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1、1.平面应力问题平面应力问题 一般不等于0，且只是x、y的函数，而其它应力分量都等于0，所以称平面应力问题。2、平面应变问题、平面应变问题 一般不等于0，且只是x、y的函数，而其它应变分量都等于0，所以称平面应变问题。3.平面问题的基本方程平面问题的基本方程或：第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 例：在平面问题中已知求位移分量。解：由几何方程得：第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 可见：l当形变完全确定时，位移分量不能完全确定；反之，位移分量确定时，形变分量可以完全确定。l上式中，u0,v0是物体沿x，y轴的刚体平移。l如图所示，则是刚体转动的角位移(小量）。简
2、单地说，物体不发生变形时，可以产生刚体位移。第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 2-3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态 令l=cos,m=cos=sinn=lm(y-x)+(l2-m2)xy n=l2x+m2y+2mlxy px=lx+mxy py=lxy+my如图，围绕点取厚度为1的三角板，设斜面长ds，法线与x，y轴夹角分别为，第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 例题：例题：已知点的应力状态如下，试求主应力与主应力的方向，并画图表示。（1）（2）令n=0 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 解：（1）由公式得：第二章第二章
3、平面问题的基本理论平面问题的基本理论（2）121212xy第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 例题2：试证明是一点最大和最小的正应力。证：令则：第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 试用两个主应力表示出任意截面的切应力，并求最大切应力的值。解：解：取 则任意截面上有：所以在 时取得极值：第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 1.应力边界条件：应力边界条件：2-6 边界条件边界条件如图在正面上xy在负面上边界条件边界条件 表示在边界上位移与约束、或应力与面力之间的关系。l可以简单的将面力视为应可以简单的将面力视为应力，力，并按照应力判断符号并按照应力判
4、断符号并按照应力判断符号并按照应力判断符号。第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 在斜面上：在斜面上：如图，已知边界S上任一点的面力 则边界条件为：其中：l、m为边界点处的方向余弦。l利用了平衡的方法l注意面力的符号。l集中力在实际问题中是不存在的，在模型中需要对边界条件作特殊处理。xy第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 2位移边界条件位移边界条件在边界S上有：3混合边界条件混合边界条件在边界S上同时有：如图：第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 1.物体的一部分边界上具有已知位移，因而具有位移边界条件，另一部分边界上则具有已知面力。则两部分边界上分
5、别有应力边界条件和位移边界条件。如图，悬臂梁左端面有位移边界条件：上下面有应力边界条件：右端面有应力边界条件：第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 2.在同一边界上，既有应力边界条件又有位移边界条件。如图齿槽边界（类似于纵向链杆）条件：如图横向链杆支撑边界条件：第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 例1 列出边界条件：第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 写出图中水下坝体的边界条件。第二章第二章 平
6、面问题的基本理论平面问题的基本理论 27 圣维南原理及其应用复习：圣维南原理：复习：圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分量将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计。第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 复习比较下列问题的应力解答：b第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 例 比较下列问题的应力解答：第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 圣维南原理在小边界上的应用：圣维南原理在小边界上的应用：如图，考虑 小边界，精确的应力边界条件第二章第二章 平面问题的基本理论
7、平面问题的基本理论 l上式是函数方程，要求在边界上任一点，应力与面力数值相等，方向一致，往往难以满足（事实上，工程上所给的面力也往往是静力简化后的结果）。(a)在同一边界 上，第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 圣维南原理的应用积分的应力边界条件在小边界x=l上，用下列条件代替式(a)的条件：在同一边界 x=l 上，应力的主矢量 =面力的主矢量 应力的主矩(M)=面力的主矩数值相等方向一致(b)第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 精确的应力边界条件精确的应力边界条件 积分的应力边界条件积分的应力边界条件方程个数
8、方程个数 23方程性质方程性质 函数方程（难满足）函数方程（难满足）代数方程（易满足）代数方程（易满足）精确性精确性精确精确近似近似适用边界适用边界大、小边界大、小边界 小边界小边界两种边界条件的比较两种边界条件的比较第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 2.符号的问题符号的问题即：在当面力主矢量和主矩沿不同方向时，上面即：在当面力主矢量和主矩沿不同方向时，上面（c）式的正负号）式的正负号应力的主矢量的正方向应力的主矢量的正方向，即应力的正方向，即应力的正方向，应力的主矩的正方向应力的主矩的正方向，即（正应力），即（正应力）（正的矩（正的矩臂）的方向。臂）的方向。第二章第二章 平
9、面问题的基本理论平面问题的基本理论 面力的主矢和主矩均沿应力主矢和主矩的正方向，所以面力的主矢和主矩均沿应力主矢和主矩的正方向，所以上式均取正值上式均取正值第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 也可以参照材料力学的结果也可以参照材料力学的结果（1）轴力可以看做是由均布的正应力合成的sxFNxy显然在轴力为拉力时上式取正号。第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 sxxyM（2）弯矩可以看做是由反对称的正应力合成的显然在图中坐标系情况下应取负号。第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 txyFSxy（3）剪力可以看做是由同向的切应力合成的显然剪力沿正面的正向
10、为正。图中情况取正号。可以看出：如果以上边界是梁的两端，其面力和材料力学中轴力、弯矩、剪力正负号是一致的。第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 例：如图，为一矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力P 作用。试写出水坝的边界条件。（设lh）解：（1）下边界：（2）左边界：第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论（3）右边界：（4）用圣维南原理：第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 例：悬臂梁上受线性分布荷载，如图所示。试根据材料力学中x的表达式，用平衡微分方程导出y和xy的表达式。解：平面应力问题则：（1）宽度未知，可以取单位宽度的梁研究，任意截面的弯矩为：第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 代入平衡微分方程：得：（2）利用上下面的边界条件确定f(x)（3）第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 代入 得：由边界条件：第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 思考与练习练习题（P32）：2-8（图2-14）；2-9；2-14；2-15（b）（d）上交作业要求：必须在答疑时间当面交给老师，可以单人交，也可以几个同学做一份作业一块交。上交作业会有加分。所有练习题都会在上课时评讲。