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1、第1页共33页 西 华 大 学 自学考试省考课程习题集 课程名称：线性代数 课程代码：04184 专业名称：工商企业管理 专业代码：Y020202 第2页共33页 目 录 第一部分 习题 一、选择题 3 二、填空题 8 三、计算题 11 四、证明题 15 第二部分 标准答案 一、选择题 16 二、填空题 16 三、计算题 16 四、证明题 31 第3页共33页 第一部分 习题 一、选择题 1、若n阶方阵 A 的秩为r，则结论（）成立。A.0|A B.0|A C.rn D.nr 2、下列结论正确的是()A.若 AB=0,则 A=0 或 B=0.B.若 AB=AC,则 B=C C.两个同阶对角矩阵
2、是可交换的.D.AB=BA 3、下列结论错误的是()A.n+1 个 n 维向量一定线性相关.B.n 个 n+1 维向量一定线性相关 C.n 个 n 维列向量n,21线性相关,则021n D.n 个 n 维列向量n,21,若021n则n,21线性相关,4、若mcccbbbaaa321321321，则321321321333222cccbbbaaa()A.6m B.-6m C.m3332 D.m3332 5、设 A,B,C 均为 n 阶方阵,AB=BA,AC=CA,则 ABC=()A.ACB B.CAB C.CBA D.BCA 6、二次型3221222132124),(xxxxxxxxxf的秩为（
3、）A、0 B、1 C、2 D、3 7、若 A、B 为n阶方阵，下列说法正确的是（）A、若 A，B 都是可逆的，则 A+B 是可逆的 B、若 A，B 都是可逆的，则AB是可逆的 C、若 A+B 是可逆的，则 A-B 是可逆的 D、若 A+B 是可逆的，则 A，B 都是可逆的 8、设 2 阶矩阵dcbaA，则*A（）A、acbd B、abcd C、acbd D、abcd 9、关于初等矩阵下列结论成立的是（)A.都是可逆阵 B.所对应的行列式的值为 1 C.相乘仍为初等矩阵 D.相加仍为初等矩阵 10、设 2 阶矩阵4321A，则*A（）第4页共33页 A、1324 B、1234 C、1324 D、
4、1234 11、设21,是非齐次线性方程组AX的两个解，则下列向量中仍为方程组AX解的是（）A、21 B、21 C、3221 D、32321 12、向量组)2(,21mm线性相关的充要条件是（）A、m,21中至少有一个是零向量 B、m,21中至少有一个向量可以由其余向量线性表示 C、m,21 中有两个向量成比例 D、m,21中任何部分组都线性相关 13、向量组)2(,21mm线性相关的充要条件是（）A、m,21中至少有一个是零向量 B、m,21中至少有一个向量可以由其余向量线性表示 C、m,21 中有两个向量成比例 D、m,21中任何部分组都线性相关 14、0AX是非齐次方程组AX的对应齐次线
5、性方程组，则有（）A、0AX有零解，则AX有唯一解 B、0AX有非零解，则AX有无穷多解 C、AX有唯一解，则0AX只有零解 D、AX有无穷多解，则0AX只有零解 15、设 A，B，C 均为二阶方阵，且ACAB，则当（）时，可以推出 B=C A、0101A B、0011A C、0110A D、1111A 16、若mcccbbbaaa321321321，则231231231333222cccbbbaaa()A.6m B.-6m C.m3332 D.m3332 17、如果矩阵A的秩等于r，则（）。A.至多有一个r阶子式不为零；B.所有r阶子式都不为零；C所有1r 阶子式全为零，而至少有一个r阶子式
6、不为零；第5页共33页 D.所有低于r阶子式都不为零 18、二次型21321),(xxxxxf的秩为（）A、0 B、1 C、2 D、3 19、若 A、B 为n阶方阵，下列说法正确的是（）A、当0AB时，则OA或OB；B、当0AB时，则0A或0B；C、当0AB时，则OA或OB；D、当0AB时，则OA或OB；20、二次型2122213212),(xxxxxxxf的秩为（）A、0 B、1 C、2 D、3 21、设矩阵21A，4321B，654321C，则下列矩阵运算中有意义的是（）A、ACB B、BAC C、ABC D、CBA 22、设 2 阶矩阵4321A，则*A（）A、1324 B、1234 C
7、、1324 D、1234 23、设21,是齐次线性方程组0AX的两个解，则下列向量中不是方程组0AX解的是（）A、21 B、21 C、3221 D、)0(,21 24、关于初等矩阵下列结论成立的是（)A.都是可逆阵 B.所对应的行列式的值为 1 C.相乘仍为初等矩阵 D.相加仍为初等矩阵 25、向量组)3(,21mm线性无关的充要条件是（）A、m,21中任意两个向量都线性无关 B、m,21中存在一个向量不能由其它向量线性表示 C、m,21 中任意一个向量都不能由其它向量线性表示 D、m,21中不含零向量 26、下列结论正确的是()A.BABA B.BABAT)(C.BAAB D.TTTBAAB
