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1、正方形的性质与判定讲义最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除正方形的性质及判定正方形的性质及判定一、知识点归纳一、知识点归纳（一）正方形的概念：一组邻边相等的矩形叫做正方形。（二）正方形的性质：（有通性；1）具有平行四边形的所1、因为 ABCD 是正方形（角都是直角；2）四个边都相等，四个3）对角线相等垂直且平（分对角.正方形是轴对称图形，对称轴有4 条，也是中心对称二、二、例题讲解例题讲解考点考点 正方形与等腰三角形（等边三角形）结合正方形与等腰三角形（等边三角形）结合1.如图，E 是正方形 ABCD的对角线 BD上一点，且 BEBC，则ACE 2.如图，四边形 ABCD是正方形，延长 CD
2、到 E，使 CE=CB，则DBE .3.如图，正方形 ABCD中，点 E在 BC的延长线上，AE平分DAC,则下列结论：（1）E=22.5；(2)AFC=112.5；(3)ACE=135；（4）AC=CE；(5)ADCE=1 2.其中正确的有（）A5 个 B.4个 C.3个 D.2个4.如图，等边EDC在正方形 ABCD内，连结 EA、EB，则AEB ；ACE .5.已知正方形 ABCD，以 CD 为边作等边 CDE，则AED的度数是.考点正方形与旋转结合考点正方形与旋转结合1.如图 1，四边形 ABCD是正方形，E是边 CD上一点，若 AFB经过逆时针旋转角 后与 AED重合，则 的取值可能
3、为（）A.90 B.60 C.45 D.302.已知正方形 ABCD中，点 E 在边 DC上，DE=2，EC=1（如图 2所示）把线段 AE绕点 A旋转，使点E 落在直线 BC上的点 F处，则 F、C两点的距离为_.精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除3.如图 3，在正方形 ABCD中，点 E，F 分别为 DC，BC边上的点，且满足EAF=45，连接 EF，求证：DE+BF=EF考点正方形对角线的对称性考点正方形对角线的对称性1.如图：正方形 ABCD中，AC=10，P是 AB上任意一点，PEAC于 E，PFBD于F，则 PE+PF=.可以用一句话概括：正方
4、形边上的任意一点到两对角线的距离之和等于 .思考：思考：如若 P 在 AB的延长线时，上述结论是否成立？若不成立，请写出你的结论，并加以说明.2.如图，点 P是正方形 ABCD的对角线 BD 上一点，PEBC于点 E，PFCD于点 F，连接 EF给出下列五个结论：AP=EF；APEF；APD一定是等腰三角形；PFE=BAP；PD=2EC其中正确结论的序号是思考：思考：当点 P 在 DB 的长延长线上时，请将备用图补充完整，并思考（1）正确结论是否依旧成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论.考点正方形的折叠考点正方形的折叠1.如图 1，将边长为 8cm的正方形纸片 ABCD折叠，
5、使点 D落在 BC边中点 E处，点 A 落在点 F处，折痕为 MN，则线段 CN的长是 .2.如图 2，四边形 ABCD是边长为 9 的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点 B 落在 CD 边上的B处，点 A对应点为A，且BC=3，则 AM的长是 .P精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除3 如图 3，正方形 ABCD中，AB6，点 E在边 CD上，且 CD3DE将 ADE沿 AE对折至 AFE，延长EF交边 BC于点 G，连结 AG、CF下列结论：ABGAFG；BGGC；AGCF；S FGC3其中正确结论的个数是 .课后练习课后练习1、已知：如图，正方形ABCD
6、中，CM=CD，MNAC，连结CN，则DCN=_=_ B，MND=_=_B.2.在正方形ABCD中，AB=12 cm，对角线AC、BD相交于O，则ABO的周长是（）A.12+122 B.12+62 C.12+2 D.24+621，则其对角线长是_.34.如图，在正方形 ABCD中，PBC、QCD是两个等边三角形，PB与 DQ交于 M，BP与 CQ交于 E，CP 与 DQ交于 F.求证：PM=QM.3.正方形的面积是5.如图 4，正方形 ABCD的对角线 AC、BD相交于点 O，正方形 ABCD的顶点 A与点 O 重合，AB交 BC于点 E，AD交 CD 于点 F，若正方形 ABCD绕点 O旋转
7、某个角度后，OE=OF 吗？两正方形重合部分的面积怎样变化？为什么？精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除6如图，P是边长为 1 的正方形 ABCD对角线 AC上一动点（P与 A、C不重合），点 E在射线 BC上，且PE=PB.试判断 PE与 PB的关系.7.如图，正方形 ABCD的面积为 12，ADE是等边三角形，点E 在正方形 ABCD内，在对角线 AC上有一点 P，使 PBPE的和最小，则这个最小值为 .8.如图，将边长为 4cm的正方形纸片 ABCD沿 EF折E、F 分别在边 AB、CD上)，使点 B落在 AD边上的点处，点 C 落在点 N处，MN与
8、CD交于点 P，连接 (1)如图，若 M为 AD边的中点，AEM的周长=_cm；求证：EP=AE+DP；(2)随着落点 M 在 AD边上取遍所有的位置(点 M 不与重合)，PDM的周长是否发生变化?请说明理由叠(点MEPA、D（三）正方形的判定：（三）正方形的判定：（1）平行四边形一组邻边等一个直角（2）菱形 一个直角四边形 ABCD 是正方形（3）矩形 一组邻边等1 1、判断、判断:（1 1）四条边都相等的四边形是正方形。（）四条边都相等的四边形是正方形。（）（2 2）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形。（）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形。（3 3）两条对角线分别平分一组对角
9、的四边形是正方形。（）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形。（精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除（4 4）两条对角线互相垂直的矩形是正方形。（）两条对角线互相垂直的矩形是正方形。（2 2不能判定四边形是正方形的是（不能判定四边形是正方形的是（）A A对角线互相垂直且相等的四边形对角线互相垂直且相等的四边形 B B对角线互相垂直的矩形对角线互相垂直的矩形C C对角线相等的菱形对角线相等的菱形 D D对角线互相垂直平分且相等的四边形对角线互相垂直平分且相等的四边形3 3、四边形、四边形 ABCDABCD 的对角线相交于点的对角线相交于点O O，能判定它是
