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1、求解类拉普拉斯方程定解问题的径向基函数配点法,应用数学论文内容摘要：建立了径向基函数配点法求解类拉普拉斯方程定解问题的方式方法。将求解域根据系数张量为分片常量来分解为若干子域。在每个子域上分别利用所布置的中心点建立用径向基函数表示出的近似待解函数。在每个子域内及子域边界与外边界重合部分的配置节点上分别利用类拉普拉斯方程和定解条件建立近似解函数的待定系数知足的配点方程组，在相邻子域的分界限的配置节点上利用相容条件建立待定系数知足的配点方程组。方程组联立求解就得到了整个域上的近似解。算例计算表示清楚该方式方法求解问题简捷有效，算法具有很高的精度。 本文关键词语：数值模拟； 径向基函数配点法； 相容
2、条件； 类拉普拉斯方程； Abstract:The radial basis function collocation method is established to solve the definite solution of quasi-Laplacian equation.The solution domain is decomposed into several subdomains according to the coefficient tensor as the sharding constant.In each subdomain,an approximate unsolve
3、d function expressed by the radial basis function is established by using the center points.In each subdomain and on the configuration nodes where the boundary of the subdomain overlaps with the outer boundary,quasi-Laplace equation and the definite solution condition are respectively used to establ
4、ish the collocation point equations that the undetermined coefficients of the approximate solution function satisfy,and the compatibility condition is used to establish the collocation point equations that the undetermined coefficients satisfy on the configuration nodes of the boundary of the adjace
5、nt subdomain.The simultaneous solution of the equations gives the approximate solution over the whole domain.Numerical examples show that the method is simple and effective,and the algorithm has high precision. Keyword:numerical simulation; radial basis function collocation method; compatibility con
6、ditions; quasi-Laplace equation; 当前，求解偏微分方程近似解时广泛使用的方式方法主要有有限元法和有限差分法等。这些方式方法的一个显著特征是必须依靠网格，这使得它们在用于实际工程计算时会出现计算量大和算法实现较为困难等问题。为了寻找能够克制这些缺点的数值计算方式方法，学者们研究出了一类免网格的微分方程数值求解新方式方法-无网格法。 径向基函数Radial Basis Function,简称RBF配点法是诸多无网格法中的一种，具有方式方法直接、原理简单、收敛速度快、无须数值积分、节点布置灵敏等特点，因此该方式方法具有易于理解、编程容易、计算速度快、适用问题广、更易于
7、求解高维问题等的优点。径向基函数配点法的研究始于1990年1,由于该方式方法的上述优点，日益引起众多领域研究人员的关注。20世纪末至21世纪初该方式方法的理论基础初步建立2,3,4,5,6,不过至那时以来相关的理论研究鲜有进展。与此同时，尝试将该方式方法应用于很多类型方程及很多工程领域问题的求解的报道越来越多7,8,9,10. 类拉普拉斯方程是工程领域较为常见的一类偏微分方程，用径向基函数配点法按常规方式方法直接求解这类方程会由于方程本身的特征而失效。本文通过引入相容条件，建立了求解类拉普拉斯方程定解问题的径向基函数配点法，并用算例验证了该算法的有效性。 1 径向基函数配点法 径向基函数是指形
8、如 x- 这样的由一元函数与距离函数复合而成的函数，华而不实， 称为中心点。考虑如下微分方程定解问题： 华而不实，L为线性偏微分算子，fx、gx为已经知道函数。 布置中心点 = 1, ， N和配点X=x1, ，xN.将配点分成内点IN0个点和边界点BN1个点。用径向基函数构造如下形式的近似解函数，即 把近似解式3代入微分方程定解问题1、式2中，并使式1、式2分别在内点和边界点上成立，得到 由此得到线性方程组 华而不实， 求解该方程组，由式3得到定解问题的近似解。 2 类拉普拉斯方程的径向基函数配点法 考虑如下形式的类拉普拉斯方程定解问题： 华而不实，U为待解函数，K为已经知道张量函数，n为外法
9、线方向向量，fx和gx为已经知道函数， 1为第一类边界， 2为第二类边界。该方程常见于非均匀多孔介质中的单相稳态渗流问题，K是浸透率张量。假如U表示温度，K表示热传导系数，该方程就对应稳态热传导问题。 本文考虑K是分块常量的情形这是数值计算时的典型情况。根据K的分块特征将求解域划分为若干个子区域，使得K在每个子区域上为常量。以二维两个分区为例，如此图1所示。 在不同子区域的分界限 D上知足相容条件，即 华而不实，Ui为分界限上的i区待解函数，ni为i区的边界外法线方向，i=1,2. 假如取n=n1，则n2=-n,式9变为 在这里情况下，问题7可归结为如下的定解问题： 图1 分片常量区域图 Fi
10、g.1 Sharding constant region diagram 华而不实， k为k区子域。 在1区、2区共布置N个中心点，并在1区、2区分别布置为k区内节点个数，N1k为k区一类边界节点个数，N2k为k区二类边界节点个数，M为两区分界限上节点个数。计算时，分界限上的节点既看作1区节点，也看作2区节点。 将近似解式3代入微分方程定解问题式11中，由式4、式5得到 由式6得到近似解函数的待定系数在两个子区域知足的配点方程组下面简称分区方程组： 华而不实， 将近似解式3代入相容条件式8、式10中，使代入后的相容条件式8、式10在分界限上的节点成立： 整理得到系数矩阵： 进而得到近似解函数的
11、待定系数知足的配点方程组下面简称相容条件方程组： 华而不实，Ak1ck表示k区待解函数在分界限上节点的值，KkAk2ck表示分界限上k区外法线方向， 将分区方程组式12和相容条件方程组式13、式14联立得到定解问题式11的矩阵表示出 求解该方程组，就能够得到整个域上的近似解。 3 数值算例 假定区域 为矩形域0,4 0,1,在矩形域 内知足 华而不实， 令式15的准确解是 假定矩形域 的左右边界知足第一类边界条件，上下边界知足第二类边界条件，详细值由准确解确定。 求解该算例时，在 上均匀布置55个网格节点xi,yi作为中心点，分界限上的节点坐标分别为2，02，0.252，0.52，0.752，
12、1，中心点为节点坐标加MATLAB中的最小浮点数精度eps.取径向基函数选择为广义多二次函数： r=1+εr252.取k区 r中的ε为ε1=0.067,ε2=0.034,计算结果和准确解如此图2,两者绝对误差如此图3. 经检验，绝对误差为10-4数量级，算法具有较高的精度。 图2 准确解和近似解 Fig.2 Accurate and approximate solutions 图3 准确解和近似解的绝对误 Fig.3 Absolute errors of the accurate and approximate solutions
13、 4 结束语 本文建立了径向基函数配点法求解类拉普拉斯方程问题的方式方法，算例计算表示清楚该方式方法求解问题简捷有效，算法具有很高的精度。本文的方式方法具有节点布置灵敏、完全不需要网格等优点，为类拉普拉斯方程问题的求解提供了一种新的途径。但在分区较多时，该方式方法就变得复杂了，失去其优越性。怎样将该方式方法进行改良，使其易于求解较多分区的情况，将有待进一步研究。 以下为参考文献 1 KANSA E J.Multiquadrics-A scattered data approximation scheme with applications to computational fluid-dyna
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