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1、一、二次函数的定义一、二次函数的定义l定义定义：一般地，形如：一般地，形如y=axbxc（a、b、c是常数，是常数，a0）的函数叫做）的函数叫做_.l定义定义要点要点：a0最高次数为最高次数为2l代数式一定是整式代数式一定是整式l练习练习：1、y=-x，y=2x-2/x，y=100-5x，y=3x-2x+5,其中是二次函数的有其中是二次函数的有_个。个。2.当当m_时时,函数函数y=(m+1)-2+1 是二次函数？是二次函数？33、下列函数中哪些是一次函数，哪些是二次下列函数中哪些是一次函数，哪些是二次下列函数中哪些是一次函数，哪些是二次下列函数中哪些是一次函数，哪些是二次函数？函数？函数？函
2、数？巩固一下吧！巩固一下吧！1，函数，函数（其中（其中a、b、c为常数），为常数），当当a、b、c满足什么条件时，满足什么条件时，（1）它是二次函数；）它是二次函数；（2）它是一次函数；）它是一次函数；（3）它是正比例函数；）它是正比例函数；当当时，是二次函数；时，是二次函数；当当时，是一次函数；时，是一次函数；当当时，是正比例函数；时，是正比例函数；驶向胜利的彼岸驶向胜利的彼岸2，函数，函数当当m取何值时，取何值时，（1）它是二次函数？）它是二次函数？（2）它是反比例函数？）它是反比例函数？（1）若是二次函数，则）若是二次函数，则且且当当时，是二次函数。时，是二次函数。（2）若是反比例函数，
3、则）若是反比例函数，则且且当当时，是反比例函数。时，是反比例函数。小结：小结：1.1.二次函数二次函数y=axy=ax+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c是常数是常数,a0),a0)的几的几种种不同表示形式不同表示形式:(1)y=ax (1)y=ax(a0,b=0,c=0,).(a0,b=0,c=0,).(2)y=ax (2)y=ax+c(a0,b=0,c0).+c(a0,b=0,c0).(3)y=ax (3)y=ax+bx(a0,b0,c=0).+bx(a0,b0,c=0).（4)y=a(x-h)2(a0)(5)y=a(x-h)2+k(a0)2.2.定义的实质是：定义的实质是：axa
4、x+bx+c+bx+c是整式是整式,自变量自变量x x的最的最高次数是二次高次数是二次,自变量自变量x x的取值范围是全体实数的取值范围是全体实数.各种形式的特各种形式的特征征二、二次函数的图象及性质二、二次函数的图象及性质抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0,开口向上开口向上a0a0a0a0当当时时,y=0当当时时,y0 x3x=-2或或x=3-2x0向下向下ao负半轴负半轴c0，过原点，过原点c=0.-与与1比较比较-与与-1比较比较与与x轴交点
5、个数轴交点个数令令x=1，看纵坐标，看纵坐标令令x=-1，看纵坐标，看纵坐标令令x=2，看纵坐标，看纵坐标令令x=-2，看纵坐标，看纵坐标四、有关四、有关a，b，c及及b2-4ac符号的确定符号的确定快速回答：快速回答：抛物线抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定如图所示，试确定a、b、c、的的符号：符号：xoy抛物线抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定如图所示，试确定a、b、c、的的符号：符号：xyo快速回答：快速回答：抛物线抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定如图所示，试确定a、b、c、的的符号：符号：xyo快速回答：快速回答：抛物线抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确
6、定如图所示，试确定a、b、c、的的符号：符号：xyo快速回答：快速回答：抛物线抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定如图所示，试确定a、b、c、的的符号：符号：xyo快速回答：快速回答：典型例题1.如如图图,是是抛抛物物线线y=ax2+bx+c的的图图像像，则则a0;b0;c0;a+b+c0;a-b+c0;b2-4ac0;2a-b0;=典型例题典型例题2.已知已知a0，c0，那么抛物线，那么抛物线y=ax2+bx+c的顶点在（的顶点在（）A.第一象限第一象限B.第二象限第二象限C.第三象限第三象限D.第四象限第四象限A1.(河河北北省省)在在同同一一直直角角坐坐标标系系中中，一一次次函函数
