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1、 工工 程程 图图 学学 基基 础础第第2章章 点、直线和平面的投影点、直线和平面的投影2.1 2.1 投影法的基本知识投影法的基本知识 2.2 2.2 点的投影点的投影2.3 2.3 直线的投影直线的投影2.4 2.4 平面的投影平面的投影下一页下一页 工工 程程 图图 学学 基基 础础Pa投射线投射线S A 空间点空间点 投影法投影法投影法投影法是是投射线通过物体，向选定的平面投射，并在投射线通过物体，向选定的平面投射，并在该平面上得到图形的方法。该平面上得到图形的方法。上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录2.1 2.1 投影法的基本知识投影法的基本知识2.1.1 2.1.1 投影法投
2、影法投射中心投射中心投影面投影面投影投影 光源光源投射中心投射中心光线光线投射线投射线 选定的平面选定的平面投影面投影面 在投影面上所得到的在投影面上所得到的 图形图形投影投影概念概念 工工 程程 图图 学学 基基 础础2.1.2 2.1.2 投影法的分类投影法的分类根据根据投射线的类型投射线的类型（汇交或平行）不同：（汇交或平行）不同：投影法投影法中心投影法（投射线汇交）中心投影法（投射线汇交）平行投影法（投射线平行）平行投影法（投射线平行）上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础1.1.中心投影法中心投影法中心投影法中心投影法 :投射线汇交一点的投影法。
3、投射中心、物体、投射线汇交一点的投影法。投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。作图比较投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。作图比较麻烦，且度量性较差。麻烦，且度量性较差。投射中心投射中心画透视图画透视图P物体物体上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础 教学楼（透视图）教学楼（透视图）上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础2.2.平行投影法平行投影法平行投影法平行投影法 :投射线相互平行的投影法。投影大小与物体投射线相互平行的投影法。投影大小与物体和投影面之间的距离无关。度量性较好。和投影面
4、之间的距离无关。度量性较好。平行投影法平行投影法斜投影法（倾斜）斜投影法（倾斜）正投影法（垂直）正投影法（垂直）根据根据投射线投射线和和投影面投影面的相对位置（垂直或倾斜）不同：的相对位置（垂直或倾斜）不同：上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础正投影法正投影法斜投影法斜投影法正投影法：正投影法：投射线与投影面相垂直的平行投影法。投射线与投影面相垂直的平行投影法。斜投影法：斜投影法：投射线与投影面相倾斜的平行投影法。投射线与投影面相倾斜的平行投影法。上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础斜投影法斜投影法正投影法正投影法
5、 工程图样工程图样（零件图和装配图）（零件图和装配图）多面投影图多面投影图单面投影图单面投影图 单面投影图单面投影图 辅助图样辅助图样（正等轴测图）（正等轴测图）辅助图样辅助图样 （斜二轴测图）（斜二轴测图）用途用途用途用途平行投影法的用途：平行投影法的用途：上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础上一页上一页下一页下一页返回返回机械零件图机械零件图轴（工程图）轴（工程图）工工 程程 图图 学学 基基 础础上一页上一页下一页下一页返回返回齿轮（轴测图）齿轮（轴测图）工工 程程 图图 学学 基基 础础 工程上常用的投影图工程上常用的投影图1.1.正投影图（多面
6、）正投影图（多面）2.2.轴测图（单面）轴测图（单面）3.3.透视图（单面）透视图（单面）4.4.标高投影图（单面）标高投影图（单面）上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础工程上常用的投影图工程上常用的投影图工程上常用的投影图工程上常用的投影图图样名称图样名称 特特 点点应应 用用正投影图正投影图（多（多 面）面）优点：优点：能准确表达物体形状和大小，能准确表达物体形状和大小，且作图方便。且作图方便。缺点：缺点：缺乏立体感，直观性较差，缺乏立体感，直观性较差，要运用正投影法对照几个投影才能想象要运用正投影法对照几个投影才能想象出物体的形状。出物体的形状。在
7、工程上，正投影图是最常用的在工程上，正投影图是最常用的图样。如：图样。如：（1）零件图）零件图 （2）装配图）装配图轴轴 测测 图图 （单（单 面）面）优点：优点：一个图形能同时反映物体的一个图形能同时反映物体的正面、水平面和侧面的形状，而富有立正面、水平面和侧面的形状，而富有立体感。体感。缺点：缺点：不能反映物体各表面的实形，不能反映物体各表面的实形，且作图较复杂。且作图较复杂。在工程上，常把轴测图用作辅助在工程上，常把轴测图用作辅助图样，说明产品的结构和使用方法；图样，说明产品的结构和使用方法；在设计和测绘中，帮助进行空间构在设计和测绘中，帮助进行空间构思和想象物体形状；空间机构和管思和想
