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1、上海市 2019 学年度高考数学模拟试卷 一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）只要求直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分.1.函数)2(log1)(2xxf的定义域为 2.复数z满足iiz1=i1，则iz31=3.底面边长为 2m，高为 1m 的正三棱锥的全面积为 m2 4.某工厂生产 10 个产品，其中有 2 个次品，从中任取 3 个产品进行检测，则 3个产品中至多有 1 个次品的概率为 5.若非零向量,a br r满足32ababrrrr,则,a br r夹角的余弦值为_ 6.已知圆O：522 yx，直线l：)20(1sincos yx，设圆O上到直线l的距离
2、等于 1 的点的个数为k，则k 7.已知)(xf是定义在R上的奇函数.当0 x时，xxxf4)(2，则不等式xxf)(的解集用区间表示为 8.已知 na为等比数列，其前n项和为nS，且2nnSa*()nN，则数列 na的通项公式为 9.设1a，若对于任意的,2 xaa，都有2,ya a满足方程loglog3aaxy，这时a的取值范围为_ 10.已知F是抛物线42yx 的焦点，BA,是抛物线上两点，线段AB的中点为)2,2(M，则ABF的面积为 11.如图,已知树顶 A 离地面212米，树上另一点 B 离地面112米，某人在离地面32米的 C 处看此树，则该人离此树 米时，看 A、B 的视角最大
3、 第 11 题图 12.将函数()2sin()3f xx（0）的图象向左平移3个单位，得到函数()yg x的图象，若()yg x在0,4上为增函数，则的最大值为 13.如图，矩形nnnnDCBA的一边nnBA在x轴上，另外两个顶点nnDC在函数)0(1)(xxxxf的图象上.若点nB的坐标),2)(0,(Nnnn，记矩形nnnnDCBA的周长为na，数列 na的前mNm项和为mS，则2limnmnaS=14.已知定义域为R的偶函数)(xf，对于任意Rx，满足)2()2(xfxf。且当20 x时xxf)(。令)()(1xgxg，)()(1xggxgnn，其中*Nn，函数2124102)(xxxx
4、xg则方程2014)(xxfgn的解的个数为 （结果用n表示）二、选择题(本大题共有 4 题，满分 20 分)每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5 分，否则一律得零分.15.记 maxa，b为 a 和 b 两数中的较大数设函数()f x和()g x的定义域都是 R，则“()f x和()g x都是偶函数”是“函数()max()()F xf xg x，为偶函数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件.C.充要条件.D.既不充分也不必要条件.16.将函数)32cos(xy的图象向左平移6个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，所得函数图象的一条
5、对称轴是 A3x B.6x Cx D.2x 17.如图，偶函数)(xf的图象形如字母 M，奇函数)(xg的图象形如字母 N，若方程：()0,ff x()0,f g x0)(,0)(xfgxgg的实数根的个数分别为 a、b、c、d，则dcba=1 2-1-2 x y O 1-1()yf x x y O 1-1-2 2()yg x AnDnBnOxyCn A27 B30 C33 D36 18.已知x表示大于x的最小整数，例如34,1.31 下列命题:函数()f xxx的值域是0,1；若 na是等差数列，则na也是等差数列；若 na是等比数列，则na也是等比数列；若1,2014x，则方程12xx有2
6、013个根.其中正确的是 A.B.C.D.三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须写出必要的步骤 19.（本题满分 12 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 6 分）如图，在三棱锥SABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，90BAC，O为BC中点（1）证明：SO 平面ABC；（2）求二面角ASCB的余弦值 20.（本题满分 14 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分）已知AB、分别在射线CMCN、（不含端点C）上运动，23MCN，在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c（1）若a、b、c依次成等差数列，且公差为 2求c的值；（2）若3c，A
7、BC，试用表示ABC的周长，并求周长的最大值 OSBACMNACBO x y A B l 21.（本题满分 14 分，第 1 小题 7 分，第 2 小题 7 分）给定数列12naaaL，.对1,2,1inL,该数列前i项的最大值记为iA,后ni项12iinaaaL，的最小值记为iB,iiidAB.(1)设12naaaL，(4n)是公比大于1的等比数列,且10a.证明:1d,2d,.,1nd是等比数列(2)设1d,2d,.,1nd是公差大于 0 的等差数列,且10d,证明:1a,2a,.,1na是等差数列 22.（本题满分 16 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6
8、分）在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，短半轴长为 2，椭圆 C长轴的右端点到其右焦点的距离为51（1）求椭圆 C 的方程（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，且2AOB 求证：原点 O 到直线 AB 的距离为定值(3)在（2）的条件下，求 AB 的最小值 23.（本题满分 18 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分）对于函数12(),(),()f xfxh x，如果存在实数,a b使得12()()()h xa f xb fx，那么称()h x为12(),()f xfx的生成函数.（1）下面给出两组函数，()h x是否分别
9、为12(),()f xfx的生成函数并说明理由；第一组：12()lg,()lg10,()lg10 xf xfxx h xx；第二组：1)(,1)(,)(22221xxxhxxxfxxxf；（2）设12212()log,()log,2,1f xxfxx ab，生成函数()h x.若不等式 23()2()0hxh xt 在2,4x上有解，求实数t的取值范围；（3）设121()(0),()(0)f xxxfxxx，取0,0ab，生成函数()h x图像的最低点坐标为(2,8).若对于任意正实数21,xx且121xx.试问是否存在最大的常数m，使mxhxh)()(21恒成立如果存在，求出这个m的值；如果
