认识论研究中休谟原则的价值探讨,自然辩证法论文.docx

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1、认识论研究中休谟原则的价值探讨,自然辩证法论文摘 要： 弗雷格的逻辑主义的核心观点是算术真理是分析真理，这种分析性是被界定为:假如一个命题能够用逻辑和定义证成，那么这个命题就是分析的。弗雷格的逻辑主义失败了，由于他重构算术的系统有矛盾。随后逻辑学家发现:标准的二阶逻辑加上休谟原则能够推出二阶算术的公理。这一结论被称为弗雷格定理。新逻辑主义的核心论点是:休谟原则固然不是 显定义 ，但是这个原则能够解释 基数 有穷数 ，因而休谟原则给出了一种解释抽象对象的途径。但是新逻辑主义也面临着种种的质疑，华而不实最具代表性的是布鲁斯对休谟原则 分析性 地位的怀疑。文章在介绍布鲁斯和新逻辑主义争论焦点的基础上

2、，将澄清新逻辑主义在认识论上并不是要论证算术真理的 分析性 而是论证休谟原则能够解释 数 ，并且解释这种方式方法为什么优于其他公理系统的 隐定义 。 本文关键词语： 休谟原则; 隐定义; 良莠不齐问题; Abstract： The thesis of Frege s logcism is that arithmetic truths are analytic,which means arithmetic truths can be justified by logic and definitions. Frege s logicism is generally thought failed b

3、ecause his system to reconstruct arithmetic is inconsistent. Logicians find that second-order logic plus Hume s Principle derives the axioms of second-order arithmetic,and this result is now called Frege s Theorem. The main thesis of Neo-logicism is that Hume s Principle explains the meaning of card

4、inal number,although it is not an explicit definition,and therefore Hume s Principle provides a way to explain abstract objects. However,Neo-logcism is confronted with criticisms which include Boolos doubt about the analyticity of Hume s Principle. This paper clarifies that the aim of Neo-logicism i

5、s not to explain the analyticity of Hume s Principle but to explain how it provides the sense of cardinal numbers ,and why this definition is better than the other implicit definition as an axiomatic system. Keyword： Hume s Principle; implicit definitions; bad company; 引论 新逻辑主义继承了弗雷格的逻辑主义的基本主张，以为基本的

6、算术规律能够从标准的二阶逻辑和定义(休谟原则)得出。弗雷格的逻辑主义计划最初在(算术基础中提出，弗雷格要严格区分逻辑的东西与心理的东西，他要为算术建立其逻辑基础，这具体表现出在弗雷格要把算术真理规约为逻辑和定义，即算术真理能够从逻辑和适宜的定义推出。但是人们一般以为弗雷格的逻辑主义失败了，其根本原因在于弗雷格在(算术的基本规律中所施行的逻辑主义计划的公理系统有矛盾。但是随后逻辑学家发现了弗雷格定理，即标准的二阶逻辑系统加休谟原则能够推出戴德金的二阶算术公理。这一逻辑发现，在新逻辑主义看来有重要的哲学意义。他们以为休谟原则能够看作是基数的隐定义。从这个隐定义，不仅能够推出刻画标准自然数构造的算术

7、真理，而且更为重要的是，能够解释 数 的涵义。这就为我们如何理解抽象对象提供了适宜的认识论。新逻辑主义者以为，弗雷格的涵义与指称理论固然是华而不实后期的思想，而且还有一些地方需要修正，但是这样的意义理论能够用来发展弗雷格的逻辑主义。与弗雷格的逻辑主义最为相近的是，新逻辑主义者以为，在为算术所提供的认识论中不必诉诸直观而仅仅诉诸逻辑和定义。新逻辑主义与弗雷格的逻辑主义也有不同，华而不实显着不同的地方在于新逻辑主义把休谟原则作为基本定义，而非推出的定理。而弗雷格否认了休谟原则作为基本定义的作用，其理由正是弗雷格在其(算术基础中所提出的凯撒问题。本文并不讨论新逻辑主义如何解决凯撒问题，而是讨论休谟原

8、则作为基本定义所面临的其他问题，华而不实最重要的问题是:我们以什么原则来接受一个定义? 本文分为五部分。第一部分概述弗雷格的逻辑主义主张;第二部分解释新逻辑主义的基本主张及这种哲学立场为什么把休谟原则作为基本的定义;第三部分讨论休谟原则能否是逻辑真理;第四部分讨论抽象原则可被接受的合理条件，在这部分重点讨论新逻辑主义解决良莠不齐问题的策略及其挑战;第五部分论文的结论。 一、弗雷格的逻辑主义 弗雷格在(算术基础中的算术哲学的核心观点是:算术真理是分析真理，而分析真理是能够从逻辑和定义证成(justified)13e-4e。(算术基础并未给出一个严格的形式系统来讲明算术真理的分析性，但是弗雷格却给