7、数y=ax+c和二次函数和二次函数y=ax2+c的图像大致为的图像大致为()B2.(山西省山西省)二次函数二次函数y=x2+bx+c的图像如图所示，则函数值的图像如图所示，则函数值y0时，对应的时，对应的x取值范围取值范围是是.-3x1.-3-3-3-3点击中考点击中考:3、已知二次函数、已知二次函数y=ax2+bx+c的的图像如图所示，下列结论：图像如图所示，下列结论：a+b+c0，a-b+c0；abc0；b=2a中正确个数为中正确个数为()A.4个个B.3个个C.2个个D.1个个A4、无论、无论m为任何实数，二次函数为任何实数，二次函数y=x2-(2-m)x+m的图像总是过点的图像总是过点
8、()A.(1，3)B.(1，0)C.(-1，3)D.(-1，0)C当当x=1x=1时时,y=,y=a+b+ca+b+c当当x=-1x=-1时时,y=a-,y=a-b+cb+ca0,b0 x=-1D5 5.(.(安徽安徽)二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，则下列的图像如图，则下列a、b、c间的关系判断正确的是间的关系判断正确的是()A.ab0B.bc0D.a-b+c00的的 解为解为 ()()A.xA.x B.xB.x C.xC.x D.xD.x Da0,b0,c0a0,b0D7、若抛物线、若抛物线y=ax2+3x+1与与x轴有两轴有两个交点，则个交点，则a的取值范围是的取值范围是
9、()A.a0B.aC.aD.a且且a01、已知抛物线、已知抛物线yx-mx+m-1.(1)若抛物线经过坐标系原点，则若抛物线经过坐标系原点，则m_；=1(2)若抛物线与若抛物线与y轴交于正半轴，则轴交于正半轴，则m_；(3)若抛物线的对称轴为若抛物线的对称轴为y轴，则轴，则m_。(4)若抛物线与若抛物线与x轴只有一个交点，则轴只有一个交点，则m_.1=2=0练习：练习：练习：练习：2、已知二次函数的图象如图所示，下列结论：、已知二次函数的图象如图所示，下列结论：a+b+c=0a-b+c0abc0b=2a其中正确的结论的个数是（其中正确的结论的个数是（）A1个个B2个个C3个个D4个个Dx-11
10、0y要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方向，对称轴，顶点的位置，抛物线与向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、轴、y轴的轴的交点的位置，注意运用数形结合的思想。交点的位置，注意运用数形结合的思想。（2）二次函数的图象如图所示，则在下列各不等式二次函数的图象如图所示，则在下列各不等式中成立的个数是中成立的个数是_1-10 xyabc0a+b+cb2a+b=0=b-4ac0结论结论:一般地一般地,抛物线抛物线y=a(x-h)2+k与与y=ax2形状相同形状相同,位置不同。位置不同。五、二次函数抛物线的平移五、二次函数抛物线的平移温馨提示：温馨提示：二
11、次函数图象二次函数图象间的平移，可间的平移，可看作是顶点间看作是顶点间的平移，因此的平移，因此只要掌握了顶只要掌握了顶点是如何平移点是如何平移的，就掌握了的，就掌握了二次函数图象二次函数图象间的平移间的平移.0224-2-4-24262x xy yy=xy=x2 2-1-1y=xy=x2 2y=xy=x2 2向下向下平移平移 1 1个单位个单位y=xy=x2 2-1-1向向左左平移平移 2 2个单位个单位y=(x+2)y=(x+2)2 2y=(x+2)y=(x+2)2 2y=(x+2)y=(x+2)2 2-1-1(0,0)(0,0)(-2,-1)(-2,-1)y=(x+2)y=(x+2)2 2
12、-1-1 上上下下左左右右平平移移抓抓住住 顶顶点点的的变变化化例：例：例：例：平移法则：平移法则：左加右减，上加下减左加右减，上加下减练习练习二次函数二次函数y=2x2的图象向的图象向平移平移个单位可得个单位可得到到y=2x2-3的图象；的图象；二次函数二次函数y=2x2的图象向的图象向平移平移个单位可得到个单位可得到y=2(x-3)2的图象。的图象。二次函数二次函数y=2x2的图象先向的图象先向平移平移个单位，个单位，再向再向平移平移个单位可得到函数个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的图的图象。象。下下3右右3左左1上上2引申：引申：y=2(x+3)2-4y=2(x+1)2+2（3）由
13、二次函数）由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以的图象经过如何平移可以得到函数得到函数y=x2-5x+6的图象的图象.y=x2-5x+6 y=x2（4）将二次函数）将二次函数y=2x2的图像向右平移的图像向右平移3个单位后个单位后得到函数得到函数 的图像，其对称轴是的图像，其对称轴是 ，顶点是，顶点是 ，当，当x_ 时，时，y随随x的增大而增大；当的增大而增大；当x 时，时，y随随x的增大而减小的增大而减小.（5）将二次函数）将二次函数y=-3（x-2）2的图像向左平移的图像向左平移3个个单位后得到函数单位后得到函数 的图像，其顶点坐的图像，其顶点坐标是标是 ，对称轴是，对称轴是 ，当，当x
