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1、概率统计概率统计(浙大三版浙大三版)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征 分布函数能完整地描述分布函数能完整地描述 r.v.的统计特性的统计特性,但但实际应用中并不都需要知道分布函数，而只需知实际应用中并不都需要知道分布函数，而只需知道道 r.v.的某些特征的某些特征.判断棉花质量时判断棉花质量时,既看纤维的平均长度既看纤维的平均长度 平均长度越长平均长度越长,偏离程度越小偏离程度越小,质量就越好质量就越好;又要看又要看 纤维长度与平均长度的偏离程度纤维长度与平均长度的偏离程度例如例如：考察一射手的水平考察一射手的水平,既要看他的平均环数既要
2、看他的平均环数是否高是否高,还要看他弹着点的范围是否小还要看他弹着点的范围是否小,即数即数据的波动是否小据的波动是否小.第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征概率统计概率统计(浙大三版浙大三版)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征 由上面例子看到，与由上面例子看到，与 r.v.有关的某些数值，有关的某些数值，虽不能完整地描述虽不能完整地描述 r.v.但能清晰地描述但能清晰地描述 r.v.在某在某些方面的重要特征些方面的重要特征,这些数字特征在理论和实这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义践上都具有重要意义.q r.v.的平均取值
3、的平均取值 数学期望数学期望 q r.v.取值平均偏离均值的情况取值平均偏离均值的情况 方差方差q 描述两描述两 r.v.间的某种关系的数间的某种关系的数 协方差与相关系数协方差与相关系数本本章章内内容容概率统计概率统计(浙大三版浙大三版)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征第一节第一节 随机变量的数学期望随机变量的数学期望一、数学期望的定义一、数学期望的定义二、数学期望的性质二、数学期望的性质概率统计概率统计(浙大三版浙大三版)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征引例引例 学生甲乙参加数学
4、竞赛学生甲乙参加数学竞赛,观察其胜负观察其胜负4.1 4.1 加加 权权 平平 均均初初赛赛复复赛赛决决赛赛总总成成绩绩算术算术平均平均甲甲乙乙90 85 53 228 7688 80 57 225 75胜者胜者 甲甲 甲甲 乙乙 甲甲 甲甲3:3:4 2:3:5 2:2:6 73.7 70.0 66.8 73.2 70.1 67.8 甲甲 乙乙 乙乙概率统计概率统计(浙大三版浙大三版)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征为这为这 3 个数字的加权平均个数字的加权平均称称数学期望的概念源于此数学期望的概念源于此概率统计概率统计(浙大三版浙大三
5、版)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征设设 X 为离散为离散 r.v.其分布为其分布为若无穷级数若无穷级数其和为其和为 X 的数学期望的数学期望 记作记作 E(X),即即一、数学期望的定义一、数学期望的定义定义定义绝对收敛绝对收敛,则称则称概率统计概率统计(浙大三版浙大三版)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征设连续设连续 r.v.X 的的 d.f.为为若广义积分若广义积分绝对收敛绝对收敛,则称此积分为则称此积分为 X 的数学期望的数学期望记作记作 E(X),即即 数学期望的本质数学期望的
6、本质 加权平均，加权平均，它是一个数不再是它是一个数不再是 r.v.r.v.定义定义概率统计概率统计(浙大三版浙大三版)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征例例1 1 X B(n,p),求求 E(X).解解特例特例 若若Y B(1,p),则则 E(Y)例例1 1概率统计概率统计(浙大三版浙大三版)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征例例2 2 X N(,2),求求 E(X).解解例例3 3 设设 X 参数为参数为 p 的几何分布的几何分布,求求E(X).解解例例2 2概率统计概率统计(浙大三
7、版浙大三版)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征常见常见 r.v.的数学期望的数学期望分布分布期望期望概率分布概率分布参数为参数为p 的的 0-1分布分布pB(n,p)npP()概率统计概率统计(浙大三版浙大三版)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征分布分布期望期望概率密度概率密度区间区间(a,b)上的上的均匀分布均匀分布E()N(,2)概率统计概率统计(浙大三版浙大三版)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征注意注意 不是所有的不是所有的