9、出算术分析性的大致讲明。他把 属于某个概念的数 定义为与这个概念 外延 有逐一对应的等价类180e-81e。他希望从这一定义能够推出算术的基本规律，并且相信能够做到这一点。弗雷格在其(算术的基本规律真正施行了其逻辑主义计划。在(算术的基本规律中，弗雷格需要定义 概念的外延 ，由于在弗雷格看来， 数 的定义需要 概念的外延 ( 属于某个概念的数 定义为与这个概念 外延 有逐一对应的等价类)，因而他引入了公理V作为 概念的外延 的隐定义。正如我们所知道的，公理V加在标准的二阶逻辑系统上会导致矛盾。因而人们以为弗雷格的逻辑主义失败了。 让我们想象一下:假设公理V加在标准的二阶逻辑系统上不会导致矛盾，

10、弗雷格的逻辑主义就是成功的吗? 弗雷格的算术哲学的核心是要解释算术真理的分析性，即算术真理都能够从逻辑和定义证成。这样的论断假如等同于所有的算术真理都能够从弗雷格所建立的公理系统证成，当然是无法实现的，这是哥德尔不完全定理告诉我们的。后来逻辑学家发现了弗雷格定理:休谟原则加在标准的二阶逻辑系统能够推出戴德金二阶算术的公理，这也并不意味着所有的算术真理能够从这个系统中证成。 弗雷格强调 定义 ，无论公理V还是休谟原则都是 语境定义 ，这种定义规定了某类对象的等同性的条件，新逻辑主义把这样的 语境定义 称为抽象原则，其一般形式如下: 华而不实#是一个运算，当这种运算运用到某种类型的表示出式时，就会

11、构成一个单称词项(singular term); 表示出的是两种一样类型表示出式的等价关系。(算术基础中的 线的方向 定义、休谟原则以及他在(算术的基本规律中的公理V都是抽象原则，它们都有这样的形式。 线a的方向=线b的方向当且仅当线a和线b平行。 F的数=G的数当且仅当F与G有逐一对应。 F的外延=G的外延当且仅当F与G同延。 当且仅当的右边是等价关系，比方线之间的 平行关系 、概念的 逐一对应关系 、概念的 同延 都是等价关系;当且仅当的左边引入了新运算符号，表示出两个对象的等同性。整个抽象原则就是这样的等值式，等值式的左边和右边有一样的真值条件。 抽象原则并不是一种 显定义 。显定义是用

12、其他语词直接、明白地陈述被定义项的涵义。比方 人是理性动物 就是一个显定义。与显定义相对应的是 隐定义 ，这种定义方式并不是直接陈述被定义项的涵义，而是靠陈述包含被定义项的句子来到达把握被定义项涵义的目的。希尔伯特以为一个公理系统就能够看作是隐定义，这些公理隐含地定义了某些初始概念。例如算术的公理系统隐含地定义了 数 后继 等概念;几何的公理系统隐含地定义了 点 线 面 。在希尔伯特看来，包含某些初始概念的公理系统就是这些概念的 隐定义 ，而这些公理来源于我们对这些概念的 直观 。 弗雷格反对 直观 作为 数 的认识论基础。在(算术基础中，他明确反对康德把算术的认识论建立在直观的基础上。他也反

13、对把非逻辑公理看作是隐定义。在给希尔伯特的信中，他以为希尔伯特的 几何基础 的公理系统并未给予 点 线 之间 这些词的意义，而是预设了先前就已经知道了这些语词的意义。这些公理仅仅表示出了我们对于这些初始符号涵义的直观，但是没有解释我们怎样获得这些符号的涵义。弗雷格要区分公理和定义。他以为公理表示出了真理，假如公理中出现的语词的意义还没有确定，那么这个公理所表示出的就不是一个思想。定义要给出特定语词的意义，公理并不承当给出语词意义的任务。当然希尔伯特并不同意弗雷格的立场2。 在(算术基础的 60 67，弗雷格暗示了数能够用休谟原则来定义，但是他最终否认了休谟原则作为数的定义，其理由是这种定义方式