8、)(第6页共33页 27、若 A、B 为n阶对称阵，下列说法错误的是（）A、A+B 为对称矩阵 B、AB 为对称矩阵 C、kA 是对称矩阵（k 为数）D、2A为对称矩阵 28、关于初等矩阵下列结论成立的是（)A.都是可逆阵 B.所对应的行列式的值为 1 C.相乘仍为初等矩阵 D.相加仍为初等矩阵 29、如果矩阵A的所有1r阶子式全等于 0，则A的秩一定满足（）。A.rAr)(B.rAr)(CrAr)(D.rAr)(30、二次型3221232221321242),(xxxxxxxxxxf的秩为（）A、0 B、1 C、2 D、3 31、设bAX是一非齐次线性方程组，21,是其任意两个解，则下列结论
9、错误的是（）。A.21 是 0AX的一个解 B.212121是 bAX的一个解 C21 是 0AX的一个解 D.212 是 bAX的一个解 32、向量组)3(,21mm线性无关的充要条件是（）A、m,21中任意两个向量都线性无关 B、m,21中存在一个向量不能由其它向量线性表示 C、m,21 中任意一个向量都不能由其它向量线性表示 D、m,21中不含零向量 33、二次型32212322321242),(xxxxxxxxxf的秩为（）A、0 B、1 C、2 D、3 34、设矩阵baA，5326B，454cbaC，则下列矩阵运算中有意义的是（）A、ACB B、CBA C、ABC D、BAC 35、
10、设 2 阶矩阵dcbaA，则*A（）A、acbd B、abcd C、acbd D、abcd 36、若mcccbbbaaa321321321，则231231231333222cccbbbaaa()第7页共33页 A.6m B.-6m C.m3332 D.m3332 37、设三阶方阵A的行列式0A，则下列说法正确的是（）A、矩阵 A 中必有一列元素为 0 B、矩阵 A 中必有两列成经例 C、矩阵 A 中必有一列向量是其作列向量的线性组合 D、矩阵 A 中任意一列向量是其余列向量的线性组合 38、下列说法错误的是（）A、若n阶线性方程组bAX系数行列式0A，则该方程组存在唯一解。B、若n阶线性方程组
11、0AX系数行列式0A，则该方程组只有零解。C、一个行列式交换两行，行列式的值不变。D、若一个行列式一列全为 0，则该行列式的值为 0。39、设 A、B 为n阶方阵，则下面论断错误的是（）A、TTTABAB）（B、111）（ABAB C、AAA*D、如果0AB，则0A或0B 40、设 A、B 是n阶可逆矩阵，则下列结论成立的是（）A、11111）（BAAB B、BAAB11）（1 C、BAAB1）（D、BAABn)1(）（1 41、设 A、B 是n阶对称矩阵，m为大于 1 的自然数，则必为对称矩阵的是（）A、mA B、A、mAB)(C、AB D、1)(BA 42、设矩阵tA4-2863-321-
12、，且2)(Ar，则t等于（）A、-6 B、6 C、8 D、任何实数 43、设向量组321，线性无关，则下列向量组线性无关的是（）A、1，3，3221-，B、，321，32212，C、1，3，32213，32，2 D、，321，321，3215-53，223-2，44、设 A 是方阵，21，是齐次线性方程组0AX的两个不同的解向量，则（）是 A 的特征向量 第8页共33页 A、21与 B、21 C、21-D、A,B,C 都是 45、设 A 是n阶可逆矩阵，则下列结论不正确的是（）A、0A B、01A C、nAr)(D、A 的行向量组线性相关 46、下列说法正确的是（）A、一个特征值只对应一个特征
13、向量 B、一个特征向量只对应一个特征值 C、一个n阶矩阵一定有n个不同的特征值 D、一个n阶矩阵一定有n个线性无关的特征向量 47、21,都是n阶矩阵 A 的特征值，21，且21,xx是分别对应于21,的特征向量，当（）时，2211xkxkx必是 A 的特征向量。A、0,021kk B、0,021kk C、0,021kk D、021kk 48、若21,是线性方程组bAX的二个解向量，则（）必为其导出组0AX的解。A、2132 B、21 C、21 D、以上答案都不对 49、若n阶方阵 A 满足2AA，则 A 有特征值（）A、0，1 B、0，-1 C、1，-1 D、1，2 二、填空题 1、设三阶方