14、=_ 时，时，y有最有最 值，是值，是 .y=2(x-3)2直线直线x=3(3，0)33y=-3(x+1)2(-1，0)直线直线x=-1-1大大0（6）将抛物线）将抛物线y=2x23先向上平移先向上平移3单位，就得单位，就得到函数到函数 的图象，再向的图象，再向 平移平移_ 个单位得到函数个单位得到函数y=2（x-3）2的图象的图象.y=2x2右右3（7）函数）函数y=3x2+5与与y=3x2的图象的不同之处的图象的不同之处是是()A.对称轴对称轴B.开口方向开口方向C.顶点顶点D.形状形状4.已知抛物线已知抛物线y=2x21上有两点上有两点(x1，y1),(x2，y2)且且x1x20，则，则
15、y1y2(填填“”或或“”)C(0,0)(0,0)(h,k)(h,k)上下左右平移上下左右平移抓住抓住顶点顶点的变化的变化!抛物线抛物线y=axy=ax2 2 y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k记住：记住：记住：记住：六、二次函数与一元二次方程的关系六、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程根的情况与一元二次方程根的情况与b-4ac的关系的关系l我们知道我们知道:代数式代数式b2-4ac对于方程的根起着关键对于方程的根起着关键的作用的作用.归纳如下：归纳如下：判别式：判别式：b b2 2-4ac-4ac二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0a0）图象图象
16、一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0（a0a0）的根）的根x xy yO O与与x x轴有两个不轴有两个不同的交点同的交点（x x1 1，0 0）（x x2 2，0 0）有两个不同的有两个不同的解解x=xx=x1 1，x=xx=x2 2b b2 2-4ac-4ac0 0 x xy yO O与与x x轴有唯一个轴有唯一个交点交点有两个相等的有两个相等的解解x1=x2=b b2 2-4ac=0-4ac=0 xyO与与x x轴没有轴没有交点交点没有实数根没有实数根b b2 2-4ac-4ac0 0例：已知二次函数例：已知二次函数y=2x2-(m+1)x+m-1(1)求证
17、：无论求证：无论m为何值，函数为何值，函数y的图像与的图像与x轴总有交轴总有交点，并指出当点，并指出当m为何值时，只有一个交点。为何值时，只有一个交点。（2）当）当m为何值时，函数为何值时，函数y的图像经过原点。的图像经过原点。（3）指出（）指出（2）的图像中，使）的图像中，使y0时，时，x的取的取值范围及使值范围及使y0时，时，x的取值范围的取值范围2、求抛物线求抛物线与与y y轴的交点坐标轴的交点坐标;与与x x轴的两个交点间的距离轴的两个交点间的距离.x取何值时，取何值时，y y0?0?1 1、不论、不论x x为何值时，函数为何值时，函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0a
18、0）的值永远为正的条件是的值永远为正的条件是_ _a0,b-4ac0-316(-1,8)-1练习练习3 3、(1)(1)如果关于如果关于x x的一元二次方程的一元二次方程 x x2 2-2x+m-2x+m=0=0有两个相等的有两个相等的实数根实数根,则则m=m=,此时抛物线此时抛物线 y=xy=x2 2-2x+m-2x+m与与x x轴有轴有个交点个交点.(2)(2)已知抛物线已知抛物线 y=xy=x2 2 8x+c 8x+c的顶点在的顶点在 x x轴上轴上,则则c=c=.11164.如图如图,抛物线抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线的对称轴是直线x=-1,由由图象知图象知,关于关于x的方
19、程的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是的两个根分别是x1=1.3,x2=5.已知抛物线已知抛物线y=kx2-7x-7的图象和的图象和x轴有交点，则轴有交点，则k的取值范围（的取值范围（）-3.3BK0b2-4ac02.2.若若a+b+c=0,aa+b+c=0,a 0,0,把抛物线把抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c向下平移向下平移 4 4个单位个单位,再向左平移再向左平移5 5个单位所到的新抛物线的个单位所到的新抛物线的 顶点是顶点是(-2,0),(-2,0),求原抛物线的解析式求原抛物线的解析式.分析分析:(1)(1)由由a+b+c=0a+b+c=0可知可知,原抛物线的图象