8、象物体形状；空间机构和管路布局。如：路布局。如：（1）正等测）正等测 （2）斜二测）斜二测透透 视视 图图（单（单 面）面）优点：优点：透视投影符合人的视觉映象，透视投影符合人的视觉映象，看起来自然、逼真。看起来自然、逼真。缺点：缺点：作图复杂，度量性差。作图复杂，度量性差。主要用于建筑工业设计等工程中，主要用于建筑工业设计等工程中，如绘制效果图或建筑物的外形。如绘制效果图或建筑物的外形。标高投影图标高投影图（单（单 面）面）优点：优点：能解决物体高度方向的度量能解决物体高度方向的度量问题。问题。主要用于地图以及土建工程图中主要用于地图以及土建工程图中表示土木结构或地形。表示土木结构或地形。上
9、一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础1.1.实形性实形性CDEBAPabedc当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。2.1.3 2.1.3 正投影法的基本特性正投影法的基本特性上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础2.2.积聚性积聚性edca（b）CDEBAP当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。当线段或平面垂直于投影面时，其投影积聚为点或线段。上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础3.3.类似性类似性CDE
10、edcBAabP当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。当线段或平面倾斜于投影面时，其投影变短或变小。上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础正投影法的基本特性正投影法的基本特性 1.1.实形性实形性 当线段或平面平行于投影面时，其当线段或平面平行于投影面时，其投影反映实长或实形。投影反映实长或实形。2.2.积积聚聚性性 当当线线段段或或平平面面垂垂直直于于投投影影面面时时，其其投影积聚为点或线段。投影积聚为点或线段。3.3.类类似似性性 当当线线段段或或平平面面倾倾斜斜于于投投影影面面时时，其其投影变短或变小。投影变短或变小。上一页上一页下一页下一页
11、返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础HVOXa aA点点的的一一个个投投影影能能否否确确定定该该点点的的空空间间位位置置？问题的提出2.2 2.2 点的投影点的投影 2.2.1 2.2.1 点的三面投影点的三面投影 上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础1.1.三面投影体系的建立三面投影体系的建立HVXOZYW 三投影面体系由三投影面体系由:正立投影面（正立投影面（V V面）、水平投影面（面）、水平投影面（H H面）、侧立投影面（面）、侧立投影面（W W面）三个投影面构成。三个投影面的面）三个投影面构成。三个投影面的交线交线OXOX、OYO
12、Y、OZOZ称为投影轴，三个投影轴的交点称为原点。称为投影轴，三个投影轴的交点称为原点。上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础2.2.点的三面投影点的三面投影HVXZYWOA 点的三面投影图是将空间点向三个投影面作正投影后，点的三面投影图是将空间点向三个投影面作正投影后，将三个投影面将三个投影面展开展开在同一个面后得到的。展开时，规定在同一个面后得到的。展开时，规定V V面面不动，不动，H H面向下旋转面向下旋转9090，W W面向右旋转面向右旋转9090。aaaHa a VWXOZYWYHaa a XOZYWYHa规定规定（以点（以点A为例）：为例）：H
13、面投影水平投影面投影水平投影aV面投影正面投影面投影正面投影aW面投影侧面投影面投影侧面投影a上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础3.3.点的投影规律点的投影规律HVXZYWOayaxazaaaa aa XOZYWYHaxayazayA（1）a aOX 轴轴 aaY=a az=A 到到W 面的距面的距离离（2）a a OZ 轴轴 a ax=a aY=A 到到H 面面的距离的距离（3）aax=a az=A 到到V 面的距面的距离离长对正长对正高平齐高平齐宽相等宽相等上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础例例1 1 已知
14、点已知点A A的正面与侧面投影，求点的正面与侧面投影，求点A A的水平投影。的水平投影。ZYHXYWOa a a分析及作图过程分析及作图过程:（1）依据）依据“长对正长对正”，过过a 做垂直做垂直OX轴的垂直轴的垂直辅助线。辅助线。（2）根据）根据“宽相等宽相等”，可先作出可先作出“45等宽线等宽线”，过，过a 作作OYOYW W的垂线与的垂线与45线相交，过交点向左线相交，过交点向左作水平辅助线。作水平辅助线。（3）垂直辅助线和水平）垂直辅助线和水平辅助线的交点即为辅助线的交点即为A点点的水平投影的水平投影a。上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础xA4
