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1、第三节 位移分量的求出,第四节 简支梁受均布荷载,第五节 楔形体受重力和液体压力,例题,第一节 逆解法与半逆解法 多项式解答,第二节 矩形梁的纯弯曲,第三章 平面问题的直角坐标解答,31 逆解法和半逆解法 多项式解法,当体力为常量，按应力函数 求解平面应力问题时， 应满足,按 求解, 多连体中的位移单值条件。 (c), S = 上应力边界条件, A内相容方程,对于单连体，(c)通常是自然满足的。只须满足(a),(b)。,由 求应力的公式是,(d),2 .逆解法 (Inverse method) 先满足(a),再满足(b)。步骤:,(e),逆解法, 先找出满足 的解, 在给定边界形状S下，由式(
2、b)反推出 各边界上的面力，, 代入(d), 求出,从而得出，在面力(e)作用下的解答，就是上述 和应力。,逆解法,逆解法没有针对性，但可以积累基本解答。,例1,逆解法,设图中所示的矩形长梁，l h，试考察应力函数 能解决什么样的受力问题？,y,x,o,l,h/2,h/2,( l h),解：按逆解法。,1. 将 代入相容方程，可见 是满足的。 有可能成为该问题的解。,2. 由 求出应力分量,因此，在 的边界面上，无任何面力作用，即,3. 由边界形状和应力分量反推边界上的面力。,在主要边界（大边界） 上，,在x = 0，l的次要边界（小边界）上，,在x = 0,l 小边界上的面力 如下图中(a)
3、 所示，而其主矢量和主矩如(b)所示。,(a),(b),F,F,M=Fl,由此，可得出结论：上述应力函数可以解决悬臂梁在 x = 0 处受集中力F作用的问题。,F,例3 二次式 ，分别表示常量 的应力和边界面力。如图示。,例2 一次式 对应于无体力， 无面力，无应力状态。故应力函数加减 一次式，不影响应力。,逆解法,2a,2a,o,y,x,o,y,x,o,y,x,b,b,b,b,2c,2c,对于图示1/4圆薄板，试考察应力函数 能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出边界面上的面力分量（弧面上用法向和切向表示）,作 业, 代入 ，解出 ；,3.半逆解法(Semi-inverse met
4、hod) 步骤：,半逆解法, 由应力(d)式，推测 的函数形式；, 假设应力的函数形式（根据受力情况，边界条件等）；,(d), 由式（d），求出应力；,半逆解法, 校核全部应力边界条件（对于多连体， 还须满足位移单值条件）。,如能满足，则为正确解答；否则修改假设，重新求解。,思考题,半逆解法,1. 在单连体中，应力函数必须满足哪些条件？逆解法和半逆解法是如何满足这些条件的？,2. 试比较逆解法和半逆解法的区别。,半逆解法解题的基本步骤,逆解法解题的基本步骤,单连体,3-2 矩形梁的纯弯曲,梁lh1，无体力，只受M作用（力矩/单宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲(Pure bending)问题
5、。,问题提出,h/2,h/2,l,y,x,( l h),o,M,M, 由逆解法得出，可取 ，且满足, 求应力,(a),求解步骤：,本题是平面应力问题,且为单连体，若按 求解， 应满足相容方程及 上的应力边界条件。, 检验应力边界条件，原则是:,边界条件,b.后校核次要边界（小边界），若不能精确满足应力边界条件，则应用圣维南原理，用积分的应力边界条件代替。,a.先校核主要边界（大边界），必须精确满足应力边界条件。,主要边界,从式(a)可见，边界条件(b)均满足。,满足。,次要边界 x=0, l,(c),次要边界,用两个积分的条件代替,的边界条件无法精确满足。,次要边界 x=0, l,当 时，即使
6、在 边界上面力 不同于 的分布，其误差仅影响梁的两端部分上的应力。,式(d)的第一式自然满足，由第二式得出,最终得应力解,(e),如果区域内的平衡微分方程已经满足，且除了最后一个小边界外，其余的应力边界条件也都分别满足。则我们可以推论出，最后一个小边界上的三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）必然是满足的，因此可以不必进行校核。试对此结论加以说明。,思考题,3-3 位移分量的求出,在按应力求解中，若已得出应力，如何求出位移？,以纯弯曲问题为例，已知,试求解其位移。,问题提出,1. 由物理方程求形变,求形变,2. 代入几何方程求位移,求位移, 对式(a)两边乘 积分, 对式(b)两边乘
