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1、1物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱的又一种度量。强弱的又一种度量。瞬时量瞬时量,与速度方向无关的正标量与速度方向无关的正标量,单位是单位是J。柯尼希定理柯尼希定理对于任一质点系：（对于任一质点系：（为第为第i个质点相对质心个质点相对质心C的速度）的速度）二质点系的动能动能的计算动能的计算一质点的动能第1页/共69页2（P为速度瞬心）1平动刚体2定轴转动刚体3平面运动刚体三刚体的动能动能的计算动能的计算第2页/共69页3（1）匀质杆，质量为m，长L，以角速度 绕O 轴转动。动动 量：量：动量矩：动量矩：动动 能：能：求解求解动能
2、的计算动能的计算第3页/共69页4（2）质量为m，半径为R 的匀 质圆盘，绕过质心且垂直 于图面的O 轴转动。动动 量：量：动量矩：动量矩：动动 能：能：动能的计算动能的计算第4页/共69页5 PmvcmR，方向垂直OC，指向右方:（注注：这里求 Jo 时应用了平行轴定理）动量矩：动量矩：动动 能：能：（）圆盘绕O轴转动。动动 量：量：动能的计算动能的计算第5页/共69页6动量：动量：动量矩：动量矩：动能：动能：（）轮做平面运动（纯滚动）动能的计算动能的计算第6页/共69页7题：椭圆规由匀质的曲柄OA、规尺BD 以及滑块B 和D组成，如图所示。已知：规尺BD 长2L，质量是2m1，两滑块的质量
3、是m2，曲柄OA 长L，质量是m1。曲柄以角速度绕定轴 O 转动。例二例二整个机构的动能求：动能的计算动能的计算第7页/共69页8解：整个机构的动能：等于曲柄OA、滑块B、D 及规尺BD 动能的总和，即：（1）曲柄作定轴转动，动能：动能的计算动能的计算第8页/共69页9先要用运动学方法分析速度:因为BD 作平面运动，由瞬心法很容易求出：（2）滑块B、D 作平动，规尺BD 作平面运动，要求它们的动能，即BD杆角速度与OA 角速度相同动能的计算动能的计算第9页/共69页10那么，滑块B、D及杆BD的动能为：动能的计算动能的计算第10页/共69页11长为l，重为P的均质杆OA由球铰链O固定，并以等角
4、速度 w 绕铅直线转动，如图所示，如杆与铅直线的交角为a，求杆的动能。杆杆OA的动能是的动能是解：取出微段解：取出微段dr到球铰的距离为到球铰的距离为r，该微段的速度是，该微段的速度是微段的质量微段的质量微段的动能微段的动能例三例三动能的计算动能的计算第11页/共69页12 力力的的功功是是力力沿沿路路程程累累积积效效应应的的度度量量。在在一一无无限限小小位位移移中中力力所所做做的功称为的功称为元功元功力的功是代数量。在国际单位制中，其单位为焦耳（）常见力的功常见力的功思考思考：dA=dA?什么情况下会等？第12页/共69页13力在全路程上作的功为元功之和，即力在全路程上作的功为元功之和，即则
5、力从M1到M2过程作的功为常见力的功常见力的功第13页/共69页14 即即 在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。合力的功合力的功质点M 受n个力作用，合力，则合力的功常见力的功常见力的功第14页/共69页151重力的功重力的功对质点系，重力功为：质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。重力投影：常见力的功常见力的功第15页/共69页16弹簧原长弹簧原长 l0，在弹性极限内，在弹性极限内k弹簧的刚度系数，表示使弹
6、簧发生弹簧的刚度系数，表示使弹簧发生单位变形时所需的力单位变形时所需的力.2弹性力的功常见力的功常见力的功第16页/共69页17弹性力的功只与弹簧的起始变形弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，而与质点运动和终了变形有关，而与质点运动的路径无关。的路径无关。常见力的功常见力的功第17页/共69页18设在绕z轴转动的刚体上M点作用有力，计算刚体转过一角度 时力所作的功。M点轨迹已知。3作用于转动刚体上的力的功，力偶的功常见力的功常见力的功作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。第18页/共69页19若若M=常量常量,则则 注意：功的符号的确定。注意：功的符号
7、的确定。如果作用力偶M，且力偶的作用面垂直转轴，则常见力的功常见力的功第19页/共69页204作用于平面运动刚体上的力的功，力偶的功常见力的功常见力的功第20页/共69页21(1)动滑动摩擦力的功动滑动摩擦力的功FN=常量时,W=fFN S,与质点的路径有关。常见力的功常见力的功5摩擦力的功第21页/共69页22正压力，摩擦力作用于瞬心C处，而瞬心的元位移(2)圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功(3)滚动摩擦阻力偶滚动摩擦阻力偶M的功的功若M=常量则常见力的功常见力的功第22页/共69页236质点系内力的功质点系内力的功只只要要A、B两两点点间间距距离