14、阵A的行列式2A，且 A 是可逆的,则13 A=2、当 k=时,000kzyxzkyxzykx有非零解。3、设多项式221)(xxxf及1121A,则)(Af 4、若 A 是正交矩阵,则A 5、设A为 n 阶方阵，0,1,6 是A的特征值，则A 。6、设实对称矩阵001011111A，则对应的二次型AxxxxxfT),(321为 7、设向量)0,1,1(),1,0,1(，则向量与的夹角为 8、已知 3 阶矩阵122122221A，则)(Ar 第9页共33页 9、已知三阶方阵 A 的特征值为 1，2，3，矩阵EAAB322，则B 10、已知 3 阶矩阵111111111A，则)(Ar 11、判定
15、二次型322123222132144543),(xxxxxxxxxxf是否正定？（填是或不是）12、设向量,满足022，又TT)2,2,0(,)2,1,1(，则 23 13、若EAAT，且1A，则EA=14、已知三阶方阵 A 的特征值为 1，2，3，矩阵EAAB322，则B 15、当矩阵 A 满足0232EAA，则1A 16、设三阶方阵A的行列式2A，则TA3=17、设多项式223)(xxxf及1121A,则)(Af 18、设实对称矩阵201012121A，则对应的二次型AxxxxxfT),(321为 19、给定矩阵 A，且 A-E 是可逆的，满足BAEAB2，则B 20、设实对称矩阵2101
16、02021A，则对应的二次型AxxxxxfT),(321为 21、当矩阵 A 满足032EAA，则1)2(EA 22、已知 3 阶矩阵121212112121211A，则)(Ar 23、判定二次型323121232221321244342),(xxxxxxxxxxxxf是否正定？（填是或不是）第10页共33页 24、当 k=时,301kzyxzkyxzykx无解.25、设向量组),5,1(),2,5,2(),0,0,1(321k线性相关，则k 26、已知四阶行列式第三行元素分别为 1，2，1，3，第四行元素余子式分别为 3，a，0，7，则 a 27、当矩阵 A 满足032EAA，则1)(EA
17、28、设三阶方阵A的行列式2A，则TAA=29、设多项式253)(xxxf及3312A,则)(TAf 30、设实对称矩阵013111310A，则对应的二次型AxxxxxfT),(321为 31、设多项式42)(2xxxf及003210101A,则)(Af 32、设实对称矩阵013111312A，则对应的二次型AxxxxxfT),(321为 33、设向量)1,2,1(),0,1,1(，则向量与的夹角为 34、已知 3 阶矩阵342121221A，则)(Ar 35、判定二次型323121232221321428),(xxxxxxxxxxxxf是否正定？（填是或不是）36、若 A 是正交矩阵,则A
18、37、设行列式3333231232221131211aaaaaaaaa，则131211232221333231323232aaaaaaaaa 38、设行列式3333231232221131211aaaaaaaaa，则131211332332223121333231222222222222aaaaaaaaaaaa 第11页共33页 39、设三阶方阵B、A的行列式3B、2A，则-1*B3A=40、设111131113211A，则A的秩)(Ar 41、设矩阵122212221A，则1A 42、若 A 的特征值为-1，0，2。则2A特征值为 43、设矩阵 A 和 B 相似，且若 A 的特征值为 3，-
19、2，1，则 B 特征值为 44、设A是三阶方阵，*A是A的伴随矩阵，A的行列式21A，则行列式*12)3(AA 45、设A是四阶方阵，且A的行列式2-A，*A是A的伴随矩阵，则行列式*A 46、设n阶方阵 A 的元素全为 1，则 A 的特征值为 47、设）3-，3，1（-，）3，3-，2（2，则 48、若n阶方阵 A 满足0532IAA，则1)(IA 49、设为n阶方阵 A 的一个特征值，则IAA 22的一个特征值为（其中I为n阶单位矩阵）50、已知矩阵12302321xA的特征值为 1，2，3，则x 51、已知三阶矩阵 A 的特征值为 1，3，-2。*A的特征值为 52、设D为三阶行列式，第
20、三列元素为-2，3，1。其余子式分别为 9，6，24。则D 53、设D为四阶行列式，第三行元素为-1，2，0，1。其余子式分别为 5，3，-7，4。则D 54、若n阶方阵 A 满足02A，则 A 的一个特征值为 55、设 A、B 是同阶方阵，则22)(BABABA成立的充要条件是 56、已知矩阵2031A，542)(2xxxf，则)(Af 57、设 A 为n阶方阵，且0652EAA，则 A 的特征值能为 58、设向量）1,，5，1（k与）,2，3，2（kk相互正交，则k 59、设向量）3，2，1（与），2，1（b相互正交，则b 60、设向量）1,0，1，1（，）1,0，2，1（，则内积，3 6
