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1、9.2两条直线的位置关系最新考纲考情考向分析1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.以考查两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主，有时也会与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是距离公式，是高考考查的重点.1两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直两条直线平行：()对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.()当直线l1，l2不重合且斜率都不
2、存在时，l1l2.两条直线垂直：()如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1k21.()当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1l2.(2)两条直线的交点直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解2几种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|.(2)点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.(3)两条平行线AxByC10与AxByC20(其中C1C2)间的距离d .知识拓展1直线系方程(1)与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0(mR且mC)(2)与直
3、线AxByC0垂直的直线系方程是BxAyn0(nR)2两直线平行或重合的充要条件直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20平行或重合的充要条件是A1B2A2B10.3两直线垂直的充要条件直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20垂直的充要条件是A1A2B1B20.4过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.5点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等题组
4、一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定为1.()(3)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.()(4)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为.()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()(6)若点A，B关于直线l：ykxb(k0)对称，则直线AB的斜率等于，且线段AB的中点在直线l上()题组二教材改编2已知点(a,2)(a0)到直
5、线l：xy30的距离为1，则a等于()A. B2 C.1 D.1答案C解析由题意得1.解得a1或a1.a0，a1.3已知P(2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线xy10，则m_.答案1解析由题意知1，所以m42m，所以m1.题组三易错自纠4(2017郑州调研)直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则m等于()A2 B3 C2或3 D2或3答案C解析直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则有，故m2或3.故选C.5直线2x2y10，xy20之间的距离是_答案解析先将2x2y10化为xy0，则两平行线间的距离为d.6若关于x，y的方程组有无数多组解，则实数a_.答案2解析当
6、a0时，不合题意；当a0时，得a2，综上，a2.题型一两条直线的位置关系典例 (2018青岛模拟)已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值(1)l1l2，且l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等解(1)由已知可得l2的斜率存在，且k21a.若k20，则1a0，a1.l1l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b0.又l1过点(3，1)，3a40，即a(矛盾)，此种情况不存在，k20，即k1，k2都存在且不为0.k21a，k1，l1l2，k1k21，即(1a)1.(*)又l1过点(3，1)，3ab40.(*)由(*)(*)联立，
7、解得a2，b2.(2)l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率存在，k1k2，即1a，又坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1l2，l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即b，联立，解得或a2，b2或a，b2.思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论跟踪训练已知直线l1：ax2y60和直线l2：x(a1)ya210.(1)试判断l1与l2是否平行；(2)当l1l2时，求a的值解(1)方法一当a1时，l1：x2y
8、60，l2：x0，l1不平行于l2；当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于l2；当a1且a0时，两直线可化为l1：yx3，l2：yx(a1)，l1l2解得a1，综上可知，当a1时，l1l2.方法二由A1B2A2B10，得a(a1)120，由A1C2A2C10，得a(a21)160，l1l2可得a1，故当a1时，l1l2.(2)方法一当a1时，l1：x2y60，l2：x0，l1与l2不垂直，故a1不成立；当a0时，l1：y3，l2：xy10，l1不垂直于l2，故a0不成立；当a1且a0时，l1：yx3，l2：yx(a1)，由1，得a.方法二由A1A2B1B20，得a2(a1)0，可得