8、离保保持持不不变变,内内力力的的元元功功和和就就等等于于零零。不不变变质质点点系的内力功之和等于零。系的内力功之和等于零。常见力的功常见力的功思考：对于运动的刚体，其上各质点之间内力的元功之和是多少？思考：对于运动的刚体，其上各质点之间内力的元功之和是多少？第23页/共69页241光滑固定面约束光滑固定面约束2固定铰支座、可动铰支座和向心轴承固定铰支座、可动铰支座和向心轴承7理想约束反力的功常见力的功常见力的功约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。第24页/共69页255柔索约束（不可伸长的绳索）柔索约束（不可伸长的绳索）拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。3刚体沿固定面作纯滚动刚
9、体沿固定面作纯滚动4联接刚体的光滑铰链（中间铰）联接刚体的光滑铰链（中间铰）常见力的功常见力的功第25页/共69页261质点的动能定理：质点的动能定理：因此动能定理的微分形式动能定理的微分形式将上式沿路径积分，可得动能定理的积分形式动能定理的积分形式两边点乘以，有动能定理动能定理第26页/共69页27质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的微分形式 质点系动能定理的积分形式质点系动能定理的积分形式2质点系的动能定理动能定理动能定理式中 T2表示质点系终了位置的动能；T1 表示质点系起始位置的动能；W12 表示在此过程中所有力的功的总和。导数形式第27页/共69页28质点系在某一段路程中始末位置
10、动能的改变量等于作用于质点系上所质点系在某一段路程中始末位置动能的改变量等于作用于质点系上所有的力在相应路程中所作功的和。有的力在相应路程中所作功的和。在理想约束的条件下，质点系在某一段路程中始末位置动能的改变在理想约束的条件下，质点系在某一段路程中始末位置动能的改变量等于作用于质点系上所有的量等于作用于质点系上所有的主动力主动力在相应路程中所作功的和。在相应路程中所作功的和。动能定理动能定理几点注意：几点注意：积积分分形形式式表表示示：质质点点系系由由起起始始位位置置运运动动到到终终了了位位置置，质质点点系系动动能能的的变变化化等等于于作作用用在在质质点点系系上上的的所所有有力力（主主动动力
11、力、约约束束力力、内内力力、外外力力）在在此此过过程程中中的功的总和。的功的总和。“微微分分形形式式”一一般般用用于于理理论论推推导导；“积积分分形形式式”常常用用来来求求速速度度、角角速速度度、位移等；位移等；“导数形式导数形式”常用来求加速度、角加速度等。常用来求加速度、角加速度等。第28页/共69页29一功率：一功率：力在单位时间内所作的功（它是衡量机器工作能力的一个重要指标）。功率是代数量，并有瞬时性。作用力的功率：力矩的功率：功率的单位：瓦特（W），千瓦（kW），W=J/s。动能定理动能定理第29页/共69页30由的两边同除以dt 得分析：起动阶段（加速）：即制动阶段（减速）：即稳定
12、阶段（匀速）：即二功率方程：二功率方程：动能定理动能定理第30页/共69页31机器稳定运行时，机械效率是评定机器质量优劣的重要指标之一。一般情况下。三、机械效率三、机械效率有效功率（有用功率与系统动能变化率dT/dt 之和）与输入功率之比称为机械效率。动能定理动能定理第31页/共69页32两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示；OA杆质量是AB杆质量的两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位置从静止释放，求当OA杆转到铅垂位置时，AB杆B 端的速度。解：取整个系统为研究对象动能定理动能定理例一AB杆运动？杆运动？第32页/共69页33动能定理动能定理第33页/共69页34卷扬机如图所示。鼓轮在常力偶M的
13、作用下将圆柱沿斜坡上拉。已知鼓轮的半径为R1，质量为m1，质量分布在轮缘上；圆柱的半径为R2，质量为m1，质量均匀分布。设斜坡的倾角为，圆柱只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱中心C经过路程s时的速度。O OMMD DC C动能定理动能定理例二第34页/共69页35解：圆柱和鼓轮一起组成质点系。作用于该质点系的外力有：重力m1g和m2g，外力偶M，水平轴支反力FOx和FOy，斜面对圆柱的作用力FN和静摩擦力Fs。应应用用动动能能定定理理进进行行求求解解，先计算力的功。先计算力的功。OMCm1gFOxFOym2gFNFsDw1w2动能定理动能定理第35页/共69页36因为点O没有位移。力FOx，
14、FOy和m1g所作的功等于零；圆柱沿斜面只滚不滑，边缘上任一点与地面只作瞬时接触，因此作用于瞬心D的法向约束力FN和摩擦力Fs不作功，此系统只受理想约束，且内力作功为零。OMCm1gFOxFOym2gFNFsDw1w2动能定理动能定理主动力所作的功计算如下：主动力所作的功计算如下：第36页/共69页37质点系的动能计算如下：质点系的动能计算如下：式式中中J1，JC分分别别为为鼓鼓轮轮对对于于中中心心轴轴O，圆圆柱柱对对于于过过质质心心C 的的轴轴的的转动惯量：转动惯量：w w1和和w w2分别为鼓轮和圆柱的角速度，即分别为鼓轮和圆柱的角速度，即OMCm1gFOxFOym2gFNFsDw1w2动