14、无法解决凯撒问题。弗雷格以为休谟原则固然给出了数相等的条件，但是这里的数在形式上必须是 F的数 ，仅从这个定义，无法知道 木星的卫星数=凯撒 能否是真的。正是这个问题，使弗雷格转向 数 的显定义。弗雷格把 F的数 定义为与F有逐一对应的等价类。而这个定义需要一个类理论，或者外延理论，为了提供这样的理论，弗雷格引入了公理V。这一点确实导致了其系统的不一致，对他的逻辑主义计划造成了致命的打击。 也许有人会问，为什么不采用集合论作为算术的基础来拯救弗雷格的逻辑主义计划?我想至少有两个明显的理由能够以为弗雷格会拒绝把集合论作为拯救其逻辑主义计划的途径。第一个理由，弗雷格的逻辑主义计划是要把数定义为 逻

15、辑对象 ，它的定义并不能诉诸其他非逻辑的概念，比方 集合 。公理集合论含有集合存在性的预设。另一个理由是弗雷格的数的概念实际上无法与集合论的数的概念相一致，由于基数作为对象组成的类太大了，以致于不能看作是集合。但是基数在弗雷格的理论中是一个概念，这里的概念是弗雷格意义上的概念，即谓词的指称，它不是集合。 二、新逻辑主义的逻辑主义主张 与弗雷格的逻辑主义不同的是，新逻辑主义以为休谟原则能够作为数的定义，并且基本的算术规律能够从二阶逻辑系统加休谟原则推出。基本的算术规律包括戴德金的二阶算术公理以及这个系统所推出的算术定理。弗雷格定理是一数学事实，即从二阶逻辑加休谟原则能够推出戴德金的非逻辑公理，这

16、一点当然不会有人否认，这也许称不上一个 哲学 主张。新逻辑主义的哲学主张的核心是:休谟原则能够作为数的定义，来解释我们如何理解或者讲如何认识抽象的 数 。贝纳塞拉夫(Benacerraf)提出柏拉图主义数学观的难点在于提供如何认识抽象数学对象的认识论，假如新逻辑主义能够给出如何理解抽象数学对象的途径，这确实具有重要的哲学意义。但是弗雷格本人就反对休谟原则作为数的定义，所以新逻辑主义的主张一开场就面临着怎样解决 凯撒问题 的挑战。新逻辑主义者以为，休谟原则给出了解释抽象对象 数 的涵义，而且所有能够成为数的对象都是某个概念的数。没有哪个 数 不能通过休谟原则来解释。这种主张当然与弗雷格在(算术基

17、础中的观点有冲突，也正是这一主张，使得新逻辑主义找到解决 凯撒问题 的途径。 哥德尔不完全定理告诉我们，这样的系统无法证明所有的算术真理。新逻辑主义者似乎并不关心能否这个系统能够证明所有的算术真理，他们关心的是给出数的认识论，即怎样解释 数 的涵义。戴德金的二阶算术系统确实刻画了 唯一的 (同构意义上)算术构造，假如休谟原则确实能够看作是定义，那么弗雷格定理正讲明了休谟原则能够解释 数 。之所以称这样的主张为逻辑主义，是由于它与弗雷格的算术哲学如此接近:以为数的认识论不需要 直观 作为基础，而是以逻辑加定义作为其认识论的基础;之所以称之为新逻辑主义在于它与弗雷格的逻辑主义有别，其最为显着的区别

18、就在于把休谟原则作为基本的定义，而不是所推出的定理。 为什么休谟原则能够作为定义? 新逻辑主义以为休谟原则: 通过等值式，使得左边 等同性 的真值条件能够由等值式右边提供，这样就能够理解等值式左边的意义。新弗雷格主义以为理解句子的意义当且仅当理解句子的真值条件，句子的真值条件就是句子的意义3。比方 玛丽是约翰的妻子 与 约翰是玛丽的丈夫 具有一样的真值，二者有一样的意义，只是这两个句子使用了不同的表示出式，它们以不同的方式指向一样的真值。一旦理解了句子的真值条件，这个句子的意义也会随之理解。理解了句子的涵义，并且理解了句子中其他语词的涵义，那么这个句子所引入的新符号的涵义也会被理解。新弗雷格主

19、义者以为，符号的逻辑类型也是符号涵义的一部分，比方 F G 是谓词符号，这种符号类型也是F、G的涵义的一部分。 = 连接两个单称词项，所以 N= 就是一个从概念到单称词项的函数，这当然也是 N= 的涵义的一部分。 F的数 与 G的数 等同的真值条件通过F与G之间有逐一对应给出，于是 F的数与G的数等同 的涵义就被理解了，进而也理解了 N= 。 值得注意的是，新弗雷格主义者强调能够在不知道句子的某些表示出式涵义的前提下可以以理解句子的涵义。这一点与弗雷格在(算术基础中的观点并未冲突。在(算术基础 65，弗雷格明确提出 线a与线b平行 与 线a的方向与线b的方向等同 有一样的涵义。根据弗雷格在(算

