬币正面向上的次数可能为 010，都有可能发生，正面向上 5 次是随机事件3从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于 160 cm 的概率为 0.2，该同学的身高在160,175(单位：cm)内的概率为 0.5，那么该同学的身高超过 175 cm 的概率为( )A0.2 B0.3 C0.7 D0.8答案 B解析 因为必然事件发生的概率是 1，所以该同学的身高超过 175 cm的概率为 10.20.50.3，故选 B.4某射手在一次射击中，射中 10 环，9 环，8 环的概率分别为0.2,0.3,0.1，则此射手在一次
6、射击中不超过 8 环的概率为( )A0.5 B0.3 C0.6 D0.9答案 A解析 依题设知，此射手在一次射击中不超过 8 环的概率为1(0.20.3)0.5.5(教材改编)袋中装有 9 个白球，2 个红球，从中任取 3 个球，则恰有 1 个红球和全是白球；至少有 1 个红球和全是白球；至少有 1 个红球和至少有 2 个白球；至少有 1 个白球和至少有 1 个红球在上述事件中，是对立事件的为_4 / 18答案 解析 是互斥不对立的事件，是对立事件，不是互斥事件.题型一 事件关系的判断例 1 (1)从 1,2,3，7 这 7 个数中任取两个数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是
7、奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数上述事件中，是对立事件的是( )A B C D(2)设条件甲：“事件 A 与事件 B 是对立事件” ，结论乙：“概率满足P(A)P(B)1” ，则甲是乙的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(3)在 5 张电话卡中，有 3 张移动卡和 2 张联通卡，从中任取 2 张，若事件“2 张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是( )A至多有一张移动卡 B恰有一张移动卡C都不是移动卡 D至少有一张移动卡答案 (1)C (2)A (3)A解析 (1)中“至少有一个是奇数”即“两个奇
8、数或一奇一偶” ，而从 17 中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数” 、 “一奇一偶” 、 “两个都是偶数” ，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件(2)若事件 A 与事件 B 是对立事件，则 AB 为必然事件，再由概率的5 / 18加法公式得 P(A)P(B)1.设掷一枚硬币 3 次，事件 A：“至少出现一次正面” ，事件 B：“3 次出现正面” ，则 P(A)，P(B)，满足P(A)P(B)1，但 A，B 不是对立事件(3)至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡” ， “两张全是联通卡”两个事件，它是“2 张全是移动卡
9、”的对立事件思维升华 (1)准确把握互斥事件与对立事件的概念互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生(2)判断互斥、对立事件的方法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取 2 个球，以下给出了四组事件：至少有 1 个白球与至少有 1 个黄球；至少有 1 个黄球与都是黄球；恰有 1 个白球与恰有 1 个黄球；恰有 1 个白球与都是黄球其中互斥而不对立的事件共有( )A
10、0 组 B1 组 C2 组 D3 组答案 B解析 中“至少有 1 个白球”与“至少有 1 个黄球”可以同时发生，如恰好 1 个白球和 1 个黄球，中的两个事件不是互斥事件中“至少有 1 个黄球”说明可以是 1 个白球和 1 个黄球或 2 个黄球，则6 / 18两个事件不互斥中“恰有 1 个白球”与“恰有 1 个黄球” ，都是指有 1 个白球和 1 个黄球，因此两个事件是同一事件中两事件不能同时发生，也可能都不发生，因此两事件是互斥事件，但不是对立事件，故选 B.题型二 随机事件的频率与概率例 2 (2016全国甲卷)某险种的基本保费为 a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本
11、年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数012345频数605030302010(1)记 A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费” ，求 P(A)的估计值；(2)记 B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%” ，求 P(B)的估计值；(3)求续保人本年度的平均保费的估计值解 (1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2.由所给数据知，一年内出险次数小于 2 的频率为0.55，故 P(A)的估计
12、值为 0.55.(2)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4.由所给数据知，一年内出险次数大于 1 且小于 4 的频率为0.3，故 P(B)的估计值为 0.3.(3)由所给数据得保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a7 / 18频率0.300.250.150.150.100.05调查的 200 名续保人的平均保费为0.85a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.102a0.051.192 5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为 1.192 5a.思维升华 (1)概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率
13、是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值(2)随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率(2015北京)某超市随机选取 1 000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买， “”表示未购买.商品顾客人数 甲乙丙丁1002172003008598(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大
14、？8 / 18解 (1)从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中有 200 位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为0.2.(2)从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中，有 100 位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有 200 位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了 2 种商品所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大题型三 互
15、斥事件、对立事件的概率命题点 1 互斥事件的概率例 3 袋中有 12 个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？解 方法一 从袋中选取一个球，记事件“摸到红球” “摸到黑球”“摸到黄球” “摸到绿球”分别为 A，B，C，D，则有P(A)，P(BC)P(B)P(C)，P(CD)P(C)P(D)，P(BCD)P(B)P(C)P(D)1P(A)1，解得 P(B)，P(C)，P(D)，因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是， ，.方法二 设红球有 n 个，则，所以 n4，即红球有 4 个