15、能定理动能定理第37页/共69页38由动能定理得由动能定理得 以代入，解得：于是于是 动能定理动能定理第38页/共69页39动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用动动力力学学普普遍遍定定理理包包括括质质点点和和质质点点系系的的动动量量定定理理、动动量量矩矩定定理理和和动动能能定定理理。动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标量形式，他们都可应用研究机械运动，而动能定理还可以研究其它形式的运动能量转化问题。动动力力学学普普遍遍定定理理提提供供了了解解决决动动力力学学问问题题的的一一般般方方法法。动动力力学学普普遍遍定定理理的的综综合合应应用用，大大体体上上包包括括两两方方面面的的含含义
16、义：一是能根据问题的已知条件和待求量，选择适当的定理求解，包括各种守恒情况的判断，相应守恒定理的应用。避开那些无关的未知量，直接求得需求的结果。二是对比较复杂的问题，能根据需要选用两、三个定理联合求解。求解过程中,要正确进行运动分析,提供正确的运动学补充方程。第39页/共69页40物体A、B，质量分别为mA、mB，用弹簧相连，放在光滑水平面上。弹簧原长为l0，刚度系数为k。现将弹簧拉长到 l 后无初速释放，求当弹簧恢复原长时物体A、B的速度，弹簧质量不计。BA动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用例一第40页/共69页41AByxmAgFmBgvAvB 作作受受力力图图。质质点点系系包包
17、含含两两个个质质点点A、B由由于于质质点点位位移移在在水水平平方方向向，外外力力不不作作功功；但但两两质质点点间间的的距距离离是是可可变变的的，故故内内力力F、F所所做做的的功功不不为为零零。设设当当弹弹簧簧恢恢复复原原长长时时物物体体A、B的速度分别为的速度分别为 vA、vB，方向如图示。由动能定理：，方向如图示。由动能定理：解：解：动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用第41页/共69页42由质点系动量定理得由质点系动量定理得联立解之得联立解之得动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用第42页/共69页43重150N的均质圆盘与重60N、长24cm的均质杆AB在B处用铰链连接。系
18、统由图示位置无初速地释放。求求系统经过最低位置B点时的速度及支座A的约束反力。解：（解：（1）取圆盘为研究对象）取圆盘为研究对象，圆盘平动。动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用例二第43页/共69页44（2）用动能定理求速度）用动能定理求速度。取系统为研究对象。初始时T1=0，最低位置时：代入数据，得代入数据，得动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用第44页/共69页45（3）用动量矩定理求杆的角加速度）用动量矩定理求杆的角加速度a 。由于所以a0。盘质心加速度：盘质心加速度：杆质心C的加速度：动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用第45页/共69页46（4）由质心运动定理
19、求支座反力。）由质心运动定理求支座反力。以整个系统为研究对象代入数据，得动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用第46页/共69页47 本题应用了本题应用了相对质心动量矩守恒定理、动能定理、动相对质心动量矩守恒定理、动能定理、动量矩定理、质心运动定理，比量矩定理、质心运动定理，比较复杂，请大家仔细分析求较复杂，请大家仔细分析求解过程中所应用的定理。解过程中所应用的定理。可用对积分形式的动能定理求导计算可用对积分形式的动能定理求导计算a，但要注意需取杆，但要注意需取杆AB在一般位置进在一般位置进行分析。行分析。动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用第47页/共69页48解：取杆为研究对
20、象解：取杆为研究对象均质杆OA，重P，长l，如图所示。当绳子突然剪断的瞬时，求杆的角加速度及轴承O处的约束反力。由动量矩定理：由动量矩定理：例三动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用第48页/共69页49由质心运动定理：由质心运动定理：动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用第49页/共69页50题：均质细杆长为l、质量为m，静止直立于光滑水平面上。当杆受微小干扰而倒下时，求杆刚刚到达地面时的角速度和地面约束力。动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用例四第50页/共69页51解：由于地面光滑，直杆沿水平方向不受力，倒下过程中质心将铅直下落。设杆左滑于任一角度，如图所示，p为杆的