20、术基础的观点，句子的涵义依靠于组成句子表示出式的涵义。达米特以为，假如不知道句子中所出现的表示出式的涵义就无法知道句子的涵义。所以 线a的方向与线b的方向等同 的涵义假如被理解就应该预先知道 线a的方向 线b的方向 的涵义。而 线a的方向 线b的方向 的涵义正是要通过定义才确定的，也就是讲这个定义需要构造出这些涵义，而非原来就已经知道道。这正是达米特4强调弗雷格注定失败的地方。假如要应对达米特的批评，必需要修正弗雷格在(算术基础中的观点。 莱特(Wight)5和黑尔(Hale)3都对此有明确的回应。他们都以为定义的作用就是要确定新表示出式的涵义。新表示出式的涵义假如预先就已经知道道，那就没有必

21、要用定义了。黑尔以为弗雷格在(算术基础之后建立的涵义与指称的理论区分了单称词项的涵义与指称，这个理论可以以推广到句子。句子的涵义是思想，理解句子的涵义需要理解句子的真值条件，即句子为真的条件。句子的真值是句子的指称，句子的涵义是指向其指称的方式。句子的涵义或句子所表示出的思想等同于这个句子的真值条件。句子的涵义能够有不同的组合方式，但是最终构成的不同句子能够表示出一样的思想。 以 方向 的抽象原则为例。这个抽象原则断言了等值式左边的句子 直线a的方向=直线b的方向 与等值式右边的句子 直线a平行于直线b 具有一样的真值条件，即具有一样的涵义。通过右边句子的涵义，我们理解了左边句子的涵义。左边句

22、子的句法特征是有等词符号。由于我们理解了 = 的涵义是两个对象的等同，所以等值式左边的句子表示出的是两个对象的等同，而它们等同的真值条件就是右边句子的真值条件。在新弗雷格主义者看来，抽象原则定义的是一个新种类对象。通过抽象原则，能够理解新的种类对象的同一性的条件，进而这种新种类的对象也被理解了。新弗雷格主义在吸收了弗雷格后期的理论之后，重新审视抽象原则，以为休谟原则确实能够定义 基数 这一类的对象。 实际上，隐定义并不仅局限于抽象原则，还有一些隐定义并不具有抽象原则的形式。希尔伯特的以为公理系统本身就界定了初始符号的涵义，但是含有这些初始符号的公理需要诉诸我们对某些对象的直观，所以在弗雷格和新

23、弗雷格主义者看来，这种隐定义还缺乏以解释我们怎样理解被定义项的涵义。在希尔伯特看来，理解这些公理的涵义也是通往理解某些初始符号的涵义之路，这确实也是隐定义。但是这种隐定义需要预设我们对于它们的直观，并且预设某些对象的存在。除了公理这种形式的隐定义，还有其他隐定义的形式。比方在物理理论中对于 电子 等种类概念，可以以通过隐定义来确定其涵义。一般讲来，经历体验科学的隐定义具有这样的形式:x#x #f，华而不实 f 是被定义项， # 是一个母式，其涵义已经知道。这种隐定义通过预设这个公式的真来确定 f 的涵义。这种形式的公式被大卫 刘易斯(David Lewis)称为卡尔纳普条件句6。这个公式作为定

24、义不会由于理论的变迁而被否认。一个经历体验科学理论不妨被看作是某些关于f的基本规律的合取，记作 (#f)，可以能这个句子本身就是#f。随着观察证据的发现，我们的理论可能会出现与观察不协调，即会有结论，那么根据定义，就会得出不存在某种实体。但是定义本身是个条件句，仍可被保存。这个定义从认识论的角度看，是先天的，由于它不接受经历体验的检验。但是经历体验科学理论 (#f)却不是先天的。 回到休谟原则，这个原则与经历体验科学理论的隐定义不同。它的目的不是指出知足 #- 的对象。实际上，仅从这个原则看，它没有承诺任何对象的存在。它只是指出某种对象等同的条件，至于能否存在这种对象，这个定义没有陈述。从这点