16、9 / 18又得到黑球或黄球的概率是，所以黑球和黄球共 5 个又总球数是 12，所以绿球有 12453(个)又得到黄球或绿球的概率也是，所以黄球和绿球共 5 个，而绿球有 3个，所以黄球有 532(个)所以黑球有 124323(个)因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，.3 12命题点 2 对立事件的概率例 4 某商场有奖销售中，购满 100 元商品得 1 张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖50 个设 1 张奖券中特等奖，一等奖，二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1 张奖券的中奖概率；(3)1
17、 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率解 (1)P(A)，P(B)，P(C).故事件 A，B，C 的概率分别为， ，.(2)1 张奖券中奖包含中特等奖，一等奖，二等奖设“1 张奖券中奖”这个事件为 M，则 MABC.A，B，C 两两互斥，P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C).故 1 张奖券的中奖概率为.(3)设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N，则事件 N 与“1 张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，10 / 18P(N)1P(AB)1.故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.思维升华 求复杂事件的概率的两种方法求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常
18、有两种方法：(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率；(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反” 它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：排队人数012345 人及 5 人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多 2 人排队等候的概率；(2)至少 3 人排队等候的概率解 记“无人排队等候”为事件 A， “1 人排队等候”为事件 B， “2 人排队等候”为事件 C， “3 人排队等候”为事件
19、D， “4 人排队等候”为事件 E， “5 人及 5 人以上排队等候”为事件 F，则事件A、B、C、D、E、F 彼此互斥(1)记“至多 2 人排队等候”为事件 G，则 GABC，所以 P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.(2)方法一 记“至少 3 人排队等候”为事件 H，则 HDEF，所以 P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F)11 / 180.30.10.040.44.方法二 记“至少 3 人排队等候”为事件 H，则其对立事件为事件G，所以 P(H)1P(G)0.44.25用正难则反思想求互斥事件的概率典例 (12 分)某超市为了了解顾客的购物量及
20、结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1 至 4 件5 至 8件9 至 12 件13 至 16 件17 件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%.(1)确定 x，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均数；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率(将频率视为概率)思想方法指导 若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解规范解答解 (1)由已知得 25y1055，x3045，
21、所以 x15，y20.2 分该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均数可用样本平均数估计，其估计值为1.9(分钟)6 分12 / 18(2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟” ，A1，A2 分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为 2.5 分钟” ，“该顾客一次购物的结算时间为 3 分钟” ，将频率视为概率得 P(A1)，P(A2).9 分P(A)1P(A1)P(A2)1.11 分故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为.12 分1(
22、2016天津)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为( )A. B.2 5C. D.1 3答案 A解析 事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为.2(教材改编)袋中装有 3 个白球，4 个黑球，从中任取 3 个球，则恰有 1 个白球和全是白球；至少有 1 个白球和全是黑球；至少有 1 个白球和至少有 2 个白球；至少有 1 个白球和至少有 1 个黑球在上述事件中，是对立事件的为( )A B C D答案 B解析 至少有 1 个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生中两事件是对立事件3围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出 2
23、粒都是黑子的概率是，都是白子的概率是，则从中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率是( )13 / 18A. B. C. D1答案 C解析 设“从中取出 2 粒都是黑子”为事件 A， “从中取出 2 粒都是白子”为事件 B， “任意取出 2 粒恰好是同一色”为事件 C，则CAB，且事件 A 与 B 互斥所以 P(C)P(A)P(B).即任意取出 2 粒恰好是同一色的概率为.4(2016襄阳模拟)有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向事件“甲向南”与事件“乙向南”是( )A互斥但非对立事件 B对立事件C相互独立事件 D以上都不对答案 A解析
24、 由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件，故选 A.5(2016蚌埠模拟)从一篮子鸡蛋中任取 1 个，如果其重量小于 30克的概率为 0.3，重量在30,40克的概率为 0.5，那么重量不小于30 克的概率为( )A0.8 B0.5 C0.7 D0.3答案 C解析 由互斥事件概率公式知重量大于 40 克的概率为10.30.50.2，又0.50.20.7，重量不小于 30 克的概率为 0.7.6从存放的号码分别为 1,2,3，10 的卡片的盒子中，有放回地取 100 次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：卡片1234567891014 / 1
25、8号码取到次数138576131810119则取到号码为奇数的卡片的频率是( )A0.53 B0.5 C0.47 D0.37答案 A解析 取到号码为奇数的卡片的次数为 1356181153，则所求的频率为0.53.故选 A.7在 200 件产品中，有 192 件一级品，8 件二级品，则下列事件：在这 200 件产品中任意选出 9 件，全部是一级品；在这 200 件产品中任意选出 9 件，全部是二级品；在这 200 件产品中任意选出 9 件，不全是二级品其中_是必然事件；_是不可能事件；_是随机事件答案 8已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两
26、次命中的概率：先由计算器产生 0到 9 之间取整数值的随机数，指定 1,2,3,4 表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果经随机模拟产生了如下 20 组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为_答案 0.25解析 20 组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为0.25，以此估计该运动员三次投15 / 18篮恰有两次命中的概率为 0.