21、1、设向量）4,，2，1（a与）1,2，4（b相互正交，则ba,满足的关系为 三、计算题 1、计算行列式3351110243152113的值。第12页共33页 2、计算行列式2605232112131412的值。3、计算行列式1234214334124321的值。4、计算行列式8811441122111111的值。5、计算行列式1533201131125134的值。6、计算行列式0431957025104832的值。7、计算行列式2605132112131412的值。8、设2102A,BABA,求矩阵 B。9、设矩阵410011103A，且BAAB2，求矩阵 B。10、求满足下列方程的矩阵 X
22、，220202113111322X。11、设矩阵1021A，0321B满足BAXX2，求矩阵 X。第13页共33页 12、设矩阵161620101A，满足XAEAX2，求矩阵 X。13、设CAXB,其中730210005A,3412B,140212C求未知矩阵X。14、设矩阵3002A，且4321B，满足XBAX32，求矩阵X。15、设有向量组3620,1301,3112,01414321，求向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用这个极大无关组线性表示。16、设有向量组3220,2011,1022,22024321，求向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用这个极大无关组线性表示。17、
23、向量组T：11111,11212,13433,12224，求向量组T的秩，并找出一个最大无关组。并将其余向量用该极大无关组表示出来。18、向量组T：22021,10222,20113,32204，求向量组T的秩，并找出一个最大无关组。并把其它的向量用这个极大无关组表示出来。19、设向量组 A：213,132,341321，找出一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组表示出来。第14页共33页 20、向量组T：31111,15312,21233,110624，求向量组T的秩，并找出一个最大无关组。21、向量组T：)2,4,2(1，)0,1,1(2,)1,3,2(3,)2,5,3(4，求向量组T
24、的秩，并找出一个最大无关组。并把其它的向量用这个最大无关组表示出来。22、求下列方程组的通解 36220323154325432154321xxxxxxxxxxxxxx 23、已知非齐次线性方程组212201432143214321xxxxxxxxxxxx，求方程组的通解.24、求方程组332322221432143214321xxxxxxxxxxxx通解。25、求方程组000224214324321xxxxxxxxxx通解。26、已知矩阵111131111A,试求A的全部特征值和特征向量。27、已知矩阵201034011A,试求A的全部特征值和特征向量。28、已知矩阵310130004A,试
25、求A的全部特征值和特征向量。29、已知矩阵111131111A,试求A的全部特征值和特征向量。第15页共33页 30、已知矩阵020212022A,试求A的全部特征值和特征向量。31、已知矩阵112202213A,试求A的全部特征值和特征向量。32、设t32,213,321321，试问（1）、t为何值时，向量组321,线性无关？（2）、t为何值时，向量组321,线性相关？（3）、当向量组321,线性相关，将3表示成21,的线性组合。33、设361,321,111321，试问向量组321,是线性无关还是线性相关？34、设0211，aa3212，bab2213，331，试讨论ba,为何值时，（1）
26、不能由321,线性表示。（2）可以由321,唯一的线性表示。（3）可以由321,线性表示，但表示法不唯一，并求出表示式。四、证明题 1、若 A,B 均为 n 阶方阵,且 A 是可逆的,证明 BA 与 AB 相似.2、设 A，B 都为 n 阶方阵，且 A 为对称矩阵，证明：ABBT是对称矩阵 3、若A,B是n阶正交矩阵,证明:AB也是正交矩阵。4、如果1()2ABI，证明：2AA当且仅当2BI。5、设112211,rrrrrrr 且12,r 线性无关，证明：12,r 也线性无关 6、若 A 是正交矩阵,证明:*A也是正交矩阵.第16页共33页 第二部分 标准答案 一、选择题 1、D 2、C 3、