25、看，由休谟原则建立的理论不会具有上述经历体验理论的后果，我们不会得出数不存在，因而整个理论是先天的。在我看来，休谟原则作为隐定义最吸引人的地方有两点:(1)不诉诸直观就能够解释 数 的涵义;(2)解释了数学真理的先天性。 但是休谟原则作为隐定义，也有很多哲学上的难题。 三、休谟原则能否是逻辑真理 布鲁斯(Boolos)以为休谟原则只能在无穷模型上真。而逻辑真理应该是 中立的 ，即在任何模型上都真，所以休谟原则不是逻辑真理。假如逻辑真理如布鲁斯所讲，在任何模型上都真，那么休谟原则不是逻辑真理7。但是这里需要澄清两个问题:(1)定义与逻辑真理能否不同;(2)逻辑真理能否就是在所有模型上都真的命题。

26、关于第一个问题，我想弗雷格应该是区分逻辑公理和定义的，定义的目的在于界定新符号的涵义，而逻辑真理已经预设了逻辑常量的涵义。所以即便成认定义不是逻辑真理，对于新逻辑主义也不会构成威胁。在弗雷格看来，逻辑真理是普遍真理。这种普遍性并不是在集合-模型意义上的普遍性。为了理论的方便，一阶逻辑的模型要限制论域非空，如此一阶逻辑也不是逻辑了，由于它只是在非空的模型上才成立。 不可否认的是，从休谟原则和二阶逻辑出发，确实能够断言存在0,1， 这样的可数无穷序列，但是这个结论并不是休谟原则本身断言的，而是从休谟原则加逻辑得出的。新逻辑主义者主张:成认存在这样的数学对象是由于理解了N=这个运算的涵义以及理解了二

27、阶语言的结果，这并不意味着新逻辑主义者需要在预先成认的无穷域中找出一个可数无穷域来知足这个理论5。达米特正是在这种误解的基础上对新逻辑主义者的主张提出的批评。他以为当论域足够大N=才有意义，但是休谟原则却无力告诉我们这样的论域观念是如何得出的。新逻辑主义者强调当N=算子的涵义一旦被理解了，这样的无穷域就会得到成认，而非像达米特所解释的那样是先预设一个无穷域，然后再有N=的意义4。 莱特在多处明确指出:N=仅仅仅是约定关于数相等的陈述句的意义，除了给出这种陈述句的真值条件，并不承当独立的认识论的义务来保证存在对象知足约定的陈述5,8,9。有对象知足N=是从定义和逻辑推出的，但是定义本身无须对这个

28、条件作认识论上的保证。这就像卡尔纳普条件句一样，能否存在#f，不是理论和定义保证的，还依靠于经历体验观察。 四、休谟原则的合理根据 布鲁斯和他的学生赫克(Heck)更关心的是休谟原则的 合理性 ，或者讲休谟原则能够被接受其条件是什么。弗雷格定理是一个数学事实，这当然不是他们争论的焦点;争论的焦点在于为什么要接受休谟原则这条非逻辑公理?戴德金的二阶算术系统也许在某些哲学家那里就已经过于强了，比方有人会反对完好的归纳法等。在二阶算术之下还有很多较弱的算术系统。而休谟原则蕴涵二阶算术，所以布鲁斯和赫克实际上是在质疑新逻辑主义能否给出接受如此强的算术系统的哲学解释。他们以为，新逻辑主义似乎把弗雷格定理

29、作为支持他们哲学立场的证据，二阶算术成了休谟原则合理性的论据，这在认识论上二阶算术就先于休谟原则，而非休谟原则先于二阶算术。 从二阶逻辑看，休谟原则能够推出二阶算术的公理，当然也意味着这个定义在证明上要强于二阶算术的公理。赫克10考虑的问题是:能否有局限于有穷概念的休谟原则能够抵御某些特殊的批评。新逻辑主义者并不认同赫克的这种做法。他们以为赫克的做法是反向的，即先成认某些算术假如是合理的，然后再考虑这样的算术需要如何的抽象原则。新逻辑主义者首先要接受的是休谟原则本身是合理的，由于它能够确定N=的涵义。至于它的指称，新逻辑主义者并不以为这是定义的任务。从莱特的观点看，他并不否认把戴德金-皮阿诺算

30、术理论作为弗雷格算术的前理论。新弗雷格主义的算术哲学的任务是要建立一套哲学理论来解释关于前理论的认识论。这一认识论核心是要解释我们怎样理解 数 。假如一旦数的涵义被理解，那么由 数 所定义的 自然数 继而也被理解。这些定义的真，要求自然数所构成的可数无穷域存在。新弗雷格主义者同样也是坚定的柏拉图主义者，他们以为数不是依靠于我们而独立存在的。二阶算术的真理的证成在认识论上是客观的，但是假如你成认了休谟原则定义的有效性，并且也成认二阶逻辑推理的有效性，那么还有什么理由去反对二阶算术呢? 布鲁斯以为，即便这样，新逻辑主义者仍然无法保证休谟原则的 分析性 11。布鲁斯以为分析真理首先是真理，但是我们怎