10、正方形的条件是（，能判定它是正方形的条件是（）A AAB=BC=CD=DA BAB=BC=CD=DA BAO=COAO=CO，BO=DOBO=DO，ACACBDBDC CAC=BDAC=BD，ACACBDBD 且且 ACAC、BDBD 互相平分互相平分 D DAB=BCAB=BC，CD=DACD=DA4 4、如图，已知四边形、如图，已知四边形ABCDABCD 是菱形，则只须补充条件：是菱形，则只须补充条件：（用字母表示）就可以判定四边形（用字母表示）就可以判定四边形ABCDABCD是正方形是正方形精讲精练精讲精练例例 1 1、已知、已知Rt ABC中，中，C 90，CDCD 平分平分ACB,交
11、交 ABAB 于于 D D，DF/BC,DE/ACDF/BC,DE/AC，求证：四边形，求证：四边形 DECFDECF 为为正方形。正方形。例例 2 2、已知：如图，在、已知：如图，在ABCABC中，中，ABAB=ACAC，ADADBCBC，垂足为点，垂足为点D D，ANAN是是ABCABC外角外角CAMCAM的平分线，的平分线，CECEANAN，垂足为点，垂足为点E E，（，（1 1）求证：四边形）求证：四边形ADCEADCE为矩形；（为矩形；（2 2）当）当ABCABC满足什么条件时，四边形满足什么条件时，四边形ADCEADCE是是一个正方形？并给出证明一个正方形？并给出证明精品好资料-如
12、有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除MAENBDC例例 3 3 如图，已知平行四边形如图，已知平行四边形ABCD中，对角线中，对角线AC，BD交于点交于点O，E是是BD延长线上的点，且延长线上的点，且ACE是等边三角形是等边三角形（1 1）求证：四边形）求证：四边形ABCD是菱形；是菱形；（2 2）若）若AED 2EAD，求证：四边形，求证：四边形ABCD是正方形是正方形EAOB例 4、如图，ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MNBC，设MN交BCA的平分线于E，交BCA的外角平分线于点F.(1)求证：EO=FO(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？
13、并证明你的结论.(3)当点O运动到何处时，四边形AECF是有可能是正方形？并证明你的结论.DC拓展探究（平行四边形与特殊平行四边形的综合运用）精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除1、如图，正方形 ABCD 中，E、F、G 分别是 AD、AB、BC 上的点，且 AE=FB=GC。试判断EFG的形状，并说明理由。2、如图，在正方形 ABCD中，P 为 BC上一点，Q为 CD上一点，(1)若 PQ=BP+DQ，求PAQ。（2）若PAQ 45,求证：PQ=BP+DQ.3、如图，菱形 ABCD的边长为 2，对角线 BD=2，E、F分别是 AD、CD上的动点，且满足 A
14、E+CF=2.（1）求证：BDE BCF.(2)判断BEF的形状。4 以四边形 ABCD的边 AB、BC、CD、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除（1）如图 1，当四边形 ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图 2，当四边形 ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；（2）如图 3，当四边形 ABCD为一般平行四边形时，设ADC=（090），试用含的代数式表示HAE；求证：HE=HG；四边形 EFGH是什么四边形？并
15、说明理由例 1、在正方形 ABCD 的边 BC 的延长线上取一点 E，使 CE=CA,连接 AE 交 CD 于 F，求AFD的度数。变式：1、已知如下图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE=CF.(1)求证：BECDFC；(2)若BEC=60，求EFD的度数.例 2：如图，E为正方形ABCD的BC边上的一点，CG平分DCF，连结AE，并在CG上取一点G，使EG=AE.求证：AEEG.精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除例 3、P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，求APB的度数.例例 4 4 如图，P是边长为
16、1 的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.（1）求证：PE=PD；PEPD；APDBEC1、如图，四边形 ABCD 为正方形，以 AB 为边向正方形外作等边三角形ABE，CE 与 DB 相交于点 F，则AFD=。2、若正方形 ABCD的边长为 4，E 为 BC边上一点，BE=3，M 为线段 AE上一点，射线 BM交正方形的一边于点 F，且 BF=AE，则 BM的长为。精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除4.E为正方形ABCD内一点，且EBC是等边三角形，求EAD的度数.5、如图，正方形 ABCD与正方形 OM
17、NP的边长均为 10，点 O是正方形 ABCD的中心，正方形 OMNP绕O 点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值6 6、如图 1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）猜想如图 1 中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；将图 1 中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图 2、如图 3 情形请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立,并选取图 2 证明你的判断7、（1）如图，已知正方形 ABCD和正方形 CGEF（CGBC），B、C、G在同一直线上，M 为线段 AE的中点。探究：线段 MD、MF的关系。（2）若将正方形 CGEF绕点 C 逆时针旋转45，使得正方形 CGEF对角线 CE在正方形 ABCD的边 BC 的延长线上，M为 AE 的中点。试问：（1）中探究的结论是否还成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。精品好资料-如有侵权请联系网站删除最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除精品好资料-如有侵权请联系网站删除