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1、文理通用江苏省文理通用江苏省 20222022 高考高考数学二轮复习专题三解析几何数学二轮复习专题三解析几何第第 1111 讲圆锥曲线中最值、范围讲圆锥曲线中最值、范围问题练习问题练习第第 1111 讲讲 圆锥曲线中最值、范围问题圆锥曲线中最值、范围问题课后自测诊断及时查漏补缺备考不留死角课后自测诊断及时查漏补缺备考不留死角1 1点点(m m，n n)在椭圆在椭圆 8 8x x3 3y y2424 上，那么上，那么2 2m m4 4 的取值范围是的取值范围是_解析：解析：因为点因为点(m m，n n)在椭圆在椭圆 8 8x x3 3y y2424 上，上，即在椭圆即在椭圆 1 1 上，所以点上
2、，所以点(m m，n n)满足椭圆的满足椭圆的3 38 8范围范围|x x|3 3，|y y|2|2 2 2，因此因此|m m|3 3，即即 3 3m m 3 3，所以，所以 2 2m m4 4442 2 3 3，4 42 2 33答案：答案：442 2 3 3，4 42 2 332 2(2022常州期末(2022常州期末)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy2 22 22 22 2x x2 2y y2 2x xy y中，设直线中，设直线l l：x xy y1 10 0 与双曲线与双曲线C C：2 22 2a ab b1(1(a a00，b b0)0)的两条渐近线都相交且交点都在的两条
3、渐近线都相交且交点都在y y轴轴左侧，那么双曲线左侧，那么双曲线C C的离心率的离心率e e的取值范围是的取值范围是_2 22 2b b解析：双曲线的渐近线分别为解析：双曲线的渐近线分别为y yx x，y ya a-2-2-b bb bc cx x，依题意有，依题意有 1 1，即，即b b a a，e e a aa aa ac c2 2a a2 2a a2 2b b2 2 11，所以，所以e e的取值范围是的取值范围是2 2a a(1(1，2)2)答案：答案：(1(1，2)2)3 3(2022海安中学月考(2022海安中学月考)ABAB2 2 5 5，M M是线是线段段ABAB的中点，点的中点
4、，点P P在平面内运动且在平面内运动且PAPAPBPB6 6，那么那么PMPM的最大值为的最大值为_解析：由题意，知点解析：由题意，知点P P的轨迹是以点的轨迹是以点A A，B B为为焦点的椭圆，其长轴长为焦点的椭圆，其长轴长为 6 6，焦距为，焦距为 2 2 5 5，所以，所以短轴长为短轴长为 4 4，易知，易知PMPM的最大值为的最大值为 3.3.答案：答案：3 34 4 直线直线x xy y2 20 0 分别与分别与x x轴，轴，y y轴交于轴交于A A，B B两点，点两点，点P P在圆在圆(x x2)2)y y2 2 上，那么上，那么ABPABP面积的取值范围是面积的取值范围是_解析：
5、解析：设圆设圆(x x2)2)2 2y y2 22 2 的圆心为的圆心为C C，半径半径为为r r，-3-3-2 22 2点点P P到直线到直线x xy y2 20 0 的距离为的距离为d d，那么圆心那么圆心C C(2,0)(2,0)，r r 2 2，所以圆心所以圆心C C到直线到直线x xy y2 20 0 的距离为的距离为|2|22|2|2 2 2 2，2 2可得可得d dmaxmax2 22 2r r3 32 2，d dminmin2 22 2r r2.2.由条件可得由条件可得ABAB2 2 2 2，1 1所以所以ABPABP面积的最大值为面积的最大值为 ABABd dmaxmax6
6、6，2 21 1ABPABP面积的最小值为面积的最小值为 ABABd dminmin2.2.2 2综上，综上，ABPABP面积的取值范围是面积的取值范围是2,62,6答案：答案：2,62,65 5椭圆的中心在坐标原点，焦点在椭圆的中心在坐标原点，焦点在x x轴上，轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为是一个面积为 4 4 的正方形，设的正方形，设P P为该椭圆上的动为该椭圆上的动点，点，C C，D D的坐标分别是的坐标分别是(2 2，0)0)，(2 2，0)0)，-4-4-那么那么PCPCPDPD的最大值为的最大值为_解解 析析：
7、由由 面面 积积 为为4 4的的 正正 方方 形形 可可 知知 a a2 2，b bc c 2 2，所以椭圆方程为所以椭圆方程为 1 1，4 42 2所以所以C C，D D为椭圆的焦点为椭圆的焦点2 22 2设设P P(x x0 0，y y0 0)，那么，那么PCPCPDPDx x0 0y y0 02 2，2 2 y y0 0 2 22 2又又x x0 04 4 1 1，所以，所以PCPCPDPDy y0 022.22.2 2 x x2 2y y2 2答案：答案：2 2x xy y6 6设椭圆设椭圆C C：2 22 21(1(a a b b0)0)恒过定点恒过定点a ab bA A(1,2)(
