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1、流形概念的演变与理论发展,数学史论文流形是 20 世纪数学有代表性的基本概念，它集几何、代数、分析于一体，成为当代数学的重要研究对象。 在数学中，流形作为方程的非退化系统的解的集合出现，也是几何的各种集合和允许局部参数化的其他对象。153物理学中，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。 流形是局部具有欧氏空间性质的拓扑空间，粗略地讲，流形上每一点的附近和欧氏空间的一个开集是同胚的，流形正是一块块欧氏空间粘起来的结果。 从整体上看，流形具有拓扑构造，而拓扑构造是 软 的， 由于所有的同胚变形会保持拓扑构造不变，这样流形具有整体上的柔性，可流动性，也许这就是中文
2、译成流形该译名由着名数学家和数学教育学家江泽涵引入的原因。 流形作为拓扑空间，它的起源是为了解决什么问题？ 是怎样解决的？ 谁解决的？ 构成了什么理论？这是几何史的根本问题。 当前国内外对这些问题已有一些研究1-7，本文在已有研究工作的基础上，对流形的历史演变经过进行了较为深切进入、 细致的分析，并对上述问题给予解答。 二、流形概念的演变 流 形 概 念 的 起 源 可 追 溯 到 高 斯 C.F.Gauss,1777-1855的内蕴几何思想 ,黎曼C.F.B.Riemann,1826-1866继承并发展了的高斯的想法，并给出了流形的描绘叙述性定义。 随着集合论和拓扑学的发展，希尔伯特D.Hi
3、lbert,1862-1943用公理化方案改进了黎曼对流形的定义， 最终外尔H.Weyl,1885-1955给出了流形的严格数学定义。 1. 高斯-克吕格投影和曲纹坐标系 十八世纪末及十九世纪初，频繁的拿破仑战争和欧洲经济的发展迫切需要绘制精到准确的地图，于是欧洲各国开场有计划地施行本国领域的大地测量工作。 1817 年，汉诺威命令高斯精到准确测量从哥廷根到奥尔顿子午线的弧长， 并绘制奥尔顿的地图，这使得高斯转向大地测量学的问题与实践。 高斯在绘制地图中创造了高斯-克吕格投影， 这是一种等角横轴切椭圆柱投影，它假设一个椭圆柱面与地球椭球体面横切于某一条经线上，根据等角条件将经线东、西各 3 或
4、 1.5 经线范围内的经纬线投影到椭圆柱面上， 然后将椭圆柱面展开成平面。 采用分带投影的方式方法，是为了使投影边缘的变形不致过大。 当大的控制网跨越两个相邻投影带，需要进行平面坐标的邻带换算。 高斯-克吕格投影相当于把地球外表看成是一块块平面拼起来的， 并且相邻投影带的坐标能够进行换算。 这种绘制地图的方式给出了 流形 这个数学概念的雏形。 大地测量的实践导致了高斯曲面论研究的丰富成果。 由于地球外表是个两极稍扁的不规则椭球面，绘制地图实际上就是寻找一般曲面到平面的保角映射。 高斯利用复变函数，得出两个曲面之间存在保角映射的充要条件是两个曲面的文章中有两个重要创举：论文中都使用曲纹坐标u,v
5、表示曲面上的一个点，这相当于建立了曲面上的局部坐标系。 突破笛卡尔直角坐标的局限性是高斯迈出的重要一步，但问题是：曲纹坐标只适用于曲面的局部，假如想使曲面上所有的点都有坐标表示，就需要在曲面上建立若干个局部坐标系，那么这些坐标系能否相互协调一致？ 这是高斯的几何的基础。 高斯当时不具备足够的数学工具来发展他的几何设想，但高斯对空间的认识深入地影响了黎曼。 2. 黎曼的 关于几何基础的假设 黎曼在 1851 年的博士论文 (单复变函数的一般理论中，为研究多值解析函数曾使用黎曼面的概念，也就是一维复流形，但流形是什么还没有定义。 在高斯的几何思想和赫巴特J.F.Herbart,1776-1841的
