理学大学物理第五章.pptx

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1、5.1简谐振动的描述5.2 简谐振动的合成5.3 阻尼振动 受迫振动5.4 非线性振动简介 本章内容：第第第第5 5章章章章 机械振动机械振动机械振动机械振动第1页/共79页一、简谐振动 弹簧振子：弹簧 物体系统 平衡位置：物体所受合外力为零的位置。弹簧处于自然长度的位置轻弹簧质量忽略不计物体可看作质点 5.1 简谐振动的描述简谐振动的描述1.受力特点2.动力学方程动力学方程第2页/共79页其通解为：3.运动学方程简谐振动的动力学方程振动方程速度方程加速度方程第3页/共79页2 2、平衡位置是指合外力为零的位置。1 1、物体发生振动的条件：物体受到始终指向平衡位置 的回复力；物体具有惯性。说明

2、：3 3、判断物体是否作简谐振动的依据:（1 1）物体所受的合外力与位移正比但反向；（2 2）满足位移（或角位移）与时间有余弦（或正弦)关系。第4页/共79页底面积为S的长方体木块m浮于水面，水面下a，用手按下一定位置后释放，证明木块运动为谐振动任意位置x处，合力例证明：木块平衡时此合力为回复力第5页/共79页二、简谐振动的参量振幅 A:简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。频率：角频率 :周期T T：物体完成一次全振动所需时间。单位时间内振动的次数。第6页/共79页弹簧振子：固有周期、固有频率、固有角频率第7页/共79页相位：(1)(t +)是 t 时刻的相位(2)是 t=

3、0 时刻的相位 初相第8页/共79页相位的意义:相位确定了振动的状态相位每改变 2 振动重复一次,相位在 2 范围内变化,状态不重复.相位差 第9页/共79页 同相和反相(同频率振动)当 =2k 两振动步调相同,称同相。当 =(2k+1)两振动步调相反 ,称反相。xto同相同相Tx1A1x2A2xto反相反相Tx1A1x2 A2第10页/共79页 超前和落后若 =2-1 0,则 称 x2 比 x1 超前 (或 x1 比 x2 落后 )。t xOA1-A1x1-A2A2x2相位差 小结：1.1.当=2 2k ,k =0,1,2=0,1,2,两振动步调相同,称同相2.2.当=(2(2k+1)+1)

4、,k =0,1,2.=0,1,2.两振动步调相反,称反相.2 超前于1 或 1滞后于 2 3.第11页/共79页由初始条件求振幅和初相位第12页/共79页如图 m=210-2 kg,弹簧的静止形变为 l=9.8cm；t=0时，x0=9.8cm，v0=0 确定平衡位置：mg=k l 取为原点 令向下有位移 x,则回复力XOxm例求（1）取开始振动时为计时零点，写出振动方程；（2）若取 x0=0，v0 0为计时零点,写出振动方 程，并计算振动频率。解该振动为简谐振动，则第13页/共79页由初始条件得由x0=0.098m知振动方程为：(2)按题意 t=0 时 x0=0，v0 0XOxm第14页/共7

5、9页例已知A=0.12m，T=2s，一物体沿x轴作简谐振动，振幅为0.12m，周期为2s。当t=0时，位移为0.06m，且向x轴正方向运动。求(1)初相；(2)t=0.5s时，物体的位置、速度和加速度；(3)在x=-0.06m处，且向x轴负方向运动。物体从这一状态回到平衡位置的最短时间。解（1）设其运动方程为则速度和加速度分别为第15页/共79页当t=0时，（2）当t=0.5s时第16页/共79页（3）由于三角函数具有周期性，取第一个周期即可。设当物体在0.06m，且向x轴负向方向运动对应的时刻为t1，平衡位置对应的时刻为t2，则第17页/共79页(1)试证明物体m的运动是谐振动；(2)求此振

6、动系统的振动周期；(3)写出振动方程。轻质弹簧一端固定，另一端系一轻绳，绳过定滑轮挂一质量为m的物体。弹簧的劲度系数为k，滑轮的转动惯量为J，半径为R。若物体m在其初始位置时弹簧无伸长，然后由静止释放。(1)若物体m离开初始位置的距离为b时受力平衡，则此时有以此平衡位置O为坐标原点，竖直向下为x轴正向，当物体m在坐标x处时，由牛顿运动定律和定轴转动定律有例求解第18页/共79页联立式解得所以，此振动系统的运动是谐振动.即(2)由上面的表达式知，此振动系统的角频率故振动周期为 第19页/共79页振动系统的振动方程为(3)依题意知t0时，可求出第20页/共79页三、简谐振动的旋转矢量表示法 t=0

7、 x tt=tox在x轴上投影描述机械振动；第21页/共79页已知一个振子的振动曲线如图所示画出矢量图，并求a，b，c，d，e各状态相应的位相 第22页/共79页谐振动的位移、速度、加速度之间的相位关系第23页/共79页x t+o 第24页/共79页例由图可知求一物体沿 X 轴作简谐振动，振幅为0.12m，周期为2s。当t=0时，位移为 0.06m，且向 x 轴正方向运动。（2）在x=-0.06m处，且向 x 轴负向方向运动时，物体从 这一位置回到平衡位置所需的最短时间 （1）初相；(1)根据题义作图如下解(2)所转角度MONMN第25页/共79页已知某简谐振动的速度与时间的关系曲线如图所示.