9、a.题型二两直线的交点与距离问题1已知直线ykx2k1与直线yx2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是_答案解析方法一由方程组解得(若2k10，即k，则两直线平行)交点坐标为.又交点位于第一象限，解得k.方法二如图，已知直线yx2与x轴、y轴分别交于点A(4,0)，B(0,2)而直线方程ykx2k1可变形为y1k(x2)，表示这是一条过定点P(2,1)，斜率为k的动直线两直线的交点在第一象限，两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，动直线的斜率k需满足kPAkkPB.kPA，kPB.k.2若直线l过点P(1,2)且到点A(2,3)和点B(4,5)的距离相等，则直线l的方程为_答案x3y5
10、0或x1解析方法一当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由题意知，即|3k1|3k3|，k.直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意方法二当ABl时，有kkAB，直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当l过AB的中点时，AB的中点为(1,4)直线l的方程为x1.故所求直线l的方程为x3y50或x1.思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程(2)利用距离公式应注意：点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；两平行线
11、间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等题型三对称问题命题点1点关于点中心对称典例过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_答案x4y40解析设l1与l的交点为A(a,82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.命题点2点关于直线对称典例如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()
12、A3B6C2D2答案C解析直线AB的方程为xy4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(2,0)，则光线经过的路程为|CD|2.命题点3直线关于直线的对称问题典例已知直线l：2x3y10，求直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程解在直线m上任取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M必在直线m上设对称点M(a，b)，则解得M.设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4,3)又直线m经过点N(4,3)，由两点式得直线m的方程为9x46y1020.思维升华解决对称问题的方法(1)中心对称点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P(x，y)满足
13、直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决(2)轴对称点A(a，b)关于直线AxByC0(B0)的对称点A(m，n)，则有直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决跟踪训练已知直线l：3xy30，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；(2)直线xy20关于直线l对称的直线方程；(3)直线l关于(1,2)的对称直线解(1)设P(x，y)关于直线l：3xy30的对称点为P(x，y)，kPPkl1，即31.又PP的中点在直线3xy30上，330.由得把x4，y5代入得x2，y7，点P(4,5)关于直线l的对称点P的坐标为(2,7)(2)用分别代换xy20中的x，y，得关于l对称的直
14、线方程为20，化简得7xy220.(3)在直线l：3xy30上取点M(0,3)，关于(1,2)的对称点M(x，y)，1，x2，2，y1，M(2,1)l关于(1,2)的对称直线平行于l，k3，对称直线方程为y13(x2)，即3xy50.妙用直线系求直线方程一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系典例1 求与直线3x4y10平行且过点(1,2)的直线l的方程思想方法指导因为所求直线与3x4y10平行，因此，可设该直线方程为3x4yc0(c1)规范解答解由题意，设所求直线方程为3x4yc0(c1)，又因为直线过点(1,2
15、)，所以3142c0，解得c11.因此，所求直线方程为3x4y110.二、垂直直线系由于直线A1xB1yC10与A2xB2yC20垂直的充要条件为A1A2B1B20.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系可以考虑用直线系方程求解典例2 求经过A(2,1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程思想方法指导依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解规范解答解因为所求直线与直线2xy100垂直，所以设该直线方程为x2yC10，又直线过点A(2,1)，所以有221C10，解得C10，即所求直线方程为x2y0.三、过直线交点的直线系典例3 (2017湖南东部十校联考)经过两条直线2x
16、3y10和x3y40的交点，并且垂直于直线3x4y70的直线方程为_思想方法指导可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k，直接写出方程；也可以根据垂直关系设出所求方程，再把交点坐标代入求解；又可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解解析方法一由方程组解得即交点为，所求直线与直线3x4y70垂直，所求直线的斜率为k.由点斜式得所求直线方程为y，即4x3y90.方法二由垂直关系可设所求直线方程为4x3ym0，由方程组可解得交点为，代入4x3ym0，得m9，故所求直线方程为4x3y90.方法三由题意可设所求直线方程为(2x3y1)(x3y4)0，即(2)x(33)y140，又所
17、求直线与直线3x4y70垂直，3(2)4(33)0，2，代入式得所求直线方程为4x3y90.答案4x3y901直线2xym0和x2yn0的位置关系是()A平行B垂直C相交但不垂直D不能确定答案C解析直线2xym0的斜率k12，直线x2yn0的斜率k2，则k1k2，且k1k21.故选C.2已知直线l1：xmy70和l2：(m2)x3y2m0互相平行，则实数m等于()A1或3 B1C3 D1或3答案A解析当m0时，显然不符合题意；当m0时，由题意得，解得m1或m3，故选A.3从点(2,3)射出的光线沿与向量a(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为()Ax2y40 B2xy10C
