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1、2015 年 4 月高等教育自学考试全国统一命题考试0418404184 线性代数经管类试卷线性代数经管类试卷一、单项选择题本大题共5 小题，每题 2 分，共 10 分在每题列出的四个备选项中只有一个选项是符合题目要求的， 请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。1、设行列式 D1=1111a1a2b1a1，D2=b2a22b13a12b23a2，则 D2=【】2、假设 A=A=10 x202，B B=42y，且 2A A=B B，则【】211A.x=1，y=2B.x=2，y=1C.x=1，y=1D.x=2，y=23、已知 A A 是 3 阶可逆矩阵，则以下矩阵中与A A 等
2、价的是【】100100100100A.000B.010C.000D.0100000000010014、设 2 阶实对称矩阵 A A 的全部特征值味 1，-1，-1，则齐次线性方程组E E+A Ax x=0 0 的基础解系所含解向量的个数为【】5、矩阵31 有一个特征值为【】13二、填空题本大题共 10 小题，每题 2 分，共 20 分请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6、设 A A 为 3 阶矩阵，且A=3，则3A1=.21* *7、设 A A=35，则 A A =.8、已知 A A=1011 1，B B=，假设矩阵 X X 满足 AXAX=B B，则 X X=.211 129、
3、假设向量组1(1，2，1)T，2(k-1，4，2)T线性相关，则数 k= .x1 2x2 ax3 010、假设齐次线性方程组2x1 x2 x3 0有非零解，则数a= .3x x x 023111、设向量1(1，-2，2)T，2(2，0，-1)T，则内积1,2=.12、向量空间 V V =x=(x1，x2，0)T|x1，x2R的维数为.13、与向量1，0，1T和1，1，0T均正交的一个单位向量为.14、矩阵12的两个特征值之积为.2322215、假设实二次型 f(x1，x2，x3)=x1 ax2 a2x3 2x1x2正定，则数a的取值范围是 .三、计算题本大题共 7 小题，每题 9 分，共 63
4、 分16、计算行列式 D=2111131111411115的值.17、设 2 阶矩阵 A A 的行列式A 11*，求行列式(2A) 2A的值.211 010 18、设矩阵 A A=111，B B=20，矩阵 X X 满足 X X=AXAX+B B，求 X X.53101TTTT19、求向量组1 (1,2,1) ,2 (2,5,1) ,3 (1,3,6) ,4 (3,1,10)的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出.x1 ax2 a2x3 3a22220、利用克拉默法则解线性方程组x1bx2b x3 3b，其中a,b,c两两互不相同.22x cx c x 3c
5、1230001a121、已知矩阵A a31与B 010相似，求数a,b的值.00b11122、用正交变换化二次型f (x1,x2) 5x15x2 4x1x2为标准型，并写出所作的正交变换.四、证明题此题 7 分23、设 A A，B B 均为 n 阶矩阵，且 A A=B B+E E，B B2=B B，证明 A A 可逆.2015 年 4 月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数经管类试题答案及评分参考线性代数经管类试题答案及评分参考课程代码 04184一、单项选择题本大题共5 小题，每题 2 分类，共 10 分二、填空题本大题共 10 小题，每题 2 分，共 20 分 516.97.328.
6、1119.3130131310.-211.012.213.1,1,1T或1,1,1T14.-115.a1三、计算题本大题共 7 小题，每题 9 分，共 63 分1311131121110511 16.解 D=5 分11410 23011150 204511=2300 749 分4217.解 由于A 故(2A)1*1，所以A可逆，于是A AA3 分2 2A*11A 2 A A16 分2211393=A1 A1A1 A19 分222218.解由X AX B，化为E AX B，4 分21110 011而E A 101可逆，且E A3217 分310201 1211131 01故X 32120209
7、分301 153111213 101117 5701575 分19.解由于1,2,3,40101570000所以向量组的秩为2，1,2是一个极大线性无关组，并且有3 11152,4171729 分注：极大线性无关组不唯一。20. 解方程组的系数行列式1aa22D=1bbb ac ac b1cc23a2又D1 3b2因为 a,b,c 两两互不相同，所以D 0，故方程有唯一解。4 分aa2cc213a213c2a2b2 0，c2bb2 0，D2 13b23c21a3a2D3 1b3b2 3D7 分3c21c由克拉默法则得到方程组的解x1DD1D3D 0,x22 0,x33 39 分DDDD21.解
8、因为矩阵 A 与 B 相似，故trA trB且A B,6 分即131 01b2a1 0所以 a=1,b=4.9 分5222. 解二次型的矩阵A 25由于E A 3 7，所以 A 的特征值1 3,2 74 分对于特征值1 3，由方程组3E Ax 0得到 A 属于特征值1 3的一个单位2 1 特征向量112对于特征值2 7,由方程组7E Ax 0得到 A 属于特征值2 7的一个单位特征向量22 211.得正交矩阵Q 2 1,22111 1，作正交变换x Qy，二次型化为标准形f 3y2217y2.四、证明题此题 7 分23.证 因为A B E,所以A E B,又B2 B,故A E2 A E,化简得A23A 2E,于是A12A3E E,故 A 可逆。9 分(3 分7 分