8、例求 振动方程。解 用旋转矢量法辅助求解:第26页/共79页v的旋转矢量与v轴夹角表示t 时刻相位由图知第27页/共79页5.8(1)(2)第28页/共79页以弹簧振子为例某一时刻，弹簧振子速度为v，位移为x四、简谐振动的能量机械能（简谐振动系统机械能守恒）第29页/共79页一个与时间有关的物理量F(t)在时间间隔T 内的平均值定义为：则：谐振动在一周期内的平均动能和平均势能相等。第30页/共79页EptoETxotEk第31页/共79页动动能能势势能能情况同动能情况同动能机机械械能能简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒第32页/共79页（1 1）E1 1/4/4；（2 2）E1 1/

9、2/2；（3 3）2 2E1 1；（4 4）4 4E1 1。一弹簧振子作简谐振动，总能量为E1 1，如果谐振动的振幅增加为原来的两倍，重物的质量增加为原来的4倍，则其总能量将变为课堂练习：第33页/共79页5.9（1）以初速度方向为正方向建立坐标轴：（2）第34页/共79页一、同频率同方向简谐振动的合成分振动:合振动:结论：合振动 x 仍是简谐振动5.2 简谐振动的合成简谐振动的合成第35页/共79页合振动是简谐振动,其频率仍为 合振动 ：旋转矢量法处理谐振动的合成第36页/共79页若 A1=A2,则 A=0讨论：若两分振动同相：若两分振动反相:合振动加强合振动减弱第37页/共79页（1 1）

10、0 0；（2 2）4cm4cm；（4 4）8 cm8 cm。两个同方向同频率的谐振动，振动方程分别为则其合振动的振幅为谐振动,振幅为：课堂练习：（3 3）；第38页/共79页图示两个谐振动的x-t曲线，将这两个谐振动叠加，合成的余弦振动的初相为（A）（B）（C）（D）第39页/共79页二、同方向不同频率谐振动的合成 1.分振动:2.合振动:合振动振幅的周期为合振动振幅的周期为:结论：合振动可看作振幅缓变的简谐振动合振动振幅第40页/共79页拍:合振动忽强忽弱的现象拍频:合振动变化的频率 =|2 2-1 1|xt tx2t tx1t t3.拍的现象：第41页/共79页2.当 时：消去参数 t 得

11、轨迹方程分振动三、同频率互相垂直的简谐振动的合成讨论：讨论：1.当 时：第42页/共79页质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。3.当 时：4.当 时：质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。第43页/共79页 =0 =/2 =3/4 =/4 =5/4 =3/2 =7/4时，逆时针方向转动。时，顺时针方向转动。=第44页/共79页相互垂直、频率相同的两列谐振的合振动轨迹有如下规律:(1)(1)一般情况下轨迹为椭圆;(2)(2)时,退化为直线;(3)(3)时,为正椭圆,若A A1 1=A A2 2,则退化 为圆.(4)(4)时,椭圆顺时针方向转;椭圆逆时针方向转.第45页/共79页 当两列相互垂直、频率成整数

12、比关系的简谐振动合成时，合振动的轨迹是闭合的，运动是周期性的，这些图形称为李萨如（J.A.Lissajous J.A.Lissajous 1822-1880 1822-1880 法国）图形。相互垂直但频率不同的简谐振动的合成第46页/共79页 x y2 13 13 2 x=0：y=0 y x0第47页/共79页振幅随时间减小的振动叫阻尼振动。5.3 阻尼振动 受迫振动一、阻尼振动形成阻尼振动的原因：形成阻尼振动的原因：振动系统受摩擦、粘滞等阻力作用，造成热损耗；振动系统受摩擦、粘滞等阻力作用，造成热损耗；振动能量转变为波的能量向周围传播或辐射。振动能量转变为波的能量向周围传播或辐射。第48页/