20、经过原抛物线的图象经过(1,0)(1,0)(2)(2)新抛物线向右平移新抛物线向右平移5 5个单位个单位,再向上平移再向上平移4 4个单位即得原抛物线个单位即得原抛物线答案答案:y=-x:y=-x2 2+6x-5+6x-5八、二次函数在实际生活中的应用：八、二次函数在实际生活中的应用：同学们，今天就让我们同学们，今天就让我们一起去体会生活中的数一起去体会生活中的数学给我们带来的乐趣吧！学给我们带来的乐趣吧！（一）何时获得最大利润？（一）何时获得最大利润？问题：问题：已知某商品的已知某商品的进价进价为每件为每件4040元。现在元。现在的的售价售价是每件是每件6060元，每星期可卖出元，每星期可卖
21、出300300件。件。市场调查反映：如调整价格市场调查反映：如调整价格，每，每涨价涨价一元，一元，每星期要每星期要少卖少卖出出1010件；件；每每降价降价一元，每星期一元，每星期可可多卖多卖出出2020件。如何定价才能使件。如何定价才能使利润最大利润最大？先来看涨价的情况先来看涨价的情况:设每件涨价设每件涨价x元元,则每星期售出商品则每星期售出商品的利润的利润y也随之变化也随之变化,我们先来确定我们先来确定y与与x的函数关系式的函数关系式.涨涨价价x元时元时,则每件的利润为则每件的利润为元元,每星期少卖每星期少卖件件,实际卖出实际卖出件件,因此因此,所得利润为所得利润为元元.分析分析:价格包括
22、涨价和降价两种价格包括涨价和降价两种情况情况:(X+20)10 x(300-10 x)Y=（X+20)(300-10 x)解：设每件涨价为解：设每件涨价为x元时获得的总利润为元时获得的总利润为y元元.y=(60-40+x)(300-10 x)=(20+x)(300-10 x)=-10 x2+100 x+6000 =-10(x2-10 x)+6000 =-10(x-5)2-25+6000 =-10(x-5)2+6250当当x=5时，时，y的最大值是的最大值是6250.定价定价:60+5=65（元）（元）(0 x30)怎样确定x的取值范围解解:设每件降价设每件降价x元时的总利润为元时的总利润为y元
23、元.y=(60-40-x)(300+20 x)=(20-x)(300+20 x)=-20 x2+100 x+6000=-20（x2-5x-300）=-20（x-2.5）2+6125（0 x20）所以定价为所以定价为60-2.5=57.5时利润最大时利润最大,最大值为最大值为6125元元.答答:综合以上两种情况，定价为综合以上两种情况，定价为65元时可元时可 获得最大利润为获得最大利润为6250元元.由由(2)(3)的讨论及现在的销的讨论及现在的销售情况售情况,你知道应该如何定你知道应该如何定价能使利润最大了吗价能使利润最大了吗?怎样确定x的取值范围（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量）列出
24、二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；的实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。通过配方求出二次函数的最大值或最小值。特别注意：特别注意：若顶点横坐标若顶点横坐标在自变量的取值范在自变量的取值范围内围内，则顶点纵坐标就是最值；若顶点，则顶点纵坐标就是最值；若顶点横坐横坐标不在自变量标不在自变量的取值范围内，则要根据二次的取值范围内，则要根据二次函数的增减性来确定最值。函数的增减性来确定最值。w 某商店购进一批单价为某商店购进一批单价为2020元的日用品元的日用品,
25、如果以单价如果以单价3030元销售元销售,那么半个月内可以售出那么半个月内可以售出400400件件.根据销售经验根据销售经验,提提高单价会导致销售量的减少高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高即销售单价每提高1 1元元,销售销售量相应减少量相应减少2020件件.售价售价提高多少元时提高多少元时,才能在半个月内获才能在半个月内获得最大利润得最大利润?解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则 y=(x+30-20)(400-20 x)=-20 x2+200 x+4000 =-20(x-5)2+4500 当x=5时，y最大=4500 答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元我来