7、积分 ,求位移, 再代入(c) , 并分开变量，,上式对任意的 x , y 都必须成立，故两边都必须为同一常量 。,求位移,由此解出,求位移,得出位移为,3.待定的刚体位移分量 ，,须由边界约束条件来确定。,由边界约束条件来确定刚体位移分量 ，,Simply supported beam,Cantilever beam,？,？,2.代入几何方程，积分求 ；,归纳：从应力求位移步骤：,3.由边界约束条件确定确定刚体位移分量,由物理方程求出形变；,2. 铅直线的转角 故在任一截面x 处，平面截面假设成立。,纯弯曲问题的讨论：,1. 弯应力 与材料力学的解相同。,3.纵向纤维的曲率 同材料力学的结
8、果。故在纯弯曲情况下，弹性力学解与材料力 学解相同。,思考题,2. 试证明刚体位移 实际上表示弹性体中 原点的平移和转动分量，并应用本节的解答加以 验证。 提示：微分体的转动分量为,弹性力学中关于纯弯曲梁的解答，与材料力学 的解答在应力、形变等方面完全 一致。由此 是否可以说在纯弯曲情况下材料力学中的平截 面假设成立？,3-4 简支梁受均布荷载,简支梁 ，受均布荷载 及两端支撑反力 。,。,问题,y,x,o,l,l,h/2,h/2,现采用此假设。,按半逆解法求解。, 假设应力分量。由材料力学,因为,因为,所以，可假设,所以，可假设,因为,所以，可假设,y,x,o,l,l, 由应力分量推出应力函
9、数的形式。,由,对 x 积分，,对x再积分，,(a),半逆解法, 将 代入相容方程，求解 :,相容方程对于任何 均应满足,故,的系数均应等于0，由此得三个常微分方程。,半逆解法,式(b)中已略去对于 的一次式。,将式(b)代入式(a)，即得 。,(b),半逆解法,解出:,对称性条件由于结构和荷载对称于 轴，故 应为 的偶函数， 为 x的奇函数，故 。, 由 求应力。,半逆解法,在无体力下，应力公式如书中式( f ), (g),(h)所示。,y,x,o,l,l, 考察边界条件。,由此解出系数A , B , C , D 。,主要边界,主要边界,y,x,o,l,l,次要边界,次要边界,由此解出H，K
10、.,另一次要边界(x= -l )的条件，自然满足。,应用圣维南原理，列出三个积分条件，,y,x,o,l,l,不满足,最后应力解答：,应力,应力的量级 当 时, x l 同阶， y h 同阶.,第一项 同阶,（与材料力学解同）;,第二项 同阶, （弹性力学的修正项）,应力的量级,应力的量级 当 时, x l 同阶， y h 同阶.,同阶, （与材料力学解同）,应力的量级,同阶, （材料力学中不计）,当 时, 量级的值很小,可以不计。,应力与材料力学解比较:,最主要量级 , 和次要量级 ,在材料力学中均已反映，且与弹性力学相同。,最小量级 , 在材料力学中没有。,当 时, 仅占主项 的1/15 (
11、 6 %) ,应力比较,中的弹性力学修正项：,弹性力学与材料力学的解法比较:,应力比较,弹性力学严格考虑并满足了A内的平衡微分方程 ,几何方程和物理方程,以及S上的所有边界条件(在小边界上尽管应用了圣维南原理,但只影响小边界附近的局部区域)。,材料力学在许多方面都作了近似处理,所以得出的是近似解答。,几何条件中引用平截面假定 沿 为直线分布；,例如：,边界条件也没有严格考虑；,平衡条件中没有考虑微分体的平衡，只 考虑 的内力平衡；,材料力学解往往不满足相容条件。,对于杆件，材料力学解法及解答具有足够的精度；,对于非杆件，不能用材料力学解法求解，应采用弹性力学解法求解。,当问题中的y轴为对称轴时
12、，试说明 和 应为x的偶函数，而 应为x的奇函数。,思考题,对于梁的弯曲问题，试回忆在材料力学 中是如何考虑平衡条件的？,3. 试说明从弹性力学得出的解答（3-6）不 符合平面截面假设。,4. 材料力学的解答往往不满足相容条件， 为什么？,3-5 楔形体受重力及液体压力,设有楔形体，左面垂直，顶角为，下端无限长，受重力及齐顶液体压力。,o,y,x,n,用半逆解法求解。,因为应力 , 而应力的量纲只比,高一次（L），,所以应力,(x , y 一次式）,=,即可假设应力为x , y 的一次式。,（1）用量纲分析法假设应力:,（2）由应力 关系式， 应为x,y的三次式，,（3） 满足相容方程,（4）
13、由 求应力，,（5）考察边界条件-本题只有两个大边 界，均应严格满足应力边界条件。,x=0 铅直面，,解出,解出,斜边界上，,须按一般的应力边界条件来表示，有,其中,由式（b)解出a、b,最后的应力解答,应力,水平截面上的应力分布如图所示。,楔形体解答的应用: 作为重力坝的参考解答； 分缝重力坝接近平面应力问题； 在坝体中部的应力，接近楔形体的解答。 重力坝规范规定的解法 材料力学解法（重力法）. 重力坝的精确分析，可按有限单元法进行。,思考题,重力法是按应力求解的，试回忆应力分量 必须满足哪些条件？在重力法中考虑了哪些条件？,第三章例题,例题1,例题2,例题3,例题4,例题8,例题7,例题6