15、.4.点的投影与直角坐标的关系点的投影与直角坐标的关系 若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴为直角坐标轴，若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴为直角坐标轴，点的点的投影就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。投影就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。aa XOZYWYHaxayazayyAxAzAHVXZYWOAayaxazaaaa yAxAyAzAzAA(xA,yA,zA)；a(xA,yA)；a (xA,zA)；a (yA,zA)(xA,yA,zA)上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础例例2 2 已知点已知点B B
16、的坐标为（的坐标为（25,20,30)25,20,30)，求作点，求作点B B的三面投影。的三面投影。XYWYHZO（2）在）在OX轴上截取坐标长度轴上截取坐标长度25，过截点作垂直线。过截点作垂直线。（3）在）在OZ轴上截取坐标长度轴上截取坐标长度30，过截点作水平线，得到过截点作水平线，得到a 。（4）在）在OY轴上截取坐标长度轴上截取坐标长度20，作出投影作出投影a、a。aaa302520（1）建立投影体系。）建立投影体系。分析及作图过程：分析及作图过程：上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础XOZYWa a ab b b c c c 5.5.特殊位
17、置点的投影特殊位置点的投影投影面上的点投影面上的点：一个投影与投影面重合，另两个投影投影轴上。一个投影与投影面重合，另两个投影投影轴上。投影轴上的点投影轴上的点：两个投影与投影轴重合，另一个投影在原点上。两个投影与投影轴重合，另一个投影在原点上。与原点重合的点与原点重合的点：点的三个坐标为零，三个投影都与原点重合。点的三个坐标为零，三个投影都与原点重合。HVXZYWaa a c c c Ob b b AC YHB 上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础1.1.两点相对位置的确定两点相对位置的确定XOZYa a ab b bBA 两点的相对位置是根据两点相对
18、于投影面的距离远近两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近（或坐标大小）来确定的。（或坐标大小）来确定的。X X坐标值大的点在左；坐标值大的点在左；Y Y坐标值坐标值大的点在前；大的点在前；Z Z坐标值大的点在上。坐标值大的点在上。XZYWYHO 两点之间的相对位置关系两点之间的相对位置关系上下左右后前左右A点在B点（）方。右上前右上前YH上下后后后后前前前前aa aaa b bb 上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础2.2.重影点重影点 若两点位于某投影面的若两点位于某投影面的同一条同一条投射线上，则这两点在该投投射线上，则这两点在该投影面上的投
19、影重合，这两点称为该投影面的重影点。影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。Dc(d)a(b)abABcdCOX重影点的重影点的可见性可见性判别：判别：上遮下上遮下 前遮后前遮后 左遮右左遮右被遮挡的投影加被遮挡的投影加“（）（）”上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础OXZYaZXOYHYW 空间任何一直线可由直线上任意两点所确定，直线在某空间任何一直线可由直线上任意两点所确定，直线在某一投影面的投影可由该直线上某两点的同面投影所确定。一投影面的投影可由该直线上某两点的同面投影所确定。a a ab bb bbbaaAB2.3.1 2.3.1 直线的
20、投影直线的投影2.3 2.3 直线的投影直线的投影上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础投影面平行线投影面平行线投影面垂直线投影面垂直线正平线（正平线（V，对，对H、W倾斜倾斜）侧平线（侧平线（W，对，对H、V倾斜倾斜）水平线（水平线（H，对，对V、W倾斜倾斜）正垂线（正垂线（V面，面，H，W）侧垂线（侧垂线（W面，面，H，V）铅垂线（铅垂线（H面，面，V，W）一般位置直线一般位置直线特殊位置直线特殊位置直线与三个投影面与三个投影面都倾斜的直线都倾斜的直线平行于一个投影面，平行于一个投影面，与其它两个投影面与其它两个投影面倾斜的直线倾斜的直线垂直于一个投影