26、当老板举一反三宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首页页1 1、星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃、星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为园，其中一边靠墙，另外三边用长为3030米的篱笆围成已米的篱笆围成已知墙长为知墙长为1818米米(如图所示如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为的长为x x米米(1)(1)若平行于墙的一边的长为若平行于墙的一边的长为y y米，直接写出米，直接写出y y与与x x之间的函之间的函数关系式及其自变量数关系式及其自变量x x的取值范围的取值范围（二）面积最大问题：（二）面积最大
27、问题：举一反三宇轩图书宇轩图书上一页上一页下一页下一页首首页页(2)(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大？并求出这个最大值的面积最大？并求出这个最大值(3)(3)当这个苗圃园的面积不小于当这个苗圃园的面积不小于8888平方米时，试结平方米时，试结合函数图象，直接写出合函数图象，直接写出x x的取值范围的取值范围答案：答案：(1)y(1)y30302x(6x2x(6x15)15)(2)(2)当矩形苗圃当矩形苗圃园垂直于墙的边长为园垂直于墙的边长为7.57.5米时，这个苗圃面积最大，米时，这个苗圃面积最大，最大值为最大值为112.5112
28、.5平方米平方米(3)6x11(3)6x11y0 x51015202530123457891o-162 2、(1)(1)请用长请用长2020米的篱笆设计一个矩形的菜园。米的篱笆设计一个矩形的菜园。(2)(2)怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？ABCDxy(0 x4.（2）卡车可以通过）卡车可以通过.提示：当提示：当x=2时，时，y=3,324.13131313O（55）投篮与二次函数）投篮与二次函数）投篮与二次函数）投篮与二次函数创设情境，导入新课 （2 2）你你们们知知道道：投投篮篮时时，篮篮球球运运动动的的路路线线是是什什么么曲曲线线？怎怎样样计计算算篮篮
29、球球达达到到最高点时的高度？最高点时的高度？（1 1）你们喜欢打篮球吗？你们喜欢打篮球吗？问题：问题：请同学们仔细看姚明投篮时篮球经过的路线请同学们仔细看姚明投篮时篮球经过的路线请同学们仔细看姚明投篮时篮球经过的路线请同学们仔细看姚明投篮时篮球经过的路线请同学们仔细看姚明投篮时篮球经过的路线请同学们仔细看姚明投篮时篮球经过的路线请同学们仔细看姚明投篮时篮球经过的路线请同学们仔细看姚明投篮时篮球经过的路线请同学们仔细看姚明投篮时篮球经过的路线1 1、一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离、一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高地面高 米，与篮圈中心的水平距离为米，与篮圈中心的水平距
30、离为8 8米，当球米，当球出手后水平距离为出手后水平距离为4 4米时到达最大高度米时到达最大高度4 4米，设篮米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3 3米。米。问此球能否投中？问此球能否投中？3米8米4米4米0 xy8（4，4）如图，建立平面如图，建立平面直角坐标直角坐标系，点（系，点（4，4）是图中这段）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数为：段抛物线对应的函数为：(0 x8)(0 x8)篮圈中心距离地面篮圈中心距离地面3米米此球不能投中此球不能投中若假设出手的角度和力度都不变若假设出手的角度和力度都不变
31、,则则如何才能使此球命中如何才能使此球命中?（1）跳得高一点）跳得高一点（2）向前平移一点）向前平移一点yx（4，4）（8，3）在出手角度和力度都不变的情况下在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度小明的出手高度为多少时能将篮球投入篮圈为多少时能将篮球投入篮圈?0 1 2 3 4 5 6 7 8 9yX（8，3）（5，4）（4，4）0 1 2 3 4 5 6 7 8 9在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投入篮圈？入篮圈？(，），）(0,1.6