27、B 4、A 5、D 6、D 7、B 8、A 9、A 10、A 11、C 12、B 13、B 14、C 15、C 16、B 17、C 18、C 19、B 20、B 21、C 22、A 23、D 24、A 25、C 26、C 27、B 28、A 29、D 30、D 31、A 32、C 33、D 34、C 35、A 36、B 37、C 38、C 39、D 40、B 41、A 42、D 43、C 44、A 45、D 46、B 47、C 48、B 49、A 二、填空题 1、227 2、-2 或 1 3、2242 4、1 5、0 6、3121222122xxxxxx 7、32 8、2 9、0 10、1 1
28、1、是 12、T)2,1,1(13、0 14、0 15、)3(21EA 16、-54 17、0244 18、3121232221242xxxxxxx19、EA 20、32212321242xxxxxx21、EA 22、2 23、不是 24、-2 或 1 25、2 26、12 27、EA2 28、16 29、0000 30、32312122262xxxxxxx 31、703236106A 32、32312122212622xxxxxxxx 33、6 34、2 35、不是 36、1 37、18 38、-24 39、-36 40、2 41、919292929192929291 42、1，0，4 43
29、、3，-2，1 44、274-45、-8 46、n，1n个 0 47、）0，0，1（48、IA4 49、122 50、4 51、-6，-2，3 52、-12 53、-15 54、0 55、BAAB 56、5063 57、2，3 58、15 59、-1 60、-5 61、ba 三、计算题 1、计算行列式3351110243152113的值。第17页共33页 解：原式=03550100131111115 =055026115 =40 2、计算行列式2605232112131412的值。解：原式=2605232112131412 =0 3、计算行列式1234214334124321的值。解：原式=5
30、10501010100112504321 =01550010635 =900 4、计算行列式的值.8811441122111111 第18页共33页 解：原式=9720330031201111 =660110311)6(=72 5、计算行列式1533201131125134的值。解：401533201131125134 6、计算行列式0431957025104832的值。解：0431957025104832=5 7、计算行列式2605132112131412的值。解：2605132112131412=0 第19页共33页 8、设2102A,BABA,求矩阵 B。解:由于BABA,所以AEAB)
31、(1101EA,且01 EA,所以EA可逆,用1)(EA右乘AEAB)(得 21021101210211012102)(11EAAB 9、设矩阵410011103A，且BAAB2，求矩阵 B。解：ABEA)2(111122112)2(1EA 所以 322234225)2(1AEAB 10、求满足下列方程的矩阵 X，220202113111322X。解:由于0113111322,所以113111322 是可逆的 所以1113111322220202X 1301321131113222202021X 第20页共33页 11、设矩阵1021A，0321B满足BAXX2，求矩阵 X。解：BXAE)2(
32、由于0110212 AE，所以AE 2可逆 所以BAEX1)2(0327X 12、设矩阵161620101A，满足XAEAX2，求矩阵 X。解：EAXEA2)(由于01061610100 EA，所以EA是可逆的。所以EAEAEAX)()(21 261630102X 13、设CAXB,其中730210005A,3412B,140212C求未知矩阵X。解:05 A,02 B,故 A 与 B 都可逆,分别用1A左乘,1B右乘等式CAXB 两端得,11CBAX 13027000511A,2413211B 第21页共33页 所以6171337051241321140212130270005111CBAX
33、 14、设矩阵3002A，且4321B，满足XBAX32，求矩阵X。解:BXEA)32(310071)32(1EA 所以3417271)32(1BEAX 15、设有向量组3620,1301,3112,01414321，求向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用这个极大无关组线性表示。解:00003100201010013130631120140121)(4321A 所以向量组的秩为:3)(4321R 极大无关组为:321 321432 16、设有向量组3220,2011,1022,22024321，求向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用这个极大无关组线性表示。第22页共33页 解:00
