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1、第1页/共144页1.定义2.性质第2页/共144页Proof.第3页/共144页第4页/共144页ex1.下列矩阵是不是正交矩阵：Solution.是不是第5页/共144页Proof.第6页/共144页Method1.正交化,第7页/共144页单位化,第8页/共144页Method2.第9页/共144页单位化,第10页/共144页定义.若P为正交矩阵,则线性变换y=Px称为正交变换.定理.正交变换不改变向量的长度,也不改变两向量间 的内积及夹角.Proof.The end 第11页/共144页Chapter 4(2)方阵的特征值与特征向量第12页/共144页教学要求：1.理解方阵的特征值和特
2、征向量的概念及性质;2.会求方阵的特征值和特征向量.第13页/共144页第14页/共144页定义.注意注意第15页/共144页Proof.第16页/共144页Proof.推广:第17页/共144页Proof.类推之,有第18页/共144页把上述各式合写成矩阵形式，得第19页/共144页注意注意(1)属于不同特征值的特征向量是线性无关的(2)属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量(3)矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值第20页/共144页也就是含有n个未知数n个方程的方程组有非0解.由此可求得特
3、征值.第21页/共144页第22页/共144页求特征值与特征向量的步骤:第23页/共144页Solution.第24页/共144页第25页/共144页第26页/共144页Solution.第27页/共144页第28页/共144页第29页/共144页注意:有非0解.结论1.方阵A的特征值的几何重数不超过它的代数重数.结论2.对角阵、上三角阵、下三角阵的特征值即为其主对角线上的元素.结论3.第30页/共144页结论4.结论5.若 是矩阵 A的特征值,x是 A的属于 的特征向量,则第31页/共144页Proof.再继续施行上述步骤 次，就得第32页/共144页(5)类似可证,第33页/共144页第3
4、4页/共144页Solution.第35页/共144页Solution.第36页/共144页Proof.法1.法2.法3.法4.第37页/共144页ex6.设A是 阶方阵，其特征多项式为Solution.第38页/共144页Proof.?第39页/共144页思考题Solution.The end 第40页/共144页Chapter 4(3)相似矩阵与矩阵对角化第41页/共144页教学要求：1.了解相似矩阵的概念、性质及相似对角化的了解相似矩阵的概念、性质及相似对角化的 充要条件充要条件.第42页/共144页第43页/共144页1.定义第44页/共144页2.性质第45页/共144页第46页/共
5、144页反之不一定成立!第47页/共144页Proof.第48页/共144页定理1.Proof.第49页/共144页第50页/共144页注意P与 的对应写法!结论1.若n阶矩阵A有n个互不相等的特征值,则A与对角阵相似.第51页/共144页说明说明如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，还是能对角化结论2.结论3.实对称矩阵一定可对角化.Solution.第52页/共144页ex3.判断下列实矩阵能否化为对角阵？Solution.第53页/共144页=其代数重数.因而A可对角化.=其代数重数.第54页/共144页
6、故 不能化为对角矩阵.第55页/共144页 A能否对角化？若能对角化,则求出可逆矩阵P,Solution.第56页/共144页得基础解系第57页/共144页所以 可对角化.得基础解系第58页/共144页注意注意即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应第59页/共144页且知A有一特征值为1,求x的值及A的其它特征值,并判断A是否能与对角阵相似？Solution.第60页/共144页第61页/共144页第62页/共144页Solution.第63页/共144页The end 第64页/共144页Chapter 4(4)实对称矩阵的对角化第65页/共144页教学要求：1.掌握实对称矩
7、阵的性质掌握实对称矩阵的性质;2.掌握用相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的掌握用相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的 方法方法.第66页/共144页第67页/共144页1.1.实对称矩阵的特征值为实数实对称矩阵的特征值为实数.Proof.第68页/共144页2.2.实对称矩阵的特征向量为实向量实对称矩阵的特征向量为实向量.第69页/共144页3.3.实对称矩阵A对应于不同特征值的特征 向量是正交的.Proof.于是4.4.实对称矩阵的每个特征值的代数重数 与几何重数相等.第70页/共144页定理.利用正交矩阵将实对称矩阵对角化,其具体步骤为：第71页/共144页利用可逆矩阵将实对称矩阵对角化,其具体
