《行列式线性代数教程.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《行列式线性代数教程.pptx（36页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、会计学1行列式线性代数教程行列式线性代数教程n n我们先从解二元线性方程组引我们先从解二元线性方程组引入二阶行列式的概念及计算入二阶行列式的概念及计算考虑二元线性方程组考虑二元线性方程组 一、一、一、一、二阶行列式二阶行列式二阶行列式二阶行列式第1页/共36页如果如果 那么方程组的解为那么方程组的解为 第2页/共36页 如果对于方程组的系数如果对于方程组的系数,按其在方程组中出现的位置相应地排列成一个方形表按其在方程组中出现的位置相应地排列成一个方形表 引入记号引入记号|那么就可以得到一个二阶行列式，并规定为那么就可以得到一个二阶行列式，并规定为 此式的右端称为二阶行列式的展开式此式的右端称为
2、二阶行列式的展开式 aij(i=1,2;j=1,2)称为二阶行列式的元素，横排的称为行，竖排的称为列称为二阶行列式的元素，横排的称为行，竖排的称为列第3页/共36页例例1 1 计算下列各行列式计算下列各行列式第4页/共36页类似地，三元线性方程组类似地，三元线性方程组 二、二、二、二、三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式第5页/共36页的系数所构成的行列式规定为的系数所构成的行列式规定为 此式的右端称为三阶行列式按第一行的展开式此式的右端称为三阶行列式按第一行的展开式第6页/共36页 三阶行列式的计算方法可用图示记忆法，凡是实线上三个元素相乘所得到的项带正号，凡是虚线上三个元素相乘所得到的
3、项带负号这种展开法称为对角线展开法三阶行列式的计算方法可用图示记忆法，凡是实线上三个元素相乘所得到的项带正号，凡是虚线上三个元素相乘所得到的项带负号这种展开法称为对角线展开法 这种展开法称为对角线展开法这种展开法称为对角线展开法第7页/共36页下面介绍三阶行列式的展开式下面介绍三阶行列式的展开式：第8页/共36页其中其中A11、A12、A13分别称为分别称为a11、a12、a13的代数余子式，的代数余子式，第9页/共36页例例2 2 计算下列三阶行列式：计算下列三阶行列式：第10页/共36页第11页/共36页三、三、三、三、n n n n阶行列式阶行列式阶行列式阶行列式 一个三阶行列式可以用三
4、个二阶行列式来表示，一个三阶行列式可以用三个二阶行列式来表示，一个三阶行列式可以用三个二阶行列式来表示，一个三阶行列式可以用三个二阶行列式来表示，所以可以用二阶行列式来定义三阶行列式，可以用三所以可以用二阶行列式来定义三阶行列式，可以用三所以可以用二阶行列式来定义三阶行列式，可以用三所以可以用二阶行列式来定义三阶行列式，可以用三阶行列式来定义四阶行列式，阶行列式来定义四阶行列式，阶行列式来定义四阶行列式，阶行列式来定义四阶行列式，依此类推，一般，依此类推，一般，依此类推，一般，依此类推，一般地，可以用地，可以用地，可以用地，可以用n n n n个个个个n n n n-1-1-1-1阶行列式来定
5、义阶行列式来定义阶行列式来定义阶行列式来定义n n n n阶行列式，下面阶行列式，下面阶行列式，下面阶行列式，下面给出给出给出给出n n n n阶行列式的定义：阶行列式的定义：阶行列式的定义：阶行列式的定义：定义定义 设设n-1阶行列式已经定义，规定阶行列式已经定义，规定n阶行列式阶行列式第12页/共36页其中其中 A A1j1j=(-1)=(-1)1+j1+jM M1j 1j(j=1,2,=1,2,n)这里这里M1j为元素为元素a1j的余子式，即为划掉的余子式，即为划掉A的第的第1行第行第j列后所得的列后所得的n-1阶行列式，阶行列式，A1j称为称为a1j的代数余子式的代数余子式第13页/共
6、36页由定义可以看出，行列式是由行列式不同行、不同列的元素的乘积构成的和式这种定义方法称为归纳定义，通常，把上述定义简称为按行列式的第由定义可以看出，行列式是由行列式不同行、不同列的元素的乘积构成的和式这种定义方法称为归纳定义，通常，把上述定义简称为按行列式的第1行展开行展开第14页/共36页解解 因为因为a12 12=a13 13=0=0 所以由定义所以由定义第15页/共36页例例4 4 计算行列式计算行列式.第16页/共36页解解 由定义，将由定义，将Dn 按第一行展开，得按第一行展开，得第17页/共36页行列式行列式D与它的转置行列式与它的转置行列式DT的值相等的值相等 如果行列式的某一