34、000100101010013212200221200122)(4321A 所以向量组的秩为:3)(4321R 极大无关组为:321 214 17、向量组T：11111,11212,13433,12224，求向量组T的秩，并找出一个最大无关组。并将其余向量用该极大无关组表示出来。解：向量组对应的矩阵为：00001000011002011111231124212311)(4321 所以，向量组 T 的秩为 3 所以421,为一个极大无关组，2132 18、向量组T：22021,10222,20113,32204，求向量组T的秩，并找出一个最大无关组。并把其它的向量用这个极大无关组表示出来。解:0
35、0000100101010013212200221200122)(4321A 向量组的秩为 3 最大无关组为321,214 第23页共33页 19、设向量组 A：213,132,341321，找出一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组表示出来。解：向量组对应的矩阵为：000110101000110321213134321)(321 所以21,为一个极大无关组 213 20、向量组T：31111,15312,21233,110624，求向量组T的秩，并找出一个最大无关组。解:100001000010000112131015162312311)(4321A 向量组的秩为 4 最大无关组为432
36、1,21、向量组T：)2,4,2(1，)0,1,1(2,)1,3,2(3,)2,5,3(4，求向量组T的秩，并找出一个最大无关组。并把其它的向量用这个最大无关组表示出来。解:000011102102210253143212)(4321TTTTA 向量组的秩为 2 最大无关组为21,21321 214 第24页共33页 22、求下列方程组的通解 36220323154325432154321xxxxxxxxxxxxxx 解:000000362210251101362210031123111111A 52)()(ARAR，方程组有无穷多解 同解方程组为:36222554325431xxxxxxxx
37、 取100010001543xxx 基础解系为:10065,01021,00121321 取000543xxx,得方程组的一个特解为:00032 所以方程组的通解为:00032100650102100121321332211kkkkkkX 第25页共33页 23、已知非齐次线性方程组212201432143214321xxxxxxxxxxxx，求方程组的通解.解:000002111002100112122110111111111A 同解方程组为:21214321xxxx 取10,0142xx 基础解系为:1100,001121 取0042xx,得方程组的一个特解为:021021 所以方程组的通
38、解为:RkkkkkkX21212211,02102111000011 24、求方程组332322221432143214321xxxxxxxxxxxx通解。第26页共33页 解：方程组的增广矩阵为：000001101000101332322212111111A 对应的方程可化为：14231xxxx 从而方程组的通解可表示为：),(00101000011121214321为任意常数kkkkxxxx 25、求方程组000224214324321xxxxxxxxxx通解。解:000011100101101111102121A 基础解系为:1010,011121 所以方程组的通解为:)(1010011
39、121212211RkkkkkkX 26、已知矩阵111131111A,试求A的全部特征值和特征向量。解:0)2)(1(1111311112AE 第27页共33页 得2,1321 当11时，解方程组0)(XAE得基础解系为:1111 对应于11的所有特征向量为0,11111kk 当232时，方程组0)2(XAE得基础解系为:110，10132 对应于232的所有特征向量为 不全为零,1101013232kkkk 27、已知矩阵201034011A,试求A的全部特征值和特征向量。解:0)2()1(2010340112AE 得1,2321 当21时，解方程组0)2(XAE得基础解系为:1001 对