6、哲学思想的影响下 ,黎曼 1854 年在哥廷根做了着名演讲(关于几何基础的假设，演讲中他分析了几何的全部假设，建立了当代的几何观。52全文分三部分，中提到： 几何学事先设定了空间的概念， 并假设了空间中各种建构的基本原则。 关于这些概念，只要叙述性的定义，重要的特征则以公设的形态出现。 这些假设诸如空间的概念及其基本性质相互之间的关系尚属一篇空白；我们看不出这些概念之间能否需要有某种程度的关联，相关到什么地步，甚至不知道能否能导出任何的相关性。 从欧几里得到几何学最着名的变革家雷建德，这一领域无论是数学家还是哲学家都无法打破这个僵局。 这无疑是由于大家对于多元延伸量的概念仍一无所知。 因而我首
7、先要从一般量的概念中建立多元延伸量的概念。 9411从开篇中我们能够看到黎曼演讲的目的所在： 建立空间的概念，由于这是几何研究的基础。 黎曼为什么要建立空间的概念？ 这与当时非欧几何的发展有很大关系。 罗巴切夫斯基N.L.Lobatchevsky,1793-1856 和波约 J.Bolyai,1802-1860 已经公开发表了他们的非欧几何论文，高斯没有公开主张非欧几何的存在，但他内心是成认非欧几何并做过深切进入考虑的。 然而就整个社会而言，非欧几何尚未完全被人们接受。 黎曼的目的之一，是以澄清空间是什么这个问题来统一已经出现的各种几何；并且不止如此，黎曼主张一种几何学的全局观：作为任何种类的
8、空间里任意维度的流形研究。 黎曼在(关于几何学基础的假设的就职演讲，通常被以为是黎曼几何学的源头。 但在黎曼所处的时代，李群以及拓扑学还没有发展起来，黎曼几何只限于小范围的理论。 大约在 1925 年霍普夫H.Hopf,1894-1971才开场对黎曼空间的微分构造与拓扑构造的关系进行研究。 随着微分流形精到准确概念确实立，十分是嘉当J.Cartan,1869-1951在 20世纪 20 年代创始并发展了外微分形式与活动标架法， 李群与黎曼几何之间的联络逐步建立了起来，并由此拓展了线性联络及纤维丛的研究。 2. 近复构造和复几何 微分流形 M 上的一个近复构造是 M 的切丛TM 的一个自同构，知
9、足 J J=-1. 假如近复构造是可积的，那么就能够找到 M 上的全纯坐标卡，使得坐标变换是全纯函数， 这时就得到了一个复流形，复流形上的几何称为复几何。 3. 辛构造和辛几何 微分流形上的一个辛构造是一个非退化的闭的二次微分形式，这样的流形称为辛流形，辛流形上发展起来的几何称为辛几何。 与黎曼几何不同的是，辛几何是一种不能测量长度却能够测量面积的几何，而且辛流形上并没有类似于黎曼几何中曲率这样的局部概念，这使得辛几何的研究带有很大的整体性。 辛几何与数学中的代数几何，数学物理，几何拓扑等领域有很重要的联络。 四、结 语 以上谈到的是流形的公理化定义的发展历史，其线索可概括为高斯-黎曼-希尔伯
10、特-外尔。 导致流形概念诞生的根本原因在于对空间认识的推广：从平直空间上的几何，到弯曲空间上的流形概念的历史演变几何，再到更抽象的空间-流形上的几何。 流形概念的一步步完善与集合论和拓扑学的发展，十分是邻域公理的建立密不可分，微分 流形已成为微分几何与微分拓扑的主要研究对象，并发展成多个分支，如黎曼几何、复几何、辛几何等。 所以讲，几何学发展的历史就是空间观念变革的历史，伴随着一种新的空间观念的出现和成熟，新的数学就会在这个空间中展开和发展。 以下为参考文献 1 陈惠勇。流形概念的起源与发展J.太原理工大学学报，20073：53-57. 2 D.J.Struik.Outline of a History of Differential GeometryJ.Isis,193320：161-191. 3 E.Scholz.The concept of manifold,1850 -1950 C/I.M.James.History of Topology.Amsterdam:Elsevier Science Publisheres,1999:25-64. 4 德莫里斯 克莱因。古今数学思想：第三册M.万伟勋，石生明，孙树本，等，译。上海：上海科学技术出版社，2003.