21、面，垂直于一个投影面，与其它两个投影面与其它两个投影面平行的直线平行的直线2.3.2 2.3.2 各种位置直线的投影特性各种位置直线的投影特性投影面倾斜线投影面倾斜线上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础OXZY1.1.一般位置直线投影特性一般位置直线投影特性ABbbabaaZXabaOYHYWabb投影特性：投影特性：(1)(1)三面投影都倾斜于投影轴。（三面投影都倾斜于投影轴。（2 2）投影的长度）投影的长度均小于实长，且不反映对投影面的倾角均小于实长，且不反映对投影面的倾角 、。上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基
22、础础XZYO正平线正平线 平行于正面投影面的直线平行于正面投影面的直线Xab baOZYHYW 投影特性：投影特性：（1 1）在其平行的投影面上：）在其平行的投影面上：a b=AB，反映反映 、角的真实大小角的真实大小。（。（2）另两投影面上：另两投影面上：ab OX;a b OZ。2.2.投影面平行线的投影特性投影面平行线的投影特性abaababbAB上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础XZYO侧平线侧平线 平行于侧面投影面的直线平行于侧面投影面的直线XZOYHYWa b ba投影特性：投影特性：（1 1）在其平行的投影面上：）在其平行的投影面上：a
23、b =AB，反映反映、角的真实大小角的真实大小。（。（2）另两投影面上：另两投影面上：a b OZ;ab OYH。baaa b a bbAB上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础 水平线水平线 平行于水平投影面的直线平行于水平投影面的直线XZYOaababb Xa b ab OZYHYWAB投影特性：投影特性：（1 1）在其平行的投影面上：）在其平行的投影面上：ab=AB，反映反映、角角的真实大小的真实大小。（。（2）另两投影面上：另两投影面上：a b OX;a b OYW。ba上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础
24、投影面平行线的投影特性投影面平行线的投影特性(1)(1)直线在所平行的投影面上的投影直线在所平行的投影面上的投影,反映其实长和反映其实长和直线对另外两个投影面的倾角（具有实形性）。直线对另外两个投影面的倾角（具有实形性）。(2)(2)直线在另外两个投影面上的投影分别平行于相直线在另外两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴应的投影轴,且小于实长（具有类似性）。且小于实长（具有类似性）。上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础正垂线正垂线 垂直于正面投影面的直线垂直于正面投影面的直线OXZY投影特性：投影特性：（1）在其垂直的投影面上：）在其垂直的投影面上：a
25、 b 积聚积聚 成一点。成一点。（2）另两面投影上：）另两面投影上：ab=a b =AB;ab OX;a b OZ。ZX（a）b baOYHYWabb(a)babaAB3.3.投影面垂直线的投影特性投影面垂直线的投影特性 上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础侧垂线侧垂线 垂直于侧面投影面的直线垂直于侧面投影面的直线OXZYZXa(b)baOYHYWab投影特性：投影特性：（1）在其垂直的投影面上：）在其垂直的投影面上：a b 积聚积聚 成一点。成一点。（2）另两面投影上：）另两面投影上：ab=a b =AB;ab OYH;a b OZ。a(b)baabA
26、B上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础OXZYZb Xa b a(b)OYHYWa 铅垂线铅垂线 垂直于水平投影面的直线垂直于水平投影面的直线ABb a(b)a ab投影特性：投影特性：（1）在其垂直的投影面上：）在其垂直的投影面上：a b积聚成一点。积聚成一点。（2）另两面投影上：）另两面投影上：a b =a b =AB;a bOX ;a b OY 上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础投影面垂直线的投影特性投影面垂直线的投影特性（1 1）直线在其所垂直的投影面上的投影积聚成一）直线在其所垂直的投影面上的投影积聚成
27、一点（积聚性）。点（积聚性）。（2 2）直线在另外两个投影面上的投影分别垂直于）直线在另外两个投影面上的投影分别垂直于相应的投影轴相应的投影轴,且反映直线的实长（实形性）。且反映直线的实长（实形性）。上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础1.1.从属性从属性：若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。：若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。2.3.3 2.3.3 点在直线上的投影特性点在直线上的投影特性CcYHYW2.2.