13、共79页1.阻尼振动的微分方程 粘滞阻力弹性力(以液体中的水平弹簧振子为例)弹性力弹性力:粘滞阻力粘滞阻力:牛顿第二定律：牛顿第二定律：（固有频率）（阻尼系数）（阻尼振动的微分方程）第49页/共79页2.几种阻尼振动模式 （1）小阻尼（3）大阻尼（2）临界阻尼XtOXtO大阻尼临界阻尼与大阻尼相比，临界阻尼一般将更快回到平衡位置与大阻尼相比，临界阻尼一般将更快回到平衡位置 。第50页/共79页二、受迫振动系统在周期性外力的持续作用下所作的等幅振动称为受迫振动。牛顿第二定律：令则此方程的解为：1、受迫振动的微分方程（以弹簧振子为例）第51页/共79页等幅振动阻尼振动2、方程解的物理意义 开始振动

14、比较复杂经过一段时间后，受迫振动进入稳定振动状态。+第52页/共79页3 3、稳定的受迫振动 a.说明此时振动方程的位相 与初始条件无关 b.说明振幅是驱动力的函数，因此存在极值的问题稳定受迫振动的频率等于驱动力的频率稳定受迫振动的振幅A和位相（用待定系数法可得）第53页/共79页三、共振（受迫振动的振幅出现极大值的现象称为共振。）（受迫振动的振幅出现极大值的现象称为共振。）共振频率共振频率 :共振振幅共振振幅 :A阻尼阻尼0 0阻尼较小阻尼较小阻尼较大阻尼较大O共振曲线第54页/共79页5.4 非线性振动简论非线性振动简论 一、非线性振动的原因由非线性微分方程所描述的振动，称其为非线性振动。

15、从动力学角度来看，发生非线性振动的原因有两个方面：2、系统外部的非线性影响：如受迫振动中，驱动力F为位移或速度的非线性函数时，引起非线性振动。1、系统内在的非线性因素：如不限制摆角的单摆或复摆二、自激振动以单方向的力激励的振动称为自激振动或自振。例如：树梢在狂风中呼啸，提琴奏出悠扬的乐声，自来水管突如其来的喘振。第55页/共79页1 1、广义坐标 广义速度 在经典力学中，一个自由质点的运动状态可以用6 6个变量（x，y，z，vx，vy，vz）描述，一般来讲，一个力学系统的运动状态，可以用n个广义坐标qi 和n个相应的广义速度pi 共2n 个变量描述。2 2、相平面 相空间以(qi，pi)为坐标

16、，可以构建一个2n（n 为力学系统的独立变量的数目）维的状态空间。这个状态空间称为相空间.相空间:三、相图 相平面第56页/共79页当然如果力学系统只有两个变量，相空间就简化为相平面。相平面:相平面、相空间中的“相”是指物体的运动状态。相空间的每一点称为相点，对应力学系统的一个状态；状态空间的每一曲线称为相轨迹或相图，对应力学系统一种可能的状态变化过程。以位置和速度作为坐标参量构建的平面或新的空间，是最简单的相平面或相空间。如某质点作直线运动，其坐标为x、速度为坐标,建立一个平面坐标系Oxy,就是最简单的相平面以（x，y）第57页/共79页相平面中的一个点M（x,y），对应一个运动状态，M 称

17、为相点。在相平面中相点的运动轨迹就是相图，一般是一条光滑的曲线。相点相轨迹例：以简谐振子为例，来分析讨论相图的实际应用。简谐振子的位移、速度和加速度分别为第58页/共79页常数C由初始条件决定。以x和y为轴，可建立相平面Oxy。简谐振子的相图研究谐振子的位移、速度随时间的变化，就可以得到一系列点，继而可描绘出一条曲线相轨迹。对于一定的C值，相轨迹是一个椭圆，如图所示。从位移、速度公式中消去时间t，得第59页/共79页按C值的不同，可得到一族大小不同的椭圆。从相轨迹中，可以看出：简谐振子的所有相轨迹都是闭合曲线。相点沿闭合曲线运行了一周，又回到原先的运动状态因此可以断定，所有的椭圆相轨迹都对应着

18、一个周期运动，其周期是一个有限值。在相平面上的O点处，物体运动的速度和加速度均为零，相平面上这样的点对应着一个平衡状态。若没有任何扰动使系统偏离O点，它将一直停留在该点。第60页/共79页3 3、奇点相图上速度和加速度同时为零的那些点称为奇点，奇点对应着动力学系统的平衡状态，因此奇点也称为平衡点。奇点的分类中中心心焦焦点点结结点点鞍鞍点点第61页/共79页单摆的线性振动：单摆单摆例：以单摆的振动为例，来分析讨论相图。小角度下单摆的运动是单摆的非线性振动:简谐振动，其周期为随着的增大，单摆的周期变为第62页/共79页两边积分得单摆线性振动的相图即T/T随摆幅随摆幅m变化关系变化关系单摆无阻尼线性

