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1、 第七章 弯曲的几个补充问题非对称弯曲及非对称弯曲及弯心的概念弯心的概念序 对称截面梁的非对称弯曲 tan=FPzFPytan=wzwy=故为非对称弯曲斜弯曲（力与位移方向不一致）若：序 有关定义l对称弯曲 截面对称l 载荷与挠曲线共面l平面弯曲（一般截面）l 若载荷与挠曲线 共面l 或载荷面与挠曲线面 平行l（对称弯曲正应力公式 可用于平面弯曲）7-1 非对称弯曲非对称弯曲l一）一）非对称截面梁的纯弯曲非对称截面梁的纯弯曲l l1)回忆回忆对称截面梁的纯弯曲对称截面梁的纯弯曲 M y zI=，公式推导几何：物理：静力：回忆对称截面梁的纯弯曲公式推导几何：e=e=yr r=E=E yr r物理
2、：静力A A=N=0 dA Z ZA AA y M =M d=()y yA AA z M =0d=()（a)(b)(c)(d)(e)Mzy一）非对称截面梁的纯弯曲几何：e=e=yr r=E=E yr r物理：静力A AA N=0d=Z ZA AA y M =M d=()y yA AA z M =0d=()（a)(b)(c)(d)2)非对称截面梁（e)纯弯曲因 平面假设仍成立故(a)(b)(c)(e)仍成立问：（d）式成立否？M中性轴中性轴固定端中性轴过形心一）非对称截面梁的纯弯曲y yA AA z M =0d=()(d)？1 1E IE I=MMy y=0=0yzyzz z ()r rI Iy
3、zyzyzyzA A=d dA=0A=0对主惯性轴对主惯性轴I Iyzyz A AyzyzA A=d d 上面分析说明什么？惯性积惯性积条件 若若M位于主惯性轴平面内位于主惯性轴平面内M主惯性轴中性轴固定端？一）非对称截面梁的纯弯曲M主惯性轴中性轴纯弯曲 时 式（d)成立的条件，不一定截 面对称。平面弯曲的必要条件纯弯曲 时仅仅是M主惯性轴中性轴固定端I IyzyzyzyzA A=d dA=0A=0一）非对称截面梁的纯弯曲M主惯性轴结论结论中性轴M主惯性轴中性轴固定端非对称截面纯弯曲梁 如果外力偶与主惯面共面或平行则发生平面弯曲 此时前述正应力公式可用 问：否则如何计算正应力？若外力偶M与主惯
4、面非共面 分解分解 M斜弯曲斜弯曲 试求图示梁最大正应力l非对称非对称横力弯曲时会出现扭转变形时会出现扭转变形l实体杆件横力通过截面形心可忽略扭转实体杆件横力通过截面形心可忽略扭转变形变形l将力沿主惯性轴分解将力沿主惯性轴分解l化为两个化为两个平面弯曲平面弯曲l叠加叠加补充例补充例 题题 一一已知：已知：已知：已知：矩形截面梁截面宽度矩形截面梁截面宽度矩形截面梁截面宽度矩形截面梁截面宽度b b、高度高度高度高度h h、长度长度长度长度l l，外载荷外载荷外载荷外载荷F FP1P1和和和和F FP2P2 求：求：求：求：根部截面上的最大正应力根部截面上的最大正应力根部截面上的最大正应力根部截面上
5、的最大正应力非对称弯曲非对称弯曲 应用举例应用举例参阅习题参阅习题7-37-3补补充充例例 题题 一一A A、B B 二点应力最大二点应力最大二点应力最大二点应力最大MMMM maxmax+=+WWWWy yy yz zz z)maxmax(-=-+MMWWMMWWy yy yz zz z非对称弯曲非对称弯曲 应用举例应用举例？补补充充例例 题题 一一 对于圆截面，对于圆截面，上述公式是否正确上述公式是否正确 思考与讨论关于中性轴的概念关于中性轴的概念关于中性轴的概念关于中性轴的概念中中性性轴轴横横横横截截截截面面面面上上上上正正正正应应应应力力力力为为为为零零零零的的的的点点点点连连连连成成