32、)(0,1.6)2、中考题）、中考题）推推铅铅球的出手高度球的出手高度为为,在如在如图图求求k的的值值所示的直角坐标系中，铅球的运行路线近似为抛物所示的直角坐标系中，铅球的运行路线近似为抛物线线xyO求求铅铅球的落点与丁丁球的落点与丁丁 的距离的距离一个一个1.5m的小朋友跑到的小朋友跑到离原点离原点6米的地方米的地方(如图如图)，他会受到伤害吗？他会受到伤害吗？求求k的的值值xyO解：解：解：由图像可知，抛物解：由图像可知，抛物线过点线过点(0,1.6)即当即当x=0时，时，y=1.61.6=-0.1k+2.5K=3又因为对称轴是在又因为对称轴是在y轴的轴的右侧，右侧，即即x=k0所以，所以
33、，k=32-0.1(x-3)+2.5=0-0.1(x-3)+2.5=0解之得，解之得，x=8,x=-2x=8,x=-2所以，所以，OB=8OB=8故故铅球的落点与丁丁的距离铅球的落点与丁丁的距离是是8米。米。221当当x=6时，时，y=-0.1(6-3)+2.5 =1.621.5所以，这个小朋友不所以，这个小朋友不会受到伤害。会受到伤害。BB 3、如图，一单杠高如图，一单杠高2.2米，两立柱米，两立柱之间的距离为之间的距离为1.6米，将一根绳子的米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状。自然下垂呈抛物线状。一身高一身高0.70.7米米的小孩
34、站在离立柱的小孩站在离立柱0.40.4米处，其头部米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离。面的距离。ABCD0.71.62.20.4EFOxy 3、如图，一单杠高如图，一单杠高2.2米，两立柱米，两立柱之间的距离为之间的距离为1.6米，将一根绳子的米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状。自然下垂呈抛物线状。一身高一身高0.70.7米米的小孩站在离立柱的小孩站在离立柱0.40.4米处，其头部米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离。面的距离。ABCD0.71.
35、62.20.4EFOxy 3、如图，一单杠高如图，一单杠高2.2米，两立柱米，两立柱之间的距离为之间的距离为1.6米，将一根绳子的米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状。自然下垂呈抛物线状。一身高一身高0.70.7米米的小孩站在离立柱的小孩站在离立柱0.40.4米处，其头部米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离。面的距离。ABCD0.71.62.20.4EFOxyABCD0.71.62.20.4EF解解：如图，：如图，所以，绳子最低点到地面所以，绳子最低点到地面的距离为的距离为0.2米米.Oxy以
36、以CD所在的直线为所在的直线为X轴，轴，CD的中垂线为的中垂线为Y轴建立轴建立直角坐标系，直角坐标系，则则B（0.8,2.2），），F（-0.4,0.7）设设y=ax+k,从而有从而有0.64a+k=2.20.16a+k=0.72解得：解得：a=K=0.2258所以，所以，y=x+0.2顶点顶点E（0,0.2）2258 用抛物线的知识解决运动场上或者生用抛物线的知识解决运动场上或者生活中的一些实际问题的一般步骤：活中的一些实际问题的一般步骤：建立直角坐标系建立直角坐标系二次函数二次函数 问题求解问题求解找出实际问题的答案找出实际问题的答案生活是数学生活是数学的源泉，探的源泉，探索是数学的索是数
37、学的生命线生命线.二次函数经典习二次函数经典习题课题课二次函数考点1、二次函数的定义2、二次函数的图像及性质3、求解析式的三种方法4、a，b，c符号的确定5、抛物线的平移法则6二次函数与一元二次方程的关系7二次函数的综合运用1、二次函数的定义定义：y=ax bx c（a、b、c 是常数，a 0）定义要点：a 0 最高次数为2 代数式一定是整式练习：1、y=-x，y=2x-2/x，y=100-5 x，y=3 x-2x+5,其中是二次函数的有_个。2.当当m_时时,函数函数y=(m+1)-2+1 是二次函数？是二次函数？2、二次函数的图像及性质抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方