31、样保证这样公理系统无矛盾呢?弗雷格的公理V也具有抽象原则的形式，定义了概念的外延，但是这样的定义在二阶逻辑的基础上会导致矛盾。我们怎么保证休谟原则不会导致矛盾呢?假如在将来的某一天，休谟原则被发现也会导致矛盾，那么休谟原则根本谈不上是真理，又怎能断言讲它是分析真理?达米特12也同样表示出了这种批评。达米特以为，假如抽象原则本身是好的解释抽象对象的方式，那么外延公理作为抽象原则的一个特例，它应该对于外延做出好的解释，但是这样系统却导致了矛盾。如今这个问题被称为 良莠不齐(bad company) 问题。达米特以为非直谓的抽象原则并不能保证如此方式认识抽象对象无矛盾。 新逻辑主义者以为一致性是抽象

32、原则必须知足要求。但是这种一致性不必是对象理论所能证明的，而是能够相信这样的系统是一致的。相信系统的一致性并不会毁坏逻辑主义的主张，由于新逻辑主义并不主张一致性能够由逻辑和定义推出。至于达米特的直谓的主张，新逻辑主义者以为，既然弗雷格算术系统是一致的，并不能由于公理V的不一致而否认所有的非直谓的抽象原则。布鲁斯的批评更近一步11，他提出即便一致性也很难保证 休谟原则 的合理性。比方在二阶逻辑的基础上能够加另一条抽象原则(妨害原则NP):任意两个概念F与G，它们是有穷差异不同当且仅当F与G在外延上的差异不同是有穷的。这个抽象原则只能在有穷的模型上可知足。这意味着在二阶逻辑的基础上加上妨害原则是一

33、致的系统，但是这个原则与休谟原则是冲突的，由于休谟原则(假如在选择公理的预设下)只能在无穷的模型上可知足。布鲁斯的问题是，既然这两个抽象原则都是一致的，接受休谟原则就应该有其他理由而不能仅仅仅是一致性这一条理由。莱特曾经指出，一个抽象原则可被接受的必要条件还要是保守的，即原来的理论加上这条原则并不会对原来的本体(原来的本体不应包括抽象原则所引入的新的本体)得出新的结论。莱特以为NP断言了对象域是有穷的，这毁坏了保守性，因而是不能被接受的。 莱特的 保守性 的条件能够陈述为:抽象原则假如可接受，则必须不能对论域的上界有限制9。妨害原则限制了论域不能超越有穷，所以接受这个原则即接受了论域的上界，但

34、是我们没有任何理由成认论域的上界是如此的。然而这样的条件也很快被找到了反例。阿兰 威尔(Alan Weir)13给出了一类受限制的公理V，它们都是保守的，但是对于论域的要求却是不相容的。很自然地，他给出新条件 和平性:假如一个抽象原则是保守的并且与所有其他保守的抽象原则都相容，则这个抽象原则是和平的。威尔证明了和平性与稳定性是等价的。抽象原则的稳定性是:假如一个抽象原则在基数为 的模型上可知足，并且 ，那么这个抽象原则也在基数为 的模型上可知足。然而这个条件也遭到了挑战:林纳玻(Linnebo)14给出不同的抽象原则，它们每一个都是稳定的，但是却不相容。 我以为莱特的保守性的涵义包含:假如我们

35、没有更好的理由接受任何一对矛盾的抽象原则的任何一个，那么这两个抽象原则都是不可接受的。这个涵义能够阻挡林纳波所提出的这些反例。比方一个抽象原则假如断言的是论域的大小是一个后继基数，而另一个抽象原则断言的是极限基数。那么根据保守性的主张，论域的大小究竟是后继基数还是极限基数都没有适宜的理由，那么这样的抽象原则都不可取。 五、结论 新逻辑主义者以为，休谟原则作为隐定义能够解释 基数 以及 有穷基数 的涵义，并且以为这种涵义确实立在认识论上没有其他的负担，比方无须在认识论上保证一定有标准的算术构造来知足休谟原则等等。但是面对 良莠不齐 问题，新逻辑主义者也以为需要在哲学上给出解决 良莠不齐 问题的途