8、r.v.都有数学期望都有数学期望例如例如：柯西：柯西(Cauchy)分布的密度函数为分布的密度函数为但但发散发散它的数学期望不存在它的数学期望不存在!概率统计概率统计(浙大三版浙大三版)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征q 设离散设离散 r.v.X 的概率分布为的概率分布为 若无穷级数若无穷级数绝对收敛，则绝对收敛，则q 设连续设连续 r.v.的的 d.f.为为f(x)绝对收敛绝对收敛,则则若广义积分若广义积分 r.v.函数函数 Y=g(X)的数学期望的数学期望概率统计概率统计(浙大三版浙大三版)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四章、
9、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征q 设离散设离散 r.v.(X,Y)的概率分布为的概率分布为Z=g(X,Y),绝对收敛绝对收敛,则则若级数若级数概率统计概率统计(浙大三版浙大三版)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征q 设连续设连续 r.v.(X,Y)的联合的联合 d.f.为为f(x,y)，Z=g(X,Y),绝对收敛绝对收敛,则则若广义积分若广义积分概率统计概率统计(浙大三版浙大三版)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征例例3 3 设设(X,Y)N(0,1;0,1;0),求求的数
10、学期望的数学期望.解解例例3 3概率统计概率统计(浙大三版浙大三版)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征解解(1)设整机寿命为设整机寿命为 N,五个独立元件五个独立元件,寿命分别为寿命分别为都服从参数为都服从参数为 的指数分布，若将它们的指数分布，若将它们 (1)串联；串联；(2)并联并联成整机，求整机寿命的均值成整机，求整机寿命的均值.例例4 4例例4 4概率统计概率统计(浙大三版浙大三版)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征即即 N E(5),(2)设整机寿命为设整机寿命为 概率统计概率
11、统计(浙大三版浙大三版)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征 可见可见,并联组成整机的平均寿命比串联并联组成整机的平均寿命比串联组成整机的平均寿命长组成整机的平均寿命长11倍之多倍之多.概率统计概率统计(浙大三版浙大三版)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征例例5 5 设设X N(0,1),Y N(0,1),X,Y 相互独相互独立，求立，求E(max(X,Y).解解D1D2例例5 5概率统计概率统计(浙大三版浙大三版)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四章、随机变量的数字特征第四章、随机
12、变量的数字特征其中其中 称为称为 概率积分概率积分概率统计概率统计(浙大三版浙大三版)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征一般地，若一般地，若X,Y 相互独立，则相互独立，则所以所以 概率统计概率统计(浙大三版浙大三版)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征q E(C)=Cq E(aX)=a E(X)q E(X+Y)=E(X)+E(Y)q 当当X,Y 独立时，独立时，E(X Y)=E(X)E(Y).q 若存在数若存在数 a 使使 P(X a)=1,则则 E(X)a；若存在数若存在数 b 使使
13、P(X b)=1,则则 E(X)b.二、数学期望的性质二、数学期望的性质常数常数期望性质期望性质概率统计概率统计(浙大三版浙大三版)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征 设设 X 连续，连续，d.f.为为 f(x),分布函数为分布函数为 F(x),则则故故证证 性质性质5概率统计概率统计(浙大三版浙大三版)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征例例6 6 一民航送客车载有一民航送客车载有20位旅客自机场开出位旅客自机场开出,旅旅客有客有10个车站可以下车个车站可以下车.如到一个车站没有旅客如到