7、行（列）的每一个元素都是二项式，则此行列式等于把这些二项式各取一项作成相应的行（列），其余的行（列）不变的两各行列式的和如果行列式的某一行（列）的每一个元素都是二项式，则此行列式等于把这些二项式各取一项作成相应的行（列），其余的行（列）不变的两各行列式的和四、行列式的性质四、行列式的性质四、行列式的性质四、行列式的性质性质性质1 1性质性质2 2第18页/共36页 如果把行列式如果把行列式D的某一列（行）的每一个元素同乘以一个常数的某一列（行）的每一个元素同乘以一个常数k则此行列式的值等于则此行列式的值等于kD也就是说，行列式中某一列（行）所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面也就是说，行列
8、式中某一列（行）所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面 如果把行列式的某两列（或两行）对调，则所得的行列式与原行列式的绝对值相等，符号相反如果把行列式的某两列（或两行）对调，则所得的行列式与原行列式的绝对值相等，符号相反 如果行列式的某两列（或两行）的对应元素相同，则此行列式的值等于零如果行列式的某两列（或两行）的对应元素相同，则此行列式的值等于零 如果行列式的某两列（或两行）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零如果行列式的某两列（或两行）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零 “行列式的两列对应元素成比例行列式的两列对应元素成比例”就是指存在一个常数就是指存在一个常数k，使使ali=ka
9、lj(l=1,2n)性质性质3 3性质性质4 4推论推论性质性质5 5第19页/共36页第20页/共36页 如果把行列式的某一列（行）的每一个元素加上另一列（行）的对应元素的如果把行列式的某一列（行）的每一个元素加上另一列（行）的对应元素的k倍，则所得行列式与原行列式的值相等倍，则所得行列式与原行列式的值相等由于行列式的整个计算过程方法灵活，变化较多，为了便于书写和复查，在计算过程中约定采用下列标记方法：由于行列式的整个计算过程方法灵活，变化较多，为了便于书写和复查，在计算过程中约定采用下列标记方法：1.以（以（r）代表行，（代表行，（c）代表列代表列2.把第把第i 行（或第行（或第i 列）的
10、每一个元素加上第列）的每一个元素加上第j 行（或第行（或第j 列）列）对应元素的对应元素的k倍，记作（倍，记作（ri）+k（rj）或（或（ci）+k（cj）3.互换互换i 行（列）和行（列）和j 行（列），记作（行（列），记作（ri）（rj）或（或（ci）（cj）性质性质6 6第21页/共36页04320-1-110447第22页/共36页00-1600011第23页/共36页第24页/共36页第25页/共36页 行列式行列式D等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即D=ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin （
11、i=1,2,n）行列式行列式D的一行元素分别与另一行对应的代数余子式之乘积的和等于零，即的一行元素分别与另一行对应的代数余子式之乘积的和等于零，即aj1Ai1+aj2Ai2+ajnAin=0 （i,j=1,2,n,ij）例例按第三行展开计算行列式按第三行展开计算行列式 性质性质7 7推论推论第26页/共36页第27页/共36页设设n元元n个方程组为个方程组为 其系数行列式为其系数行列式为 五、五、五、五、克莱姆法则克莱姆法则克莱姆法则克莱姆法则.第28页/共36页 在系数行列式在系数行列式D 中第中第 j 列的元素依次改换为列的元素依次改换为b1，b2，bn，得到的行列式记作得到的行列式记作D
12、j，即：即：第29页/共36页关于线性方程组（关于线性方程组（1）的解有下述法则：）的解有下述法则：当线性方程组（当线性方程组（1）的系数行列式）的系数行列式D0时，该方程组有且只有唯一解：时，该方程组有且只有唯一解：例例 用克莱姆法则解方程组用克莱姆法则解方程组 克莱姆法则克莱姆法则第30页/共36页解解 因为因为第31页/共36页经计算还可得到经计算还可得到第32页/共36页第33页/共36页方程组的解为方程组的解为第34页/共36页、行列式的概念、行列式的概念.、行列式的性质、行列式的性质.、行列式的计算、行列式的计算.七、小结七、小结七、小结七、小结作业作业4、克莱姆法则、克莱姆法则第35页/共36页