36、径。这种哲学上解决问题的办法是元理论的方式方法，它为抽象原则找到一些可接受的必要条件，比方一致性、保守性、稳定性(或和平性)。或许这些条件仍然缺乏够，但是这并不意味着这样的条件找不到。 另一方面，新逻辑主义者与弗雷格一样，坚持不诉诸直观为算术寻找逻辑的基础。作为抽象原则的隐定义并不能保证如此认识抽象对象的方式是 安全的 ，公理V就是一个例证。但是在人类认识的经过中，有什么是绝对安全呢?新逻辑主义者的主张带有 基础主义 的色彩，但是这种 基础主义 并不是要寻找算术的绝对安全的基础。他们的基础主义与蒯因的经历体验主义构成比照，他们并不认同蒯因的主张，以为逻辑也会被经历体验所修正。他们以为有些最基本

37、的逻辑原则是不会被修正的。至于休谟原则，他们并非要论证它是一个绝对安全的定义，而是相信这个定义不会有矛盾。假如某一天，发现这个原则也会导致矛盾，那么这确实构成了对新逻辑主义的威胁。面对 良莠不齐 问题，新逻辑主义者的做法实际上是在寻找休谟原则的合理根据，固然这个合理根据并非绝对安全的根据。新逻辑主义者所寻找的根据是 向上的 ，即要找到接受抽象原则的普遍条件，这些条件能够讲明休谟原则与公理V、妨害原则等抽象原则的不同。这就需要从更高层次的地方去看所有的抽象原则，进而区分出可接受的抽象原则应该具有什么条件。而这些条件一旦被找到，或许在新逻辑者看来，就构成了最终解释算术基础的 法庭 ，同时这些条件不

38、再被送进 其他法庭 接受审理。 当回头看新逻辑主义者探寻求索算术基础之路时，我们会发现他们的哲学理论是一种基础主义的理论。这种基础主义首先肯定了逻辑是普遍的真理，它的真不会遭到经历体验科学的挑战或修正。其次这种基础主义肯定了定义真理。固然定义本身并不能为其真理性做任何的辩护。因而新逻辑主义者给出了成功定义的标准。面对 良莠不齐问题 的挑战，新逻辑主义需要提供休谟原则为何是成功的定义的理论根据。根据能够总结为两条:一致性和保守性。 人们也许会以为，我们并不是根据休谟原则来认识数的。在弗雷格算术系统之前，或者讲在休谟原则之前， 基数 或者讲 有穷数 的涵义已被理解，否则19世纪之前人们将不会有初等

39、数学。需要注意的是:我们或许在认识休谟原则之前确实认识了数。但是我们并不清楚我们认识数的逻辑基础是什么。新逻辑主义者的休谟原则确实为 数 找到了一个理论解释，就像物理学要为经历体验事实找到一个理论解释一样。理论解释的合理性当然包括它的解释力度，要看它能否解释前理论的现象或者前理论的理论。爱因斯坦曾讲: 一切科学，不管是自然科学还是心理学，其目的都在于使我们的经历体验互相协调，并把它们纳入一个逻辑体系。 15新弗雷格主义的算术理论正是这样一个逻辑体系，它从定义和逻辑规则就能够推出所有基本的算术规律。 所以，弗雷格定理是我们相信休谟原则能够解释 有穷数 的证据。也许你会问:弗雷格算术系统对于 小于

40、等于 关系(ancestral relation)的定义能否就是我们心中原有的 小于等于 关系，对于 有穷数 的定义能否就是我们心中原有的 自然数 ?假如一个公理系统是一致的，但是无法推出弗雷格定理，我们还有什么理由以为这个公理系统的算术公理解释了自然数?在什么意义上，我们才能讲某个公理系统解释了自然数?没有对于自然数的直观作为参照，这个问题无法回答。确实如此。正如上文所讲，新逻辑主义者并不排挤前理论的东西，它们都是建立弗雷格算术理论的素材。 假如你以为数的 小于等于 关系应该知足什么条件，那么验证一下弗雷格算术系统中所定义的这个关系能否也知足这样的条件就能够了。假如你以为你心目中的自然数就是

41、那些知足戴德金-皮阿诺算术公理的对象，那么弗雷格的 有穷数 也是如此。那么这就给出了弗雷格算术系统的合理的理由。 让我们把哥德尔的公理观与逻辑主义的抽象原则的可接受条件做一个比拟。哥德尔曾把数学的基本原理(公理)与自然科学中的基本原理做过比照。他在(康托连续统问题是什么中提出新公理计划，以为在公理集合论的基础上增加新的公理能够回答连续统问题。增加的新公理不是任意的，哥德尔以为新公理的选择应该有两个标准，这两个标准也是新公理为 真 的标准，它们分别是:新公理的内在必然性(the intrinsic necessity)以及新公理的后承丰富性(abundant in their verifiabl