8、1,2)，那么椭圆的中心到准线的距离的最小值，那么椭圆的中心到准线的距离的最小值是是_._.2 22 2a a解析：解析：由得由得2 22 21 1，因为准线方程为因为准线方程为x x，a ab bc c1 14 44 4a a2 2a a2 2所以椭圆的中心到准线的距离为所以椭圆的中心到准线的距离为d d，即，即d d2 2c cc c2 2-5-5-a a2 24 42 2a ab b2 22 2a a2 24 42 24 4a aa a2 2a a1 12 2a aa a2 2a a5 54 42 2a a5 59 9a a5 52 2a a5 520202020a a 5 5 2 2a
9、 a5 52 29292 20209 94 4 5 59 9(5 52)2)2 2，当且仅当，当且仅当a a2 25 52 2 5 5时取等号时取等号所以所以d d 5 52 2，即即d dminmin 5 52.2.答案：答案：5 52 2x xy y7 7(2022镇江中学检测(2022镇江中学检测)椭圆椭圆C C：2 22 2a ab b1(1(a a b b0)0)的左、右顶点分别为的左、右顶点分别为A A，B B，且长轴长为，且长轴长为8 8，T T为椭圆为椭圆C C上异于上异于A A，B B的点，直线的点，直线TATA，TBTB的的3 3斜率之积为斜率之积为.4 4(1)(1)求椭
10、圆求椭圆C C的方程；的方程；(2)(2)设设O O为坐标原点，过点为坐标原点，过点M M(8,0)(8,0)的动直线的动直线与椭圆与椭圆C C交于交于P P，Q Q两点，两点，求求OPQOPQ面积的最大值面积的最大值解：解：(1)(1)设设T T(x x，y y)()(x x4)，那么直线4)，那么直线TATA-6-6-2 22 2的斜率为的斜率为k k1 1y yx x4 4，直线，直线TBTB的斜率为的斜率为k k2 2y yx x4 4.3 3y yy y3 3于是由于是由k k1 1k k2 2，得，得，整，整4 4x x4 4x x4 44 4理得理得1(1(x x4)，4)，故椭
11、圆故椭圆C C的方程为的方程为161612121616x x2 2y y2 2x x2 2y y2 212121.1.(2)(2)由题意设直线由题意设直线PQPQ的方程为的方程为x xmymy8 8，x xmymy8 8，2 22 2由由 x xy y1 1，161612121441440 0，得得(3(3m m4)4)y y4848mymy2 22 2(48(48m m)4144(34144(3m m4)4)1248(1248(m m4)04)0，即即m m44，4848m m144144y yP Py yQ Q2 2，y yP Py yQ Q2 2.3 3m m4 43 3m m4 4所所
12、2 22 22 22 2以以PQPQm m1 12 23 3m m4 42 2-7-7-2424m m1 1m m4 4，2 23 3m m4 48 8又点又点O O到直线到直线PQPQ的距离的距离d d2 2.m m1 1所所 以以S SOPQOPQ96961 19696m m4 4PQPQd d2 22 23 3m m4 42828443 3当且仅当当且仅当m m时等号时等号3 32 22 22 22 216163 3m m4 42 2m m4 42 22 2成立，且满足成立，且满足m m4.4.故故OPQOPQ面积的最大值为面积的最大值为 4 4 3.3.x xy y1 18 8 椭圆椭
13、圆C C：2 22 21(1(a ab b0)0)的离心率为的离心率为，a ab b2 2两条准线之间的距离为两条准线之间的距离为 8.8.(1)(1)求椭圆求椭圆C C的标准方程的标准方程(2)(2)假设假设A A，B B分别为椭圆分别为椭圆C C的左、右顶点，的左、右顶点，在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，过点中，过点B B作作x x轴的垂线轴的垂线2 22 2l l，点点P P是直线是直线l l上上(异于点异于点B B)任意一点，任意一点，直线直线APAP交椭圆交椭圆C C于点于点Q Q.-8-8-2 2假设假设OPOP与与BQBQ交于点交于点M M，且，且BMBMMQMQ