28、定比性定比性：属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即：属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即A C:C B=a c:c b=a c :c b =a c :c b 上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础例例3 已知点已知点K在线段在线段AB上，已知其水平投影，求其正面投影。上，已知其水平投影，求其正面投影。kbak解法一：解法一：（利用（利用“从属性从属性”，引入第三投影），引入第三投影）解法二：解法二：（利用点分线段成定比）（利用点分线段成定比）aa b bka b k k aa b bkk XOXO上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工
29、工 程程 图图 学学 基基 础础 直线的迹点直线的迹点m mnn XO 直线与投影面的交点称为迹点。它是属于直线上的特直线与投影面的交点称为迹点。它是属于直线上的特殊点，既是直线上的点又是投影面上的点。殊点，既是直线上的点又是投影面上的点。XAb aa m N n bBM mnOVHa b ba上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础2.3.4 2.3.4 一般位置线段的实长及对投影面的倾角一般位置线段的实长及对投影面的倾角 ABbb aa CXO|zA-zB|过过A A作作ACabACab得直角三角形得直角三角形ABCABC，其中，其中AC=abAC=ab
30、，BC=Bb-BC=Bb-Aa=zAa=zB B-z-zA A，斜边，斜边ABAB即为实长，即为实长，ABAB与与ACAC的夹角即为的夹角即为ABAB对对H H面的倾角面的倾角，这种方法称为直角三角形法。，这种方法称为直角三角形法。|zB-zA|ABXa ab b AB|zB-zA|abO上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础作图要领作图要领 用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角边，所作直角三角形的斜边
31、即为线段的实长，斜边与投影边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影面的夹角。长间的夹角即为线段与该投影面的夹角。|zA-zB|ABXa ab b AB|zA-zB|abO上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础直角三角形直角三角形的四个要素的四个要素 四个要素包括：实长、投影长、坐标差及直线对投影面四个要素包括：实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角。的倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。ABab|zA-zB|斜边斜边直角边（投影）直角边（投影）直角边（坐标差）直角边
32、（坐标差）夹角（投影与斜边）夹角（投影与斜边）实长实长 水平投影水平投影 Z 正面投影正面投影Y 侧面投影侧面投影X上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础 例例4 4 已知已知 线段的实长线段的实长ABAB以及以及abab和和a a，求它的正面投影，求它的正面投影a ab b。aXa bAOBb0bb0bb0b b 上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础 若空间两直线互相平行，其各组同面投影必平行。反之，若空间两直线互相平行，其各组同面投影必平行。反之，若两直线的各组同面投影都互相平行，则空间两直线必平行。若两直线的各
33、组同面投影都互相平行，则空间两直线必平行。1.1.平行两直线平行两直线XObaabdcdcXbaadbbccABCD2.3.5 2.3.5 两直线的相对位置两直线的相对位置O上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础 对于一般位置直线，只要对于一般位置直线，只要有两组同名投影互相平行，空有两组同名投影互相平行，空间两直线就平行。间两直线就平行。AB与与CD平行。平行。a b c d abcdc a b d AB与与CD不平行。不平行。对于特殊位置直线，只对于特殊位置直线，只有两组同名投影互相平行，空有两组同名投影互相平行，空间直线不一定平行。间直线不一定平行。
34、cbadd b a c b d c a 例例5 5 判断图中两条直线是否平行。判断图中两条直线是否平行。上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础2.2.相交两直线相交两直线 两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点符两相交直线在同一投影面上的投影仍相交，且交点符合点的投影规律。合点的投影规律。反之，若两直线在同一投影面上的投影反之，若两直线在同一投影面上的投影相交，且交点符合点的投影规律，则该两直线相交。相交，且交点符合点的投影规律，则该两直线相交。XBDACKbbaaccddkkOdObXaabkcdck上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工