19、振动的相图单摆无阻尼线性振动的相图可见，线性振动的相轨迹为椭圆,中心点是稳定的奇点。初始条件确定后，单摆运动过程就对应于其中一个椭圆，单摆的运动是一系列的同周期运动，且运动状态完全确定。第63页/共79页当摆幅增大到时，相迹线上出现了两个分支点，我们称之为鞍点,如上图。单摆无阻尼非线性振动的相图单摆无阻尼非线性振动的相图单摆非线性振动的相图 如果对摆角不加限制，微分方程变成非线性微分方程，可以证明其相图不再是一椭圆，相轨迹两端凸出略呈尖角状，但仍是封闭曲线，表示运动仍是周期性往复摆动。第64页/共79页鞍点和中心点一样也是一个奇点，但是在鞍点上 说明鞍点是不稳定的平衡点，因为与之相连的四条相轨

20、迹中两条指向它，两条背离它，而附近相轨迹呈双曲线状。从势能曲线和相图上可知处势能最大，势能曲线、相图、鞍点势能曲线、相图、鞍点第65页/共79页双曲点的存在，预示着混沌运动的可能假定存在阻尼和驱动力，让摆作受迫振动这样一来，双曲点就成了敏感区能量稍大，单摆就会越过势垒的顶峰，跨到它的另一侧；能量稍小，则为势垒所阻，滑回原来的一侧单摆向回摆动。第66页/共79页四、非线性振动系统的混沌行为仍以单摆为例,前面已经讨论过它的自由振动,下面分析其阻尼振动和受迫振动有阻尼、无策动力的振动小摆幅时运动方程为单摆阻尼振动的相图单摆阻尼振动的相图(小摆幅小摆幅)取取0.25，01，用软，用软件件MathLab

21、给出数值解。给出数值解。第67页/共79页有阻尼、并有策动力的振动大摆幅时运动方程是非线性的单摆阻尼振动的相图单摆阻尼振动的相图(大摆幅大摆幅)此时,从其相图上可以看出,相平面被分成不同的区域,相轨迹都收敛与该区域中心的吸引子.振动方程为 这是非线性微分方程,此时单摆的运动情况变得非常复杂,可以对三个参量在不同组合情况下进行数值计算,画出相图来分析.取0.25，01，D2/3，f的变化范围为0.5,1.98,每一个相图相差0.02，用软件MathLab给出数值解。第68页/共79页(1)f=0.5,1.0 f较小，是的相图都收敛在一个规则的极限环内。第69页/共79页（2）f=1.00,1.4

22、81.00,1.14内似乎有较规则的极限环。1.16,1.26内图形有界，但是“极限环”形状已经非常不规则，出现奇异吸引子。1.28,1.48内相图呈振荡状，随时间变化角位移是无界的。即单向旋转第70页/共79页（3）f=1.50,1.98:1.50,1.54内图像再度收敛，1.56,1.66内出现规则极限环。1.68,1.98区间图像再度出现混沌解。第71页/共79页（4）f 2.0的相图第72页/共79页第73页/共79页第74页/共79页单摆相图变化的规律单摆相图变化的规律 由此可见,在受迫阻尼振动中,单摆的运动反映出如下特征:描述运动特征的动力学方程是非线性的;但非线性方程是确定性的,

23、不包含任何随时间变化的随机项;在某些情况下,单摆出现了貌似无规则的运动.此时系统对初始条件特别敏感,初始条件的微小差异可能导致面目全非的结果.这就是单摆的混沌行为.第75页/共79页系统出现的一种貌似随机的运动。混沌:一般无法用解析的方法求解，只能在给定参量和初值条件下用计算机进行数值计算。混沌现象具有如下特征:对初值敏感依赖最初的微小差别会随时间逐渐放大而导致明显的巨大差别。运动不可重现,不可预报;相轨迹显示混沌运动收敛于“奇怪吸引子”;第76页/共79页混沌现象研究表明，混沌仅出现在非线性系统中，是非线性引起的随机性。而自然界中绝大多数实际过程都是非线性的，因此，混沌是一种普遍存在而又极其

24、复杂的现象。自7070年代以来，许多科学家都在各自的领域内发现了混沌现象，如湍流、非线性振荡电路、激光运行系统、超导中的约瑟夫逊结系统等都存在混沌现象。混沌不仅是数理学科的理论,而是遍布各个领域.如化学反应中的混沌行为、股票市场的混沌现象、生态学中的“虫口模型”等等第77页/共79页比如天气预报中存在混沌现象，虽然不能准确预报几年后的天气情况，但可以很好地预报明后几天的天气情况；这说明，混沌现象的内在随机性与随机系统中的随机性有着本质区别。总之，混沌的随机性是一种内在的随机性，它将使我们永远不能对系统的长期行为进行准确的预报和预测。混沌并不是完全无序，而是无序中隐含着有序；第78页/共79页感谢您的观看！第79页/共79页