42、e consequences)。他的第二个标准或许在数学实践的经历体验上成为能否接受新公理的可操作的标准。 即便不考虑某一新公理的内在必然性，并且甚至在它根本没有什么内在必然性的情况下，关于它的真理性的概然断定从另一条道路来讲也是可能的，即归纳地研究它的 成功 。这里成功的意思是在推理上的多成果性，十分是在 可验证的 推论上，那就是不用新的公理就能够证实的推论，但依靠新的公理的帮助，这些推论的证明要简单得多和容易发现得多，并且使很多不同的证明有可能压缩成一个证明。 可能存在这样的一些公理，它们的可验证的推论非常丰富，对整个领域给予很多说明，而且产生强有力的解决问题(只要可能，甚至是构造性地解决

43、这些问题)的方式方法以致不管它们能否内在必然，这些公理至少应在和任何公认的物理理论一样的意义上被接受。 16 假如把新逻辑主义者所探寻的抽象原则的可接受的 向上 理由看作是抽象原则的 内在必然性 的话，那么在哥德尔的第二个公理标准并未被新逻辑主义者所忽略。新逻辑主义者成认弗雷格算术理论前的算术。前理论的算术会诉诸直观，但是要建立的算术理论不能诉诸直观，而是要给出理论根据。新逻辑主义者以为，一旦休谟原则被理解了， 基数 的涵义就确定了，而且这个原则加上二阶逻辑就能够推出算术的基本规律。哥德尔的数学哲学思想强调公理也赋予初始概念涵义，只是这种涵义不是完全确定和清楚的，比方某些命题独立于这个系统，也

44、就是讲这个公理系统所确定的涵义缺乏以使我们断定某些独立命题的真假。但是我们对于初始概念会越来越清楚，这也是我们能够扩张原有系统的原因。但是新逻辑主义者和哥德尔不同的是，他们以为公理不能作为定义，其理由和弗雷格批评希尔伯特的理由是一样的。 弗雷格定理只是一个元数学定理，其本身并不是哲学。新逻辑主义者以为这是一个为新弗雷格的算术哲学理论辩护的证据，由于它确实证明了从休谟原则能够推出基本的算术真理。新逻辑主义者在算术哲学上有两个基本的观点:第一数是独立持存的;第二我们对于数是能够认识的，休谟原则作为数的定义能够解释 数 的涵义。休谟原则的哲学意义在新逻辑主义的算术哲学中有重要的价值。新逻辑主义者需要

45、提供一个定义理论，讲明什么是成功的定义，并且他们的定义理论能够解释为何休谟原则是成功的定义。他们定义理论还需要讲明抽象原则所定义出的 数 是实在的。这正是休谟原则的哲学意义所在。 以下为参考文献 1FREGE G. The foundation of arithmeticM. Oxford:Basil Blackwell Press,1968. 2FREGE G. Philosophical and mathematical correspondenceM. Oxford:Basil Blackwell Press,1980:34-43. 3HALE B. Dummett s critique

46、 of Wright s attempt to resuscitate FregeC/HALE B,WRIGHT C. The reason s proper study essays towards a Neo-Fregean philosophy of mathematics. Oxford:Clarendon Press,2001:189-213. 4DUMMETT M. Frege:philosophy of mathematicsM.London:Duckworth Press:167-179. 5WRIGHT C. Response to DummettC/HALE B,WRIGH

47、T C. The reason s proper study essays towards a Neo-Fregean philosophy of mathematics. Oxford:Clarendon Press,2001:256-71. 6HALE B,WRIGHT C. Implicit definition and the a prioriC/HALE B,WRIGHT C. The reason s proper study essays towards a Neo-Fregean philosophy of mathematics.Oxford:Clarendon Press,

48、2001:117-50. 7BOOLOS G. The consistency of Frege s foundations of arithmeticC/BOOLOS G. Logic,logic,and logic. Cambridge:Harvard University Press,1998:183-202. 8WRIGHT C. Is Hume s principle analyticC/HALE B,WRIGHT C. The reason s proper study essays towards a Neo-Fregean philosophy of mathematics.

49、Oxford:Clarendon Press,2001:307-332. 9WRIGHT C. On the philosophical significance of Frege s theoremC/HALE B,WRIGHT C. The reason s proper study essays towards a Neo-Fregean philosophy of mathematics. Oxford:Clarendon Press,2001:272-306. 10HECK R. Frege s theoremM. Oxford:Oxford Clarendon Press,2018:267-297. 11BOOLOS G. Is Hume s pr