21、速度瞬心。由运动学知，杆的角速度与质心C 的速度之间关系为：任意位置杆的动能为初始动能为零vCAPvAC动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用第51页/共69页52由动能定理即此过程中只有重力作功解出思考:倒地瞬时A点的速度?当杆完全倒地此时动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用ACmgFNaC第52页/共69页53即现在找和的关系。杆刚达到地面瞬时，由刚体平面运动微分方程，得ACmgFNaCy动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用第53页/共69页54AaACaA加速度矢量如图所示。点A的加速度为水平，由质心运动水平守恒知，应为铅垂，由运动学知ACmgFNaC动力学普遍定理
22、综合应用动力学普遍定理综合应用沿铅垂方向投影，得第54页/共69页55代入动力学方程，解得思考：本题应用了几个定理？本题难点是什么？如何求?ACmgFNaC动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用第55页/共69页56例五动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用已知：一圆环以角速度0 绕铅垂轴O1O2自由转动，圆环的半径为R，对转轴的转动惯量为J，在圆环内的A点放一质量为m的小球，圆环内光滑，由于微小干扰，小球离开A 点。求:当小球分别到达B 点和C 点 时，圆环的角速度和小球的 速度。第56页/共69页57解：（1）研究对象：“小球圆环”系统受力分析如图，可见:则系统对转轴z的动量矩
23、守恒：即解得动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用第57页/共69页58小球从AB：总功：WmgR（只有小球重力做功)（2）若要求小球的速度，则应用系统动能定理：动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用第58页/共69页59说明：本例应用了“动量矩守恒定律”和“系统动能定理”使问题 得到全部解决。请注意动量矩的计算与动能的计算。（3）小球从AC：总功：W2mgR动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用第59页/共69页60例六动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用已知：匀质杆长30（cm）,重98（N）,弹簧的刚性系数为4.9(N/m),原长为20(cm)。开始时杆置于水平
24、位置，然后将其无初速释放。由于弹簧作用，杆绕O 轴转动，OO140（cm）。求：当杆转到铅垂位置时杆的 角速度和轴承O 处的反力。第60页/共69页61解：取研究对象：杆OA受力分析如图：（1）求杆在铅垂位置的角速度（杆在铅垂位置时的动能）T10（水平位置10）应用动能定理：T2T1W12动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用第61页/共69页62总功为：可求出：25.72(rad/s)代入动能定理：即：动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用第62页/共69页63因此可得：（2）求杆在铅垂位置时轴承O 的约束反力 在铅垂位置时，由刚体定轴转动微分方程（即动量矩定理）有：（因为外力通
25、过O点，所以外力矩为零。）动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用第63页/共69页64再应用质心运动定理质心运动定理，有:其中弹簧力：可解出思考：本题应用了几个定理？（在（在 x、y 轴方向投影）轴方向投影）动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用第64页/共69页65(1)动能定理建立的是动能的变化与作用力的功之间的关系。动能定理不同于动量定理和动量矩定理。首先它是标量方程式，因此应用时不必定坐标，只要注意功的正负问题注意功的正负问题。由于动能总是正值，计算质点系的动能时只须将质点系中各质点及刚体的动能求算术和；其次在分析力的功时，不仅要分析外力的功，而且要注意内力的功，因为内力之
26、功的和不一定等于零。对于一般常见力（如重力、弹性力、万有引力、摩擦力及力偶等）的功的计算要熟练掌握；学习方法及注意问题学习方法及注意问题本章小结本章小结第65页/共69页66(2)同时要理解对刚体而言其内力的功的总和恒为零；对理想约束情况，约束力作功之和亦等于零。在此特别指出，轮子作纯滚动时，静滑动摩擦力的功等于零，因为接触点无相对滑动。计算质点系的动能。主要是掌握刚体平动、定轴转动与平面运动时动能的计算公式，对于一些较为复杂的运动，其动能可以利用柯尼克定理来计算。在此强调一点，动能计算中的速度和角速度都是指相对于惯性参考系的绝对速度与绝对角速度（相对于质心的动能则是指相对于过质心的平动参考系的速度和角速度）。学习方法及注意问题学习方法及注意问题本章小结本章小结第66页/共69页67（3）普遍定理综合应用时，当已知某些主动力求运动时，应 优先选用动能定理，当已求得速度与位移，或角速度与 角位移（转角）的函数式时，求一次导数就可求得加速 度或角加速度，再配合动量定理或质心运动定理及动量 矩定理，可求得约束反力等其他未知力，这是求解动力 学问题的一个非常有效的方法。学习方法及注意问题学习方法及注意问题本章小结本章小结第67页/共69页68作作 业业13-4 13-12 13-16 13-13 13-14 13-18第68页/共69页