10、不存在，请说明理由.一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）只要求直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分.1.),3(3,2 2.5 3.3 3 4.1514 5.13 6.4 7.,50,5 8.12nna*()nN 9.2,)10.2 11.6 12.2 13.81 14.n22014 二、选择题(本大题共有 4 题，满分 20 分)每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5 分，否则一律得零分.15.A 17.B 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须写出必要的步骤 19.（本题满分 12 分，第 1 小题 6 分，第
11、 2 小题 6 分）（1）由题设AB AC SB SC=SA，连结OA，ABC为等腰直角三角形，所以 22OAOBOCSA，且AOBC，又SBC为等腰三角形，SOBC，且22SOSA，从而222OASOSA 所 以SOA为直角三角形，SOAO又AOBOOI 所以SO 平面ABC（2）取SC中点M，连结AMOM，由（1）知SOOCSAAC，得OMSCAMSC，OMA为二面角ASCB的平面角 由AOBCAOSOSOBCOI，得AO 平面SBC 所以AOOM，又32AMSA，故26sin33AOAMOAM所以二面角ASCB的余弦值为33 20.（本题满分 14 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题
12、 8 分）（1）Qa、b、c成等差，且公差为 2，4ac、2bc.又Q23MCN，1cos2C ，222122abcab，2224212422ccccc，恒等变形得 29140cc，解得7c 或2c.又Q4c，7c.（2）在ABC中，sinsinsinACBCABABCBACACB，322sinsinsin33ACBC，2sinAC，2sin3BC.ABC的周长 f ACBCAB2sin2sin33 132sincos322 2sin33，又Q0,3，2333,当32即6 时，f 取得最大值23 21.（本题满分 14 分，第 1 小题 7 分，第 2 小题 7 分）(1)因为10a,公比1q
13、,所以12naaaL，是递增数列.因此,对1,2,1inL,iiAa,1iiBa.于是对1,2,1inL,111(1)iiiiiidABaaaq q.因此0id 且1iidqd(1,2,2inL),即1d,2d,1nd是等比数列.(2)设d为1d,2d,1nd的公差.对12in,因为1iiBB,0d,所以111iiiABdiiBddiiBd=iA.又因为11max,iiiAA a,所以11iiiiaAAa.从而121naaaL，是递增数列,因此iiAa(1,2,2inL).又因为111111BAdada,所以1121nBaaaL.因此1naB.所以121nnBBBaL.所以iiaA=iiniB
14、dad.因此对1,2,2inL都有11iiiiaaddd,即1a,2a,.,1na是等差数列.22.（本题满分 16 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分）（1）由题意，可设椭圆 C 的方程为22221(0)yxabab，222515221acabbcabc，所以椭圆方程为22154xy（2）设原点O到直线AB的距离为 h，则由题设及面积公式知OA OBhAB 当直线OA的斜率不存在或斜率为0时，52OAOB，或52OBOA，于是2 52 5345d 当直线OA的斜率k存在且不为0时，则22222115454xyxk xykx，解得222221154154AAx
15、kkyk，同理222221115411154BBxkkyk，在 RtOAB 中，22222222OAOBOAOBhABOAOB，则222222222222222111111115544545411111kkkOAOBkhOAOBOAOBkkkk 221111454511945201kk，所以2 53h 综上，原点O到直线AB的距离为定值2 53 另解：2222222222222222222111111111554411111111155441115544kkkkOAOBkkhOAOBkkkkkkkk 222212999920201020kkkk，所以2 53h （3）因为 h 为定值，于是求A
16、B的最小值即求OA OB的最小值 22OAOB2222222211121114111120400554204kkkkkkkk，令221tkk，则2t，于是22OAOB2204012020 11412041204120400ttttt，因为2t，所以22116002018181OAOB，当且仅当2t，即1k ，OA OB取得最小值409，因而min404 5932 53AB 所以AB的最小值为4 53 23.（本题满分 18 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分）（1）lglg10lg10 xabxx1011,22a ba bab Q 所以()h x是12(),(
17、)f xfx的生成函数 设222()(1)1a xxb xxxx，即22()()1ab xab xbxx，则111bbaba，该方程组无解.所以()h x不是12(),()f xfx的生成函数.（2）122122()2()()2logloglogh xf xfxxxx 若不等式23()2()0hxh xt 在2,4x上有解，23()2()0hxh xt，即22223()2()3log2logthxh xxx 设2logsx，则1,2s，22223log2log32yxxss ，max5y，故，5t .（3）由题意，得()(0)bh xaxxx，则()2bh xaxabx 28228baab，解得28ab，所以8()2(0)h xxxx 假设存在最大的常数m，使mxhxh)()(21恒成立.于是设)(16644)4)(4(4)()(12212121221121xxxxxxxxxxxxxhxhu=2221212121212121212121212()2646480416416432xxxxx xx xx xx xx xx xx xx xx x 令12tx x，则41)2(22121xxxxt，即41,0(t 设80432utt在41,0(t上单调递减，289)41(uu，故存在最大的常数289m