14、一个车站没有旅客下车就不停车下车就不停车.以以X表示停车次数表示停车次数,求求E(X)(设每位设每位旅客在各个车站下车是等可能的旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是并设各旅客是否下车相互独立否下车相互独立).例例6 6解解:引入引入 X i ,i=1,2,10概率统计概率统计(浙大三版浙大三版)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征概率统计概率统计(浙大三版浙大三版)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征例例7 7 设二维设二维 r.v.(X,Y)的的 d.f.为为求求E(X),E(Y),
15、E(X+Y),E(X Y),E(Y/X)解解 例例7 7概率统计概率统计(浙大三版浙大三版)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征由数学期望性质由数学期望性质X,Y 独立独立概率统计概率统计(浙大三版浙大三版)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征据统计据统计65岁的人在岁的人在10年内正常死亡年内正常死亡解解例例8 8的概率为的概率为0.98,因事故死亡概率为因事故死亡概率为0.02.保险保险公司开办老人事故死亡保险公司开办老人事故死亡保险,参加者需交纳参加者需交纳保险费保险费100元元.若若
16、10 年内年内因事故死亡公司赔偿因事故死亡公司赔偿 a 元元,应如何定应如何定 a,才能使公司可期望获益才能使公司可期望获益;若有若有1000人投保人投保,公司期望总获益多少公司期望总获益多少?设设Xi 表示公司从第表示公司从第 i 个投保者身上所得个投保者身上所得的收益的收益,i=11000.则则Xi 0.98 0.02100 100应用应用1 1概率统计概率统计(浙大三版浙大三版)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征由题设由题设 公司每笔赔偿小于公司每笔赔偿小于5000元元,能使公司获益能使公司获益.公司期望总收益为公司期望总收益为若公司
17、每笔赔偿若公司每笔赔偿3000元元,能使公司期望能使公司期望总获益总获益40000元元.概率统计概率统计(浙大三版浙大三版)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征 为普查某种疾病为普查某种疾病,n 个人需验血个人需验血.验血方验血方案有如下两种：案有如下两种：(1)分别化验每个人的血分别化验每个人的血,共需化验共需化验 n 次；次；(2)分组化验分组化验,k 个人的血混在一起化验个人的血混在一起化验,若若(3)结果为阴性结果为阴性,则只需化验一次则只需化验一次;若为阳性若为阳性,则则(4)对对 k 个人的血逐个化验个人的血逐个化验,找出有病者找
18、出有病者,此时此时(5)k 个人的血需化验个人的血需化验 k+1 次次.(6)设每人血液化验呈阳性的概率为设每人血液化验呈阳性的概率为 p,且且(7)每人化验结果是相互独立的每人化验结果是相互独立的.试说明选择哪试说明选择哪(8)一方案较经济一方案较经济.验血方案的选择验血方案的选择例例9 9应用应用2 2概率统计概率统计(浙大三版浙大三版)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征解解 只须计算方案只须计算方案(2)所需化验次数的期望所需化验次数的期望.为简单计为简单计,不妨设不妨设 n 是是 k 的倍数，共分成的倍数，共分成 n/k 组组.设第
19、设第 i 组需化验的次数为组需化验的次数为X i,则则Xi P 1 k+1 概率统计概率统计(浙大三版浙大三版)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征若若则则E(X)n例如例如,当当 时时,选择方案选择方案(2)较经济较经济.概率统计概率统计(浙大三版浙大三版)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征 市场上对某种产品每年需求量为市场上对某种产品每年需求量为 X 吨吨，X U 2000,4000,每出售一吨可赚每出售一吨可赚3万元万元,售不出去，则每吨需仓库保管费售不出去，则每吨需仓库保管费1万元，问应该生产这中商品多少吨万元，问应该生产这中商品多少吨,才能才能使平均利润最大？使平均利润最大？解解设每年生产设每年生产 y 吨的利润为吨的利润为 Y 显然，显然，2000 y 4000例例1010应用应用3 3概率统计概率统计(浙大三版浙大三版)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征概率统计概率统计(浙大三版浙大三版)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四章、随机变量的数字特征第四章、随机变量的数字特征显然，显然，故故 y=3500 时时,E(Y)最大最大,E(Y)=8250万元万元作业作业:P138 习题习题 5、6、7、9、13