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1、平面向量的正交分解平面向量的正交分解及坐标表示及坐标表示复习复习平面向量基本定理平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2 使a=1 e1+2 e2a=1 e1+2 e2复习复习(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不唯一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式唯一.1,2是被 a,e1、e2唯一确定的数量。G=F1+F2F1F2GG=F1+F2叫做重力G的分解新课引入新课引入G与与F1,F2有什么关系有什么关系?
2、类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量1a1和2 a2,使a=1a1+2 a2把一个向量分解为两个互相 垂直的向量,叫做把向量 正正交交分分解解若两个不共线向量互相垂直时a1a12 a2F1F2G正交分解正交分解 我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。yOxji分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.任作一个向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x、y,使得a=x i+y j把(x,y
3、)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标axiyji=j=0=(1,0)(0,1)(0,0)ayOxxiyjjia=(x,y)（一）（一）yOxajixiyj相等的向量坐标相同相等的向量坐标相同向量a、b有什么关系?ab能说出向量b的坐标吗?b=(x,y)bxiyjyxAa如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作OA=a，则点A的位置由a唯一确定。yxOjia(x,y)因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。反过来，点A的坐标（x,y)也就是向量OA的坐标。设OA=xi+yj，则向量OA的坐标（x,y)就是点A的坐标；向
4、量的坐标与点的坐标关系向量向量P（x，y）一一一一对对应应例1：如图，用基底i，j分别表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标.AA1A2abcd解：同理，b=-2i+3j=(-2,3)c=-2i-3j=(-2,-3)d=2i-3j=(2,-3)yxO1 2 3 4-4 -3-2-154321-1-2-3-4-5ji1 2 3 4a=(2,3)由图可知 a=AA1+AA2=2i+3j,已知已知 ，求，求 的坐标的坐标.OxyB(x2,y2)A(x1,y1)结结论论1 1:一一个个向向量量的的坐坐标标等等于于表表示示此此向向量量的的有有向向线段终点的坐标减去始点的坐标。线段终点的坐标减去始点的坐
5、标。总结总结:对向量坐标表示的理解对向量坐标表示的理解:(1)(1)任一平面向量都有唯一的坐标任一平面向量都有唯一的坐标;(2)(2)向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标；向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标；当向量的起点在原点时，向量终点的坐标即为当向量的起点在原点时，向量终点的坐标即为向量的坐标向量的坐标.(3)(3)相等的向量有相等的坐标相等的向量有相等的坐标.练习练习:在同一直角坐标系内画出下列向量在同一直角坐标系内画出下列向量.解：解：（二）平面向量的坐标运算：（二）平面向量的坐标运算：结论结论2 2：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的
6、和与差量相应坐标的和与差.结论结论3 3：实数与向量乘积的坐标等于用这个实数乘：实数与向量乘积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标原来向量的相应坐标.例例3,、（、（2008辽宁）已知四边形辽宁）已知四边形ABCD的三个的三个顶点顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且且，则，则顶点顶点D的坐标为（的坐标为（）A.（2，）B.（2，）C.（3，2）D.（1，3）A解析：解析：设设D（x,y），），得得x=2,y=,故选故选A例例5：已知平行四边形：已知平行四边形ABCD的三个顶点的三个顶点A、B、C的的坐标分别为（坐标分别为（-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），求
7、），求顶点顶点D的坐标。的坐标。xyOA(-2,1)B(-1,3)C(3,4)D(x,y)OyxABCD例例5：已知平行四边形：已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标的三个顶点的坐标分别是（分别是（-2，1）、（）、（-1，3）、（）、（3，4），求），求顶点顶点D的坐标的坐标.变变式：式：已知平面上三点的坐标分别为已知平面上三点的坐标分别为A(2,1),B(1,3),C(3,4)，求点求点D的坐标的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。使这四点构成平行四边形四个顶点。OyxABC解：解：当平行四边形为当平行四边形为ADCB时，时，由由得得D1=(2,2)当平行四当平行四边边形形为为ACDB时时
8、，得得D2=(4,6)D1D2当平行四边形为当平行四边形为DACB时，时，得得D3=(6,0)D3课堂小结课堂小结:1.1.向量的坐标的概念向量的坐标的概念:2.2.对向量坐标表示的理解对向量坐标表示的理解:3.3.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算:(1)(1)任一平面向量都有唯一的坐标任一平面向量都有唯一的坐标;(2)(2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；(3)(3)相等的向量有相等的坐标相等的向量有相等的坐标.4.4.能初步运用向量解决平面几何问题能初步运用向量解决平面几何问题:“向量向量”的思的思想想2.若将向量若将向量围绕原点按逆时针方向围绕
9、原点按逆时针方向旋转旋转得到向量得到向量，则，则的坐标为（的坐标为（）.1.若向量若向量 =（1，-2）的终点在原点，那么）的终点在原点，那么这个向量的始点坐标是这个向量的始点坐标是（-1，2）课堂练习一4.已知已知A、B的坐标分别为的坐标分别为，与与平行的向量的坐标可以是平行的向量的坐标可以是_.（填写正确的序号）（填写正确的序号）3.已知点已知点A(8,2)，点，点B(3,5)，将，将沿沿x轴轴向左平移向左平移5个单位得到向量个单位得到向量，则，则；5.如图，在直角坐标系中，如图，在直角坐标系中，已知已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).设设，填空：，填空：（1）（2
10、）若用）若用来表示来表示，则：，则：1153547（3）向量）向量能否由能否由表示出来？可以的话，表示出来？可以的话，如何表示？如何表示？随堂随堂练习二练习二坐标是坐标是A A、(3,2)B(3,2)B、(2,3)C(2,3)C、(-3,-2)D(-3,-2)D、(-2,-3)(-2,-3)BA A、x=1,y=3 Bx=1,y=3 B、x=3,y=1x=3,y=1C C、x=1,y=-3 Dx=1,y=-3 D、x=5,y=-1x=5,y=-1B标标坐标为坐标为A A、(x-2,y+1)B(x-2,y+1)B、(x+2,y-1)(x+2,y-1)C C、(-2-x,1-y)D(-2-x,1-y)D、(x+2,y+1)(x+2,y+1)CBB标标的坐标为的坐标为(i,j),(i,j),则点则点A A的坐标为的坐标为A A、(m-i,n-j)B(m-i,n-j)B、(i-m,j-n)(i-m,j-n)C C、(m+i,n+j)D(m+i,n+j)D、(m+n,i+j)(m+n,i+j)A小结小结平面向量的正交分解平面向量的正交分解平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示