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1、第 12 讲 圆锥曲线中探索性问题及创新型问题 课后自测诊断-及时查漏补缺备考不留死角 1已知椭圆C：错误!错误!1（ab0)的长轴是短轴的两倍,点A错误!在椭圆C上不过原点的直线l与椭圆C相交于A,B两点，设直线OA，l,OB的斜率分别为k1，k，k2，且k1，k，k2恰好构成等比数列（1)求椭圆C的方程(2)试判断OA2OB2是否为定值？若是,求出这个值；若不是，请说明理由 解:(1)由题意知a2b且错误!错误!1，所以a24，b21，所以椭圆C的方程为x24y21.(2）设直线l的方程为ykxm，m0，A(x1，y1)，B(x2，y2)联立错误!整理得(14k2)x28kmx4m240,
2、所以x1x2错误!，x1x2错误!，且16(14k2m2)0。因为k1，k,k2恰好构成等比数列，所以k2k1k2错误!错误!，即k2k2错误!错误!，所以4k2m2m20，因为m0,所以k2错误!，解得k错误!，此时16(2m2)0,即m（错误!，错误!）,所以错误!又OA2OB2x21y错误!x错误!y错误!错误!(x错误!x错误!）2错误!（x1x2）22x1x225，所以OA2OB2是定值，且为 5.2(2019全国卷)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB4，M过点A,B且与直线x20 相切(1)若A在直线xy0 上，求M的半径（2)是否存在定点P，使得当A运动时，MAMP为定值？并
3、说明理由 解：(1）因为M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上由已知A在直线xy0 上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线yx上，故可设M（a，a)因为M与直线x20 相切,所以M的半径为r|a2|。由已知得|AO|2。又MOAO，故可得 2a24(a2）2，解得a0 或a4.故M的半径r2 或r6.（2)存在定点P(1,0)，使得|MA|MP|为定值 理由如下：设M(x，y），由已知得M的半径为r|x2，|AO|2。由于MOAO，故可得x2y24（x2）2，化简得M的轨迹方程为y24x.因为曲线C：y24x是以点P（1,0)为焦点，以直线x1 为准线的抛物线，所以|MPx1.因为
4、|MA|MP|rMP|x2(x1)1，所以存在满足条件的定点P.3。如图，已知F1，F2分别是椭圆C：错误!错误!1（ab0)的左、右焦点，点P（2，3)是椭圆C上一点，且PF1x轴(1）求椭圆C的方程;(2)设圆M:（xm)2y2r2(r0)设圆M与线段PF2交于A，B两点，若错误!错误!错误!错误!，且AB2，求r的值;设m2，过点P作圆M的两条切线分别交椭圆C于G，H两点（均异于点P)试问：是否存在这样的正数r，使得G，H两点恰好关于坐标原点O对称？若存在，求出r的值；若不存在,请说明理由 解:（1）因为点P(2，3)是椭圆C上一点，且PF1x轴，所以椭圆的半焦距c2，由错误!错误!1，
5、得y错误!,所以错误!错误!3，化简得a23a40,解得a4，所以b212，所以椭圆C的方程为x216y2121.(2)因为错误!错误!错误!错误!,所以错误!错误!错误!错误!，即错误!错误!.所以线段PF2与线段AB的中点重合(记为点Q)，由(1）知Q错误!.因为圆M与线段PF2交于A,B两点，所以kMQkABkMQkPF21，即错误!错误!1,解得m错误!，所以MQ 错误!错误!，又AB2，所以r 错误!错误!.假设存在正数r满足题意 由G,H两点恰好关于原点对称，设G（x0,y0)，则H(x0，y0），不妨设x00。因为P（2,3），m2，所以两条切线的斜率均存在,设过点P与圆M相切的
6、直线的斜率为k，则切线方程为y3k(x2）,即kxy2k30，由该直线与圆M相切，得r错误!,即k 错误!，所以两条切线的斜率互为相反数，即kPGkPH，所以y03x02错误!，化简得x0y06,即y0错误!,代入错误!错误!1，化简得x错误!16x错误!480，解得x02（舍去)或x02错误!，所以y0错误!，所以G（2 3，错误!)，H（2错误!，错误!)，所以kPG3 322 3错误!，所以r错误!错误!.故存在满足条件的正数r,且r错误!.4。如图,点T为圆O：x2y21 上一动点,过点T分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B,连结BA并延长至点P，使得错误!错误!,点P的轨迹记为曲
7、线C。(1)求曲线C的方程;（2）若点A，B分别位于x轴与y轴的正半轴上,直线AB与曲线C相交于M，N两点，试问:在曲线C上是否存在点Q，使得四边形OMQN为平行四边形?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由 解：（1）设P(x，y），T（x0，y0），则A（x0，0)，B（0，y0），由题意知错误!错误!，所以A为PB中点,由中点坐标公式得错误!即错误!又因为点T在圆O：x2y21 上，所以x错误!y错误!1,从而错误!y21。故曲线C的方程为错误!y21.(2）假设存在满足题意的点Q，由题意知直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程为ykxt，因为ABOT1,故错误!2t21,即错
8、误!t21,联立错误!消去y，得（4k21）x28ktx4（t21）0,设M（x1,y1),N(x2，y2)，则x1x2错误!，x1x2错误!,y1y2k(x1x2）2tk错误!2t错误!，因为OMQN为平行四边形，故Q错误!，因为点Q在椭圆上，所以错误!错误!21，整理得 4t24k21，将代入，得4k4k210，该方程无解，故不存在满足题意的点Q.尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共
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