38、向开口方向增减性增减性最值最值y=ay=ax x2 2+b+bx+cx+c(a0)y=ay=ax x2 2+b+bx+cx+c(a0,开口向上开口向上a0,开口向下开口向下在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而减小的增大而减小.在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y随着随着x的增大而减小的增大而减小.xy0 xy0(0,c0,c)(0,c0,c)例例2：（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。的坐标。（2）设抛物线与
39、）设抛物线与y轴交于轴交于C点，与点，与x轴交于轴交于A、B两点，求两点，求C，A，B的坐标。的坐标。（3）x为何值时，为何值时，y随的增大而减少，随的增大而减少，x为为何值时，何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？值是多少？（4）求）求MAB的周长及面积。的周长及面积。（5）x为何值时，为何值时，y0？已知二次函数已知二次函数解解:（1）a=0 抛物线的开口向上抛物线的开口向上y=(x2+2x+1)-2=(x+1)2-对称轴直线对称轴直线x=-1，顶点坐标，顶点坐标M（-1，-2）(2)由由x=0，得，得y=-抛物线与抛物线与y轴的交点轴的交点C（0
40、，-）由由y=0，得，得x2+x-=0 x1=-3x2=1与与x轴交点轴交点A（-3，0）B（1，0）(3)当当x-1时，时，y随随x的增大而减少的增大而减少;当当x=-1时，时，y有最小值为有最小值为y最小值最小值=-2（4）由对称性可知）由对称性可知MA=MB=22+22=22AB=|x1-x2|=4 MAB的周长的周长=2MA+AB=222+4=42+4MAB的面积的面积=ABMD=42=40(-1,-2)(0,-)(-3,0)(1,0)3 2yx由由图象可知图象可知 当当x1时，时，y 0当当-3 x 1时，时，y 0(5)2、已知抛物线顶点坐标（、已知抛物线顶点坐标（h,k），），通
41、常设通常设抛物线解析式为抛物线解析式为_3、已知抛物线与、已知抛物线与x 轴的两个交点轴的两个交点(x1,0)、(x2,0),通常设解析式为通常设解析式为_1、已知抛物线上的三点、已知抛物线上的三点，通常设解析式为通常设解析式为_y=ax2+bx+c(a0)y=a(x-h)2+k(a0)y=a(x-x1)(x-x2)(a0)求抛物线解析式的三种方法求抛物线解析式的三种方法练习练习 1、二次函数、二次函数y=x2+2x+1写成顶点式为：写成顶点式为：_，对称轴为，对称轴为_，顶点为，顶点为_12y=(x+2)2-112x=-2(-2，-1)2、已知二次函数、已知二次函数y=-x2+bx-5的图象
42、的的图象的顶点在顶点在y轴上，则轴上，则b=_。120根据下列条件，求二次函数的解析式。根据下列条件，求二次函数的解析式。(1)、图象经过、图象经过(0，0)，(1，-2)，(2，3)三点；三点；(2)、图象的顶点、图象的顶点(2，3)，且经过点且经过点(3，1)；(3)、图象经过、图象经过(0，0)，(12，0)，且最高点，且最高点 的纵坐标是的纵坐标是3。例例1、已知二次函数、已知二次函数y=ax2+bx+c的最的最大值是大值是2，图象顶点在直线，图象顶点在直线y=x+1上，并上，并且图象经过点（且图象经过点（3，-6）。求）。求a、b、c。解：解：二次函数的最大值是二次函数的最大值是2
43、抛物线的顶点纵坐标为抛物线的顶点纵坐标为2又又抛物线的顶点在直线抛物线的顶点在直线y=x+1上上当当y=2时，时，x=1 顶点坐标为（顶点坐标为（1，2）设二次函数的解析式为设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又又图象经过点（图象经过点（3，-6）-6=a(3-1)2+2 a=-2 二次函数的解析式为二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2即：即：y=-2x2+4x4、a，b，c符号的确定aa,bca a决定开口方向：决定开口方向：a a时开口向上，时开口向上，a a时开口向下时开口向下a a、b b同时决定对称轴位置：同时决定对称轴位置：a a、b b同号同号时时对称轴在对称轴在y
44、y轴轴左侧左侧a a、b b异号异号时时对称轴在对称轴在y y轴轴右侧右侧b b时时对称轴是对称轴是y y轴轴c c决定抛物线与决定抛物线与y y轴的交点：轴的交点：c c时抛物线交于时抛物线交于y y轴的正半轴轴的正半轴c c时抛物线时抛物线过原点过原点c c时抛物线交于时抛物线交于y y轴的负半轴轴的负半轴决定抛物线与决定抛物线与x x轴的交点轴的交点：时时抛物线与抛物线与x x轴有两个交点轴有两个交点时时抛物线与抛物线与x x轴有一个交点轴有一个交点 时时抛物线与抛物线与x x轴没有交点轴没有交点(上正、下负）上正、下负）(左同、右异左同、右异)(上正、下负上正、下负)=b b2 2-4