6、成成的的的的直直直直线线线线7-1 非对称弯曲非对称弯曲 二）非对称截面梁的 横力弯曲 实例发生平面弯曲的条件？二）非对称截面梁的横力弯曲 虽然力过形心二）非对称截面梁的横力弯曲l由此可见由此可见l非对称截面梁的非对称截面梁的横力横力弯曲时，弯曲时，梁不仅梁不仅产生弯曲，而且产生明显的扭转变形。产生弯曲，而且产生明显的扭转变形。l只有横力通过截面上某特定点时只有横力通过截面上某特定点时 l该梁只弯不扭该梁只弯不扭l该特定点该特定点弯曲中心弯曲中心l如何寻求如何寻求弯曲中心弯曲中心？7.2 弯曲中心 及开口薄壁截面杆的剪应力开口薄壁截面杆的剪应力l弯曲中心弯曲中心横力通过截面上某特横力通过截面上
7、某特定点时定点时，该梁只弯不扭。该点即是，该梁只弯不扭。该点即是弯曲中心弯曲中心l确定方法确定方法-分析分析弯曲剪应力弯曲剪应力 弯曲剪应力进一步讨论l仿矩形截面梁仿矩形截面梁弯曲剪应力推导方法弯曲剪应力推导方法s 沿截面宽度方向剪应力均匀分布沿截面宽度方向剪应力均匀分布 在上述前提下，可由平衡直接确定在上述前提下，可由平衡直接确定横截面上的剪应力，而无须应用横截面上的剪应力，而无须应用 “平衡，变形协调和物理关系平衡，变形协调和物理关系”。（或或 ）弯曲剪应力前前 提提s 在有剪力存在的情形下，在有剪力存在的情形下，弯曲正应力公式依然存在弯曲正应力公式依然存在 平衡对象及其受力平衡对象及其受
8、力 弯曲剪应力进一步讨论 平衡对象及其受力平衡对象及其受力 弯曲剪应力 Fx=0+(d x)=0FNx*+d FNx*-FNx*弯曲剪应力+(d x)=0FNx*+d FNx*-FNx*其中其中FNx*xdAA*FNx*+d FNx*=(x+d x)dAA*x=Mz yIz,Sz=ydAA*平衡方程与剪应力表达式平衡方程与剪应力表达式平衡方程与剪应力表达式平衡方程与剪应力表达式平衡方程与剪应力表达式平衡方程与剪应力表达式 =F FQ Q S Szz*I Izz 弯曲剪应力剪应力公式应用剪应力公式应用剪应力公式应用剪应力公式应用-弯曲中心弯曲中心弯曲中心弯曲中心剪剪应应力力流流 弯曲剪应力剪应力
9、公式应用剪应力公式应用剪应力公式应用剪应力公式应用-弯曲中心弯曲中心弯曲中心弯曲中心剪应力流剪应力流 弯曲剪应力剪应力公式应用剪应力公式应用剪应力公式应用剪应力公式应用-弯曲中心弯曲中心弯曲中心弯曲中心合力合力 向向向向形形形形心心心心简简简简化化化化结结结结果果果果 向向弯弯曲曲中中心心简简化化结结果果 弯曲剪应力 结论与讨论结论与讨论力系简化中心的不同选择力系简化中心的不同选择 横向力：横向力：实心截面杆实心截面杆向截面形心形向截面形心形心主轴简化心主轴简化薄壁截面杆薄壁截面杆向弯曲中心和平向弯曲中心和平行于形心主轴的方向简化行于形心主轴的方向简化 结论与讨论结论与讨论力系简化中心的不同选择力系简化中心的不同选择 纵向力：纵向力：实心截面杆与薄壁截面杆实心截面杆与薄壁截面杆都向截面形心和形心主轴简化都向截面形心和形心主轴简化题7.7 确定弯曲中心的位置题7.8 确定弯曲中心的位置