35、程程 图图 学学 基基 础础3.3.交叉两直线交叉两直线 凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。XOBDACbb aa c cdd 211(2)21b Xa abc d dc11(2)2O上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础dcaboYWYHZXaacddcbb例例6 6 判断两直线的相对位置判断两直线的相对位置2 应用定比定理应用定比定理1 利用侧面投影利用侧面投影如何判如何判断呢？断呢？结论：两直线交叉结论：两直线交叉m m上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础2.3
36、.6 2.3.6 直角投影定理直角投影定理AHBCacbcXb a c ba 互相垂直（相交或交叉）的两直线其中一条为投影面平行线时，互相垂直（相交或交叉）的两直线其中一条为投影面平行线时，则两直线在投影面上的投影必定互相垂直。则两直线在投影面上的投影必定互相垂直。反之，若两直线在某一投影面上的投影成直角，且其中一条直线反之，若两直线在某一投影面上的投影成直角，且其中一条直线平行于该投影面时，则空间两直线一定垂直平行于该投影面时，则空间两直线一定垂直。O上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础.垂直相交的两直线的投影垂直相交的两直线的投影BHACbcacXa
37、 b c ab已知：已知：ABH面，面，ABBC，求证：，求证：abc=90证明：证明：ABH面面 ABBb 又又ABBC AB平面平面BbcC 又又ABab ab平面平面BbcC abbc，即即:abc=ABC=90 上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础2.2.交叉垂直的两直线的投影交叉垂直的两直线的投影BHACcbaMNnmXb a bamnn m AB AC,且且ABH面面,则有则有ab ac上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础bb a aOfe ef X例例7 7 过点过点A A 作作EF EF 线段的垂线
38、线段的垂线ABAB。上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础例例8 8 求点求点E E 到水平线到水平线AB AB 的距离。的距离。XOababeeddyD-yE所求距离所求距离上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础例例9 作三角形作三角形ABC，ABC为直角，使为直角，使BC在在MN上，且上，且BC AB=2 3。b bcABa b|yA-yB|b c=BCnm a aXmn Oc 上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础2.4 2.4 平面的投影平面的投影2.4.1 2.4.1 平
39、面的表示法平面的表示法不在同一直不在同一直线上的三点线上的三点直线及线直线及线外一点外一点cba b ac dd 两条平行两条平行直线直线abca b c 两条相交两条相交直线直线任意平面任意平面图形图形c abca b caba b c baca b c 上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础1.4.2 1.4.2 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性投影面平行面投影面平行面投影面垂直面投影面垂直面正平面（正平面（V，H;W）侧平面（侧平面（W，H;V）水平面（水平面（H，V;W）正垂面（正垂面（V面，面，对对H H、W W倾斜倾斜）侧垂面（侧垂
40、面（W面，对面，对H H、V V 倾斜倾斜）铅垂面（铅垂面（H面，对面，对V V、W W 倾斜倾斜）一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面与三个投影面与三个投影面都倾斜的平面都倾斜的平面平行于一个投影面，平行于一个投影面，与其它两个投影面与其它两个投影面垂直的平面垂直的平面垂直于一个投影面，垂直于一个投影面，与其它两个投影面与其它两个投影面倾斜的平面倾斜的平面投影面倾斜面投影面倾斜面上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础1.1.一般位置平面一般位置平面abbaccbac投影特性：投影特性：三面投影均为小于实形的类似形。且不反映该平三面投影均为小于
41、实形的类似形。且不反映该平面对投影面的倾角面对投影面的倾角 、。abcbacabcCAB上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础 正平面正平面投影特性：投影特性：（1）在其平行的投影面上：在其平行的投影面上：a b c 反映反映 ABC实形实形。（。（2）另两个投影面上：）另两个投影面上：abc、a b c 积聚为积聚为直线直线，并平行相应的投影轴。，并平行相应的投影轴。cabbacbcaVWHbacbcaabcCBA2.2.投影面平行面投影面平行面上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础VWHabcbacabc水平面水平
42、面cabbbaacc投影特性：投影特性：（1）在其平行的投影面上：在其平行的投影面上：abc反映反映 ABC实形实形。（。（2）另两个投影面上：）另两个投影面上：a b c 、a b c 积积聚为直聚为直线线，并平行相应的投影轴。，并平行相应的投影轴。CAB上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础cabbbacca侧平面侧平面VWHbcbacabcaCAB投影特性：投影特性：（1）在其平行的投影面上：在其平行的投影面上：a b c 反映反映 ABC实实形形。（。（2）另两个投影面上：）另两个投影面上：abc、a b c 积聚为积聚为直直线线，并平行相应的投影