14、，求直，求直线线APAP的方程；的方程；的取值范围的取值范围求求OPOPBQBQc c1 12 2a a2 2解：解：(1)(1)由题意知由题意知e e ，8 8，解得，解得c ca a2 2c c1 1，a a2 2，b b 3 3，故椭圆，故椭圆C C的标准方程为的标准方程为 1.1.4 43 3(2)(2)由由(1)(1)知知A A(2,0)2,0)，B B(2,0)(2,0)，设设Q Q(x x0 0，y y0 0)，y y0 00，0，P P(2(2，t t)，A A，Q Q，P P三点共线，三点共线，k kAQAQk kAPAP，4 4y y0 0 4 4y y0 0.，得，得t
15、t，P P 2 2，x x0 02 2 x x0 02 24 4x x0 02 2 x x2 2y y2 2y y0 0t t设点设点M M(x x1 1，y y1 1)，BMBM2 2MQMQ，(x x1 12 2，y y1 1)2(2(x x0 0 x x1 1，y y0 0y y1 1)，3 3x x1 12 2x x0 02 2，即即 3 3y y1 12 2y y0 0，2 2x x0 02 22 2y y0 0，.得点得点M M 3 3 3 3-9-9-2 2y y0 03 3t t2 2y y0 0O O，M M，P P三点共线，三点共线，2 2x x0 02 22 2x x0
16、02 23 3解得解得y y0 00(0(舍去舍去)或或x x0 00 0，又点又点Q Q在椭圆在椭圆C C上，上，Q Q(0(0，3)3)，3 3故直线故直线APAP的方程为的方程为y y(x x2)2)2 2 4 4y y0 0 (x x0 02 2，由易知由易知OPOPBQBQ 2 2，y y0 0)x x0 02 2 4 4y y2(2(x x0 02)2).x x0 02 2点点Q Q在椭圆在椭圆C C上，上，1 1，得得 4 4y y2 20 03(43(44 43 3x x)，将将 4 4y y3(43(4x x)代入上式得，代入上式得，3 3OPOPBQBQ2(2(x x0 0
17、2)2)4 4x xx x0 02 22 20 02 20 02 20 02 20 02 20 0 x x2 20 0y y2 20 02 2x x0 0，2 2x x0 02 2，0 02 2x x0 04 4，OPOPBQBQ的取值范围为的取值范围为(0,4)(0,4)-10-10-x xy y9 9椭圆椭圆E E：2 22 21(1(a a0 0，b b0)0)的长轴长的长轴长a ab b1 1为为 4 4，离心率为，离心率为.2 2(1)(1)求椭圆求椭圆E E的标准方程的标准方程(2)(2)设斜率为设斜率为k k(k k0)的直线0)的直线l l与椭圆与椭圆E E相交相交于于C C，
18、D D两点两点假设点假设点P P(1(1，m m)()(m m0)0)在椭圆在椭圆E E上，上，直线直线l l过椭圆上的右焦点过椭圆上的右焦点F F，且直线，且直线PCPC，PDPD的斜率之积的斜率之积为为 1 1，求直线，求直线l l的方程；的方程；3 3假设假设k k，求，求OCOCODOD的最大值的最大值2 22 2a a4 4，解解：(1)(1)由由 题题 意意 得得 c c1 1，a a2 2 a a2 2，c c1 1，2 22 2解解 得得2 22 2所以所以b ba ac c3 3，2 2-11-11-所以椭圆所以椭圆E E的标准方程为的标准方程为 1.1.4 43 3(2)(
19、2)因为椭圆因为椭圆E E过点过点P P(1(1，m m)，1 1m m2 23 3所以得所以得 1 1，又，又m m0 0，所以，所以m m.4 43 32 2由由(1)(1)知知F F(1,0)(1,0)，所以直线所以直线l l的方程为的方程为y yk k(x x1)1)，与与 1 1 联立并消元得，联立并消元得，4 43 3(3(34 4k k)x x8 8k k x x4 4k k12120 0，0 0，设设C C(x x1 1，y y1 1)，D D(x x2 2，y y2 2)，直线直线PCPC，PDPD的斜率分别为的斜率分别为k k1 1，k k2 2，8 8k k4 4k k1
20、212所以所以x x1 1x x2 22 2，x x1 1x x2 22 2，3 34 4k k3 34 4k k3 33 3y y1 1y y2 22 22 2所以所以k k1 1k k2 2x x1 11 1x x2 21 1 3 3 3 3 kxkx1 1k k kxkx2 2k k 2 2 2 2 2 22 22 22 22 22 2x x2 2y y2 2x x2 2y y2 2x x1 11 1x x2 21 1-12-12-3 3 k k x x1 1x x2 2k k k k 2 2 2 22 2x x1 1x x2 2 3 3 2 2 k k 2 2 2 2x x1 1x x