18、x6y160 D6xy80答案A解析由直线与向量a(8,4)平行知，过点(2,3)的直线的斜率k，所以直线的方程为y3(x2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(2,3)，所以反射光线过点(2,3)与(0,2)，由两点式知A正确4(2017浙江嘉兴一中月考)若点P在直线l：xy10上运动，且A(4,1)，B(2,0)，则|PA|PB|的最小值是()A. B. C3 D4答案C解析设A(4,1)关于直线xy10的对称点为A(2，3)，|PA|PB|PA|PB|，当P，A，B三点共线时，|PA|PB|取得最小值|AB|3.5若直线l1：xay60与l2：(a2)x3
19、y2a0平行，则l1与l2之间的距离为()A.B4C.D2答案C解析l1l2，a2且a0，解得a1，l1与l2的方程分别为l1：xy60，l2：xy0，l1与l2的距离d.6若直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2经过定点 ()A(0,4) B(0,2)C(2,4) D(4，2)答案B解析直线l1：yk(x4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2经过定点(0,2)7若三条直线y2x，xy3，mx2y50相交于同一点，则m的值为_答案9解析由得点(1,2)满足方程mx2y50，即m
20、12250，m9.8将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则mn_.答案解析由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y2x3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得故mn.9已知直线l1：axy60与l2：x(a2)ya10相交于点P，若l1l2，则a_，此时点P的坐标为_答案1(3,3)解析直线l1：axy60与l2：x(a2)ya10相交于点P，且l1l2，a11(a2)0，即a1，联立方程易得x3，y3，P(3,3)10已知点A(0,1)，直线l1：xy10，直线l2：x2y20，则点A关于
21、直线l1的对称点B的坐标为_，直线l2关于直线l1的对称直线的方程是_答案(2，1)2xy50解析设B(x，y)，则解得即B(2，1)由得设C(4,3)，由(1)得l2上的点A(0,1)关于直线l1的对称点为B，因此所求对称直线过B，C两点，所以y3(x4)，即2xy50.11已知方程(2)x(1)y2(32)0与点P(2,2)(1)证明：对任意的实数，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.(1)解显然2与(1)不可能同时为零，故对任意的实数，该方程都表示直线方程可变形为2xy6(xy4)0，解得故直线经过的定点为M
22、(2，2)(2)证明过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|PM|，此时对应的直线方程是y2x2，即xy40.但直线系方程唯独不能表示直线xy40，M与Q不可能重合，而|PM|4，|PQ|4，故所证成立12已知三条直线：l1：2xya0(a0)；l2：4x2y10；l3：xy10，且l1与l2间的距离是.(1)求a的值；(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：点P在第一象限；点P到l1的距离是点P到l2的距离的；点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是.若能，求点P的坐标；若不能，请说明理由解(1)直线l2：2xy0，所以两条平行直线l
23、1与l2间的距离为d，所以，即，又a0，解得a3.(2)假设存在点P，设点P(x0，y0)若点P满足条件，则点P在与l1，l2平行的直线l：2xyc0上，且，即c或，所以直线l的方程为2x0y00或2x0y00；若点P满足条件，由点到直线的距离公式，有，即|2x0y03|x0y01|，所以x02y040或3x020；由于点P在第一象限，所以3x020不可能联立方程2x0y00和x02y040，解得(舍去)；联立方程2x0y00和x02y040，解得所以存在点P同时满足三个条件13若三条直线y2x，xy3，mxny50相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为()A.B.C2D2答案A解
24、析联立解得x1，y2.把(1,2)代入mxny50可得，m2n50.m52n.点(m，n)到原点的距离d，当n2，m1时取等号点(m，n)到原点的距离的最小值为.14(2018届山西名校模拟)已知M(x，y)为曲线C：1上任意一点，且A(3,0)，B(3,0)，则|MA|MB|的最大值是_答案8解析原曲线方程可化为1，作图如下：由上图可得要使|MA|MB|取得最大值，则M必须在菱形的顶点处，不妨取M(0，)，或M(4,0)，均可求得|MA|MB|8，故|MA|MB|的最大值为8.15定义点P(x0，y0)到直线l：axbyc0(a2b20)的有向距离为d.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别
25、是d1，d2，则下列命题正确的是()A若d1d21，则直线P1P2与直线l平行B若d11，d21，则直线P1P2与直线l垂直C若d1d20，则直线P1P2与直线l垂直D若d1d20，则直线P1P2与直线l相交答案A解析设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则由d1d21，得ax1by1cax2by2c0，化简得(x1x2)，由x1x2得y1y2，b0，又P1，P2不在直线l上，所以直线P1P2与直线l平行；由d11，d21或d1d20得ax1by1c(ax2by2c)，化简得a(x1x2)b(y1y2)2c，得不到a(x1x2)b(y1y2)0；若d1d20，则P1，P2可能都在直线l上，
26、所以命题正确的是A项16在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合若直线l与直线l1关于点(2,3)对称，则直线l的方程是_答案6x8y10解析由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxb，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1：yk(x3)5b，将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为yk(x31)b52，即ykx34kb，b34kb，解得k，直线l的方程为yxb，直线l1为yxb，取直线l上的一点P，则点P关于点(2,3)的对称点为，6b(4m)b，解得b.直线l的方程是yx，即6x8y10.