8、步骤为：第72页/共144页Solution.求得基础解系第73页/共144页正交化,单位化,第74页/共144页求得基础解系为单位化,第75页/共144页Proof.故存在正交矩阵Q使 第76页/共144页Proof.又由A为实对称矩阵,故存在正交矩阵Q使 第77页/共144页Proof.故存在正交矩阵Q使 ex5.见P95/例例第78页/共144页思考题1.Solution.第79页/共144页The end 第80页/共144页思考题2.Solution.The end 第81页/共144页Chapter 4(5)特征值与矩阵对角化习题课第82页/共144页一、内容小结1.正交矩阵的定义
9、与性质3.相似矩阵的定义与性质4.矩阵可对角化的条件2.特征值特征向量的定义与性质5.实对称矩阵特征值特征向量的性质第83页/共144页二、题型与方法2.判别矩阵是否可对角化，找可逆矩阵使其与对角阵相似1.求特征值特征向量3.实对称矩阵的对角化（可逆变换与正交变换）第84页/共144页Solution.第85页/共144页第86页/共144页Solution 1.第87页/共144页第88页/共144页或者 第89页/共144页Solution 1.第90页/共144页Solution 2.第91页/共144页Solution 3.第92页/共144页第93页/共144页Solution.第9
10、4页/共144页第95页/共144页The end 第96页/共144页Chapter 4特征值与特征向量小结第97页/共144页一、内容小结2.相似矩阵的定义与性质3.矩阵可对角化的条件1.特征值特征向量的定义与性质4.正交矩阵的定义与性质5.实对称矩阵特征值特征向量的性质第98页/共144页1.特征值特征向量的定义与性质定义.(1)属于不同特征值的特征向量是线性无关的(2)属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量(3)矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值第99页/共144页有非0解.结论1.方
11、阵A的特征值的几何重数不超过它的代数重数.第100页/共144页结论2.对角阵、上三角阵、下三角阵的特征值即为其主对角线上的元素.结论3.结论4.结论5.若 是矩阵 A的特征值,x是 A的属于 的特征向量,则第101页/共144页2.相似矩阵的定义与性质第102页/共144页第103页/共144页3.矩阵可对角化的条件定理1.结论1.若n阶矩阵A有n个互不相等的特征值,则A与对角阵相似.结论2.结论3.实对称矩阵一定可对角化.4.正交矩阵的定义与性质第104页/共144页若P为正交矩阵,则线性变换y=Px称为正交变换.正交变换不改变向量的长度,也不改变两向量间的内积及夹角.第105页/共144
12、页5.实对称矩阵特征值特征向量的性质(1)(1)实对称矩阵的特征值为实数.(2)(2)实对称矩阵的特征向量为实向量.(3)(3)实对称矩阵A对应于不同特征值的特征 向量是正交的.(4)(4)实对称矩阵的每个特征值的代数重数 与几何重数相等.定理.第106页/共144页二、题型与方法2.判别矩阵是否可对角化，找可逆矩阵使其与对角阵相似1.求特征值特征向量3.实对称矩阵的对角化（可逆变换与正交变换）第107页/共144页利用可逆矩阵将实对称矩阵对角化,其具体步骤为：利用正交矩阵将实对称矩阵对角化,其具体步骤为：第108页/共144页1.求特征值特征向量Solution.第109页/共144页第11
13、0页/共144页第111页/共144页Solution.第112页/共144页Proof.?第113页/共144页2.判别矩阵是否可对角化，找可逆矩阵使其对角化ex4.判断下列实矩阵能否化为对角阵？Solution.第114页/共144页=其代数重数.因而A可对角化.=其代数重数.第115页/共144页故 不能化为对角矩阵.第116页/共144页且知A有一特征值为1,求x的值及A的其它特征值,并判断A是否能与对角阵相似？Solution.第117页/共144页第118页/共144页第119页/共144页 A能否对角化？若能对角化,则求出可逆矩阵P,Solution.第120页/共144页得基础
14、解系第121页/共144页所以 可对角化.得基础解系第122页/共144页Solution.第123页/共144页第124页/共144页3.实对称矩阵的对角化第125页/共144页Solution.求得基础解系第126页/共144页正交化,单位化,第127页/共144页求得基础解系为单位化,第128页/共144页4.简单证明题及其它Proof.第129页/共144页Solution.第130页/共144页第131页/共144页Solution 1.第132页/共144页第133页/共144页或者 第134页/共144页Solution 1.第135页/共144页Solution 2.第136页/共144页Solution 3.第137页/共144页第138页/共144页Solution.第139页/共144页第140页/共144页第141页/共144页Solution.(1)第142页/共144页(2).The end 第143页/共144页感谢您的观看！第144页/共144页