40、应于21的所有特征向量为0,10011kk 当132时，方程组0)(XAE得基础解系为:1212 第28页共33页 对应于232的所有特征向量为 0,12122kk 28、已知矩阵310130004A,试求A的全部特征值和特征向量。解:0)2()4(3101300042AE 得4,2321 当21时，解方程组0)2(XAE得基础解系为:1101 对应于21的所有特征向量为0,11011kk 当432时，方程组0)4(XAE得基础解系为:110，00132 对应于432的所有特征向量为 不全为零,1100013232kkkk 29、已知矩阵111131111A,试求A的全部特征值和特征向量。解:
41、0)1)(4(111131111AE 得4,1,0321 当01时，解方程组0)(XA得基础解系为:1011 第29页共33页 对应于01的所有特征向量为0,10111kk 当12时，方程组0)(XAE得基础解系为:1112 对应于12的所有特征向量为 0,11122kk 当43时，方程组0)4(XAE得基础解系为:1213 对应于43的所有特征向量为 0,12133kk 30、已知矩阵020212022A,试求A的全部特征值和特征向量。解:0)1)(4)(2(20212022AE 得4,1,2321 当21时，解方程组0)2(XAE得基础解系为:2211 对应于21的所有特征向量为0,221
42、11kk 当12时，方程组0)(XAE得基础解系为:2122 第30页共33页 对应于12的所有特征向量为 0,21222kk 当43时，方程组0)4(XAE得基础解系为:1223 对应于43的所有特征向量为 0,12233kk 31、已知矩阵112202213A,试求A的全部特征值和特征向量。解:0)1(112222132AE 得1,0321 当01时，解方程组0)(XA得基础解系为:1111 对应于01的所有特征向量为0,11111kk 当132时，方程组0)(XAE得基础解系为:120，02132 对应于132的所有特征向量为 32、设t32,213,321321，试问（1）、t为何值时
43、，向量组321,线性无关？（2）、t为何值时，向量组321,线性相关？（3）、当向量组321,线性相关，将3表示成21,的线性组合。第31页共33页 解:50017023123312231)(321tt 4 分（1）、当5t时,向量组321,线性无关 2 分（2）当5t时,向量组321,线性相关 2 分（3）、21371711 4 分 33、设361,321,111321，试问向量组321,是线性无关还是线性相关？解:100010001331621111)(321 所以向量组321,是线性无关 34、设0211，aa3212，bab2213，331，试讨论ba,为何值时，（1）不能由321,线
44、性表示。（2）可以由321,唯一的线性表示。（3）可以由321,线性表示，但表示法不唯一，并求出表示式。解：000101111323032221111bababaabaA （1）0a，不能由321,线性表示。（2）baa，0，可以由321,唯一的线性表示。（3）baa，0，可以由321,线性表示，但表示法不唯一，表示式为 321)1()11(kkaa 四、证明题 1、若 A,B 均为 n 阶方阵,且 A 是可逆的,证明 BA 与 AB 相似.第32页共33页 证明:因为 A 是可逆的,所以1A是存在的 ABAAABABAA)()(11 所以 BA 与 AB 相似 2、设 A，B 都为 n 阶方
45、阵，且 A 为对称矩阵，证明：ABBT是对称矩阵 证明：因为 A 为对称矩阵，所以AAT TTABB)(=TTTTBAB)(=ABBT 所以ABBT是对称矩阵 3、若A,B是n阶正交矩阵,证明:AB也是正交矩阵。证明,由于 A,B 是正交矩阵,所以EBBEAATT,EAAAABBABABTTTT)(所以 AB 也是正交矩阵.4、如果1()2ABI，证明：2AA当且仅当2BI。证明：两边平方得 221(2)4ABBI 将2BI代入得21()2ABIA 两边平方得 221(2)4ABBI 将2AA代入得 21()4ABIA 即 2BI 5、设112211,rrrrrrr 且12,r 线性无关，证明：12,r 也线性无关。证明：令11220rrppp 则11211()()()0rrrrrrrpppp 11221112()0rrrrpppppp 第33页共33页 因为12,r 线性无关，所以1212000rppppp 解得12000rppp 所以12,r 也线性无关 6、若A是正交矩阵,证明:*A也是正交矩阵.证明,由于A是正交矩阵,所以AAAAT11,1 1*AAA 所以AAAAA1)()(111*1*11*)(1)()()()(AAAAAAAAAAAATTTTT 所以*A也是正交矩阵.