14、,例题5,图3-5,y,dy,y,x,l,h/2,h/2,o,例题1,设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，体力可以不计,图3-5，试用应力函数 求解应力分量。,解：,本题是较典型的例题，已经给出了应力函数 ，可按下列步骤求解。,1. 将 代入相容方程，显然是满足的。,2. 将 代入式(2-24)，求出应力分量。,考察边界条件： 主要边界 上应精确满足式(2-15),在次要边界x=0上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的边界条件代替。注意x=0是负x面，图3-5中表示了负x面上的 的正方向，由此得：,由(a),(b) 解出,最后一个次要边界条件(x=l上)，在平
15、衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，是必然满足的，故不必再校核。,代入应力公式，得,例题2,挡水墙的密度为 ，厚度为b,图示,水的密度为 ，试求应力分量。,解：,用半逆解法求解。,假设应力分量的函数形式。 因为在 y=-b/2边界上， y=b/2 边界上， ，所以可假设在区域内 沿x 向 也是一次式变化，即,2. 按应力函数的形式，由 推测 的形式，,所以,3. 由相容方程求应力函数。代入 得,要使上式在任意的x处都成立，必须,代入 ，即得应力函数的解答，其中已略去了与应力无关的一次式。,4. 由应力函数求解应力分量。将 代入式(2-24) ,注意 ， 体力求得应力分量为,考察边界条件：
16、 主要边界 上,有,得,得,得,由上式得到,求解各系数，由,得,得,得,得,由此得,又有,代入A,得,在次要边界（小边界）x=0上，列出三个积分的边界条件：,由式(g),(h)解出,代入应力分量的表达式得最后的应力解答：,例题3,已知,试问它们能否作为平面问题的应力函数？,解：,作为应力函数，必须首先满足相容方程，,将 代入，,(a) 其中A= 0，才可能成为应力函数；,(b)必须满足 3(A+E)+C=0,才可能成为应力函数。,图中所示的矩形截面柱体，在顶部受有集中力F和力矩 的作用，试用应力函数,例题4,求解图示问题的应力及位移，设在A点的位移和转角均为零。,解：,应用应力函数求解：,(1
17、) 校核 相容方程 ，满足.,(2) 求应力分量 ，在无体力时，得,(3) 考察主要边界条件，,均已满足,考察次要边界条件，在y=0上，,满足。,得,得,上述应力已满足了 和全部边界条件，因而是上述问题的解。,代入，得应力的解答，,(4) 求应变分量，,(5) 求位移分量，,将u,v代入几何方程的第三式，,两边分离变量，并全都等于 常数，即,从上式分别积分，求出,代入u,v, 得,再由刚体约束条件，,得,得,得,代入u,v,得到位移分量的解答,在顶点x=y=0，,例题5,图中矩形截面的简支梁上，作用有三角形分布荷载。试用下列应力函数,求解应力分量。,解：应用上述应力函数求解：,(1) 将 代入
18、相容方程，,由此，,(2) 代入应力公式，在无体力下，得,(3) 考察主要边界条件,对于任意的x值，上式均满足，由此得,(a),(b),(c),(d),由(3)+(4)得,由(3)-(4)得,由(5)-(1)得,(e),(4) 考察小边界上的边界条件(x=0),由,得,由式(2)和(6)解出,（f）,另两个积分的边界条件，,显然是满足的。,于是将各系数代入应力表达式，得最后的应力解答。,读者试校核在x=l的小边界上，下列条件是满足的，,例题6,矩形截面的柱体受到顶部的集中力 和力矩M的作用，不计体力，试用应力函数,求解其应力分量。,M,q,q,h,y,x,o,b/2,b/2,解：应用上述应力函数求解：,(1) 代入相容方程，,(2) 求应力分量，在无体力下，,考察边界条件，在主要边界,在小边界（ x= 0）,再由(a),(b)式解出,代入，得应力解答，,例题7,试用应力函数 求解图中所示的半无限平面体在 的边界上受均布压力q的问题。,解：应校核相容方程和边界条件，若这些 量均满足，则可以求出其应力分量。,本题得出的应力解答是,例题8,试用应力函数 求解图中所示的半平面体在 的边界上受均布切力q的问题。,解：应校核相容方程和边界条件，若这些 量均满足，则可以求出其应力分量。,本题得出的应力解答是,