45、ac-4ac xy、二次函数、二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)的图象如图的图象如图 所示，则所示，则a a、b b、c c的符号为（）的符号为（）A A、a0,c0 Ba0,c0 B、a0,c0a0,c0 C C、a0,b0 Da0,b0 D、a0,b0,c0a0,b0,c0,b0,c=0 Ba0,b0,c=0 B、a0,c=0a0,c=0 C C、a0,b0,c0 Da0,b0,c0,b0,b0,b=0,c0,a0,b=0,c0,0 B0 B、a0,c0,a0,c0,b=0,c0,b=0,c0 D0 D、a0,b=0,c0,a0,b=0,c0,0 0 BAC
46、ooo练习：练习：熟练掌握熟练掌握a，b，c，与抛物线图象的关系与抛物线图象的关系(上正、下负）上正、下负）(左同、右异左同、右异)c c4.4.抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)的图象经过原点和的图象经过原点和 二、三、四象限，判断二、三、四象限，判断a a、b b、c c的符号情况：的符号情况：a a 0,b0,b 0,c0,c 0.0.xyo=1999中考中考6.二次函数二次函数y=ax2+bx+c中，如果中，如果a0，b0，c3.已知二次函数的图像如图所示，下列结论：已知二次函数的图像如图所示，下列结论：a+b+c=0a-b+c0abc0b=2a其中
47、正确的结论的个数是（其中正确的结论的个数是（）A1个个B2个个C3个个D4个个Dx-110y要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方要点：寻求思路时，要着重观察抛物线的开口方向，对称轴，顶点的位置，抛物线与向，对称轴，顶点的位置，抛物线与x轴、轴、y轴的轴的交点的位置，注意运用数形结合的思想。交点的位置，注意运用数形结合的思想。5、抛物线的平移法则左加右减，上加下减左加右减，上加下减练习练习二次函数二次函数y=2x2的图象向的图象向平移平移个单位可得个单位可得到到y=2x2-3的图象；的图象；二次函数二次函数y=2x2的图象向的图象向平移平移个单位可得到个单位可得到y=2(x-3)2的图象。
48、的图象。二次函数二次函数y=2x2的图象先向的图象先向平移平移个单位，个单位，再向再向平移平移个单位可得到函数个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的图的图象。象。下下3右右3左左1上上2引申：引申：y=2(x+3)2-4y=2(x+1)2+2练习：练习：（3）由二次函数）由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以的图象经过如何平移可以得到函数得到函数y=x2-5x+6的图象的图象.y=x2-5x+6 y=x26二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程根的情况与一元二次方程根的情况与b-4ac的关系的关系我们知道我们知道:代数式代数式b2-4ac对于方程的根起着关键对于方程的根起着关键的作用的作
49、用.判别式：判别式：b b2 2-4ac-4ac二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0a0）图象图象一元一元二次方程二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0（a0a0）的根）的根x xy yO O与与x x轴有两个不轴有两个不同的交点同的交点（x x1 1，0 0）（x x2 2，0 0）有两个不同的有两个不同的解解x=xx=x1 1，x=xx=x2 2b b2 2-4ac-4ac0 0 x xy yO O与与x x轴有唯一个轴有唯一个交点交点有两个相等的有两个相等的解解x1=x2=b b2 2-4ac=0-4ac=0 xyO与与x x轴没有轴没有交点交点没
50、有实数根没有实数根b b2 2-4ac-4ac0 0例例(1)(1)如果关于如果关于x x的一元二次方程的一元二次方程 x x2 2-2x+m-2x+m=0=0有两个有两个相等的实数根相等的实数根,则则m=m=,此时抛物线此时抛物线 y=xy=x2 2-2x+m2x+m与与x x轴有个交点轴有个交点.(2)(2)已知抛物线已知抛物线 y=xy=x2 2 8x+c 8x+c的顶点在的顶点在 x x轴上轴上,则则c=c=.1116 (3)(3)一元二次方程一元二次方程 3 x3 x2 2+x-10=0+x-10=0的两个根的两个根是是x x1 1=-2,x=-2,x2 2=5/3,=5/3,那么二