43、轴。，并平行相应的投影轴。上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础投影面平行面的投影特性投影面平行面的投影特性（1 1）在平面所平行的投影面上，其投影反映实在平面所平行的投影面上，其投影反映实形形 。（2 2）在另外两个投影面上，平面的投影积聚成在另外两个投影面上，平面的投影积聚成直线直线 ，并平行于相应的投影轴。，并平行于相应的投影轴。上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础正垂面正垂面 a b a b bac c cXOZYHYWVWH a b c ABCacbb c a 投影特性投影特性：（1）在其垂直的投影面上：）
44、在其垂直的投影面上：a b c 积聚为直积聚为直线线，a b c 与与OXOX、OZOZ的夹角的夹角反映反映、。（2）在）在另外两个投影面上：另外两个投影面上：abc、a b c 为为 ABC的类似形的类似形。3.3.投影面垂直面投影面垂直面上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础铅垂面铅垂面投影特性投影特性：（1）在其垂直的投影面上：）在其垂直的投影面上：abc积聚为直线积聚为直线，abcabc与与OXOX、OYOY的夹角的夹角反映反映、。（。（2）在另外两个投）在另外两个投影面上：影面上：a b c、a b c 为为 ABC的类似形的类似形。VWHABC
45、acbabcb c a acaccabbbXOZYHYW上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础侧垂面侧垂面a b b baa cc c XOZYHYWVWHb c a Cb c a ABacb投影特性投影特性：（1）在其垂直的投影面上：）在其垂直的投影面上：a b c积聚为直线积聚为直线，a a b b c c 与与OZOZ、OYOY的夹角的夹角反映反映、。（2）在）在另外两个投影面上：另外两个投影面上：abc、a b c 为为 ABC的类似形的类似形。上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础投影面垂直面的投影特性投影面
46、垂直面的投影特性（1 1）在平面所垂直的投影面上的投影积聚成倾在平面所垂直的投影面上的投影积聚成倾斜于投影轴的直线斜于投影轴的直线 ，并反映该平面对其，并反映该平面对其它两个投影面的倾角。它两个投影面的倾角。（2 2）平面的另外两个投影都是小于原图形的类平面的另外两个投影都是小于原图形的类似形似形 。上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础取属于平面的点取属于平面的点 点在平面上的几何条件是点在平面上的几何条件是:点在平面内的某一直线上。点在平面内的某一直线上。因因此此取属于平面的点，要先取属于该平面的已知直线。取属于平面的点，要先取属于该平面的已知直线。A
47、BCDEabcabcddee1.4.3 1.4.3 平面上的点和直线平面上的点和直线上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础取属于平面的直线取属于平面的直线 直线在平面上的几何条件：直线在平面上的几何条件：通过平面上的两点；通过平面上的两点；通过平面上的通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。一点且平行于平面上的一条直线。故取属于平面的直线，可经过属于该故取属于平面的直线，可经过属于该平面的两点；或经过该平面的一点，且平行于属于该平面的一直线。平面的两点；或经过该平面的一点，且平行于属于该平面的一直线。ABCEDabcabcddeeFff上一页上一页下一页
48、下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础例例6 6 已知已知 ABC ABC 平面，（平面，（1 1）判断点）判断点K K是否属于该平面。（是否属于该平面。（2 2）已知平面上一点已知平面上一点E E的正面投影的正面投影e e作出水平投影。作出水平投影。k kabcabcddeemmXO上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础abcbacm n nm例例7 7 已知已知 ABC ABC 平面，试过点平面，试过点C C作属于该平面的正平线，过点作属于该平面的正平线，过点A A作属于该平面的水平线。作属于该平面的水平线。XO上一页上一页下一页下
49、一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础例例8 8 已知点已知点E E 在在 ABCABC平面上，且点平面上，且点E E 距离距离H H面面1515，距离，距离V V 面面1010，试求点，试求点E E的投影。的投影。Xabcbacmnm n rsrs1015eOe上一页上一页下一页下一页返回目录返回目录 工工 程程 图图 学学 基基 础础本章小结本章小结 1.1.了了解解投投影影法法的的分分类类和和应应用用，重重点点掌掌握握正正投投影影法法的的基基本特性（实形性、积聚性和类似性）。本特性（实形性、积聚性和类似性）。2.2.掌掌握握点点的的投投影影规规律律、点点的的投投影影与与
50、其其直直角角坐坐标标的的关关系，以及两点的相对位置和重影点（可见性判别系，以及两点的相对位置和重影点（可见性判别)。3.3.熟熟练练掌掌握握各各种种位位置置直直线线的的投投影影特特性性和和作作图图方方法法；掌掌握握直直线线上上的的点点的的投投影影特特性性（从从属属性性和和定定比比性性）；了了解解两两直直线平行、相交和交叉的投影特性。线平行、相交和交叉的投影特性。4.4.熟熟练练掌掌握握各各种种位位置置平平面面的的投投影影特特性性及及作作图图方方法法；掌掌握握平平面面上上点点和和直直线线的的几几何何条条件件及及作作图图方方法法；了了解解平平面面内内投投影面平行线的作图方法。影面平行线的作图方法。