21、2 2x x1 1x x2 21 12 2 3 3 3 3 2 24 4k k12128 8k kk k2 2k k k k 2 2 k k 2 2 3 34 4k k 2 2 3 34 4k k 2 22 24 4k k12128 8k k2 22 21 13 34 4k k3 34 4k k3 3k k 1 1，4 47 7所以所以k k，直线，直线l l的方程为的方程为 7 7x x4 4y y7 74 40.0.设设C C(x x1 1，y y1 1)，D D(x x2 2，y y2 2)，直线，直线l l的方程为的方程为3 3x x2 2y y2 22 2y yx xn n，代入代入
22、 1 1 并消去并消去y y得得 3 3x x2 2 3 32 24 43 3nxnx2 2n n6 60 0，2 2 3 32 2n n6 6所以所以x x1 1x x2 2n n，x x1 1x x2 2，3 33 3 2 2 3 3n n 2 2 所以所以x xx x(x x1 1x x2 2)2 2x x1 1x x2 2 3 3 2 21 12 22 22 22 22 2-13-13-2 2n n6 6224 4，3 32 2 x x1 1 2 22 22 22 22 22 22 2所以所以OCOCODODx x1 1y y1 1x x2 2y y2 2x x1 13 3 1 1 4
23、 4 2 2 x x2 2 2 2x x2 23 3 1 1 7 7，4 4 2 2所以所以OCOCODODOCOC2 2ODOD2 27 72 2，当且仅当当且仅当OCOCODOD2 21414时取等号，时取等号，2 27 7所以所以OCOCODOD的最大值为的最大值为.2 2x xy y1010椭圆椭圆C C：2 22 21(1(a a b b0)0)的焦点坐标分的焦点坐标分a ab b别为别为F F1 1(1,0)1,0)，F F2 2(1,0)(1,0)，P P为椭圆为椭圆C C上一点，满上一点，满3 3足足 3 3PFPF1 15 5PFPF2 2且且 coscosF F1 1PFP
24、F2 2.5 5(1)(1)求椭圆求椭圆C C的标准方程；的标准方程；(2)(2)设直线设直线l l：y ykxkxm m与椭圆与椭圆C C交于交于A A，B B2 22 2-14-14-1 1 两点，点两点，点Q Q，0 0，假设，假设AQAQBQBQ，求，求k k的取值范的取值范 4 4 围围解：解：(1)(1)由题意设由题意设PFPF1 1r r1 1，PFPF2 2r r2 2，那么，那么 3 3r r1 15 5r r2 2，5 53 3又又r r1 1r r2 22 2a a，r r1 1a a，r r2 2a a.4 44 4在在PFPF1 1F F2 2中，由余弦定理得，中，由
25、余弦定理得，coscosF F1 1PFPF2 2r rr rF F1 1F F2 2r r1 1r r2 22 21 12 22 22 22 2 5 5 2 2 3 3 2 2 a a a a 2 22 2 4 4 4 4 5 53 32 2a aa a4 44 43 3，5 52 22 22 2解得解得a a2 2，c c1 1，b ba ac c3 3，椭圆椭圆C C的标准方程为的标准方程为 1.1.4 43 3x x2 2y y2 2 1 1，(2)(2)联立联立 4 43 3 y ykxkxm m，2 22 22 22 2x xy y 消去消去y y得得(3(34 4k k)x x8
26、 8kmxkmx4 4m m12120 0，2 2-15-15-8 8kmkm设设A A(x x1 1，y y1 1)，B B(x x2 2，y y2 2)，那么那么x x1 1x x2 22 2，3 34 4k k4 4m m12122 22 2x x1 1x x2 22 2，且，且48(348(34 4k km m)0.)0.3 34 4k k设设ABAB的中点为的中点为M M(x x0 0，y y0 0)，连接，连接QMQM，那那么么x x0 03 3m m2 2.3 34 4k kAQAQBQBQ，ABABQMQM，1 1 又又Q Q，0 0，M M为为ABAB的中点，的中点，4 4
27、2 2x x1 1x x2 22 24 4kmkm2 2，y y0 0kxkx0 0m m3 34 4k kk k0，直线0，直线QMQM的斜率存在，的斜率存在，3 3m m2 23 34 4k kk kk kQMQMk k1 1，4 4kmkm1 12 23 34 4k k4 43 34 4k k2 2解得解得m m.4 4k k 3 34 4k k 2 2，把代入得把代入得 3 34 4k k 4 4k k 2 2-16-16-2 2整理得整理得 1616k k8 8k k3030，1 11 1即即(4(4k k1)(41)(4k k3)03)0，解得，解得k k 或或k k ，2 22 22 22 24 42 2 1 1 1 1故故k k的取值范围为的取值范围为，.2 2 2 2 -17-17-