27、25.9若随机事件 A，B 互斥，A，B 发生的概率均不等于 0，且 P(A)2a，P(B)4a5，则实数 a 的取值范围是_答案 (，解析 由题意可知，a.10一个口袋内装有大小相同的红球，白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为 0.58，摸出红球或黑球的概率为 0.62，那么摸出红球的概率为_答案 0.2解析 记事件 A，B，C 分别是摸出红球，白球和黑球，则 A，B，C 互为互斥事件且 P(AB)0.58，P(AC)0.62，所以 P(C)1P(AB)0.42，P(B)1P(AC)0.38，P(A)1P(C)P(B)10.380.420.2.11某保险公司利用简单随机抽样方法
28、，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)01 0002 0003 0004 000车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为 2 800 元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占 10%，在赔付金额为 4 000 元的样本车辆中，车主是新司机的占 20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为 4 000 元的概率解 (1)设 A 表示事件“赔付金额为 3 000 元” ，B 表示事件“赔付金额为 4 000 元” ，以频率估计概率得P(A)0.15，P(B)0.12.由于投保金额为 2 800 元，赔付
29、金额大于投保金额对应的情形是赔付16 / 18金额为 3 000 元和 4 000 元，所以其概率为 P(A)P(B)0.150.120.27.(2)设 C 表示事件“投保车辆中新司机获赔 4 000 元” ，由已知，样本车辆中车主为新司机的有 0.11 000100(辆)，而赔付金额为 4 000 元的车辆中，车主为新司机的有 0.212024(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为 4 000 元的频率为0.24，由频率估计概率得 P(C)0.24.12(2016北京)A，B，C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(
30、单位：小时)：(1)试估计 C 班的学生人数；(2)从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取 1 人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；(3)再从 A，B，C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是 7,9,8.25(单位：小时)这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 1，表格中数据的平均数记为 0，试判断 0 和 1 的大小(结论不要求证明)解 (1)由题意及分层抽样可知，C 班学生人数约为10010040.(2)设事件 Ai 为“甲是现有样本中 A 班的第 i 个人” ，i1
31、,2，5，事件 Cj 为“乙是现有样本中 C 班的第 j 个人” ，j1,2，8.由题意可知 P(Ai)，i1,2，5；P(Cj)，j1,2，8.P(AiCj)P(Ai)P(Cj)，i1,2，5，j1，2，8.17 / 18设事件 E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长” ，由题意知，EA1C1A1C2A2C1A2C2A2C3A3C1A3C2A3C3A4C1A4C2A4C3A5C1A5C2A5C3A5C4.因此 P(E)P(A1C1)P(A1C2)P(A2C1)P(A2C2)P(A2C3)P(A3C1)P(A3C2)P(A3C3)P(A4C1)P(A4C2)P(A4C3)P(A5C1)P(A
32、5C2)P(A5C3)P(A5C4)15.(3)10.*13.一盒中装有 12 个球，其中 5 个红球，4 个黑球，2 个白球，1 个绿球从中随机取出 1 球，求：(1)取出 1 球是红球或黑球的概率；(2)取出 1 球是红球或黑球或白球的概率解 方法一 (利用互斥事件求概率)记事件 A1任取 1 球为红球，A2任取 1 球为黑球，A3任取 1 球为白球，A4任取 1 球为绿球，则 P(A1)，P(A2)，P(A3)，P(A4).根据题意知，事件 A1，A2，A3，A4 彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出 1 球为红球或黑球的概率为P(A1A2)P(A1)P(A2).(2)取出 1 球为红球或黑球或白球的概率为P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3).18 / 18方法二 (利用对立事件求概率)(1)由方法一知，取出 1 球为红球或黑球的对立事件为取出 1 球为白球或绿球，即 A1A2 的对立事件为 A3A4，所以取出 1 球为红球或黑球的概率为 P(A1A2)1P(A3A4)1P(A3)P(A4)1.(2)因为 A1A2A3 的对立事件为 A4，所以 P(A1A2A3)1P(A4)1.