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1、.7.7.17.7.1 空间角空间角课 时 跟 踪 检 测1如图,在三棱锥PABC中,PA底面ABC,BAC90.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PAAC4,AB2.求证：MN平面BDE；求二面角CEMN的正弦值；已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为错误错误!,求线段AH的长解：如图,以A为原点,分别以错误错误!,错误错误!,错误错误!方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系依题意可得A,B,C,P,D,E,M,N证明：错误错误!,错误错误!设n n为平面BDE的法向量,则错误错误!即错误错误!不妨设z1,可得n n又错误错误!,可得错
2、误错误!n n0.因为MN平面BDE,所以MN平面BDE.易知n n1 1为平面CEM的一个法向量设n n2 2为平面EMN的法向量,则错误错误!因为错误错误!,错误错误!,所以错误错误!.不妨设y11,可得n n2 2因此有 cosn n1 1,n n2 2错误错误!错误错误!,于是 sinn n1 1,n n2 2错误错误!.所以二面角CEMN的正弦值为错误错误!.依题意,设AHh,则H,进而可得错误错误!,错误错误!由已知得|cos错误错误!,错误错误!|错误错误!错误错误!错误错误!,整理得 10h21h80,解得h错误错误!或h错误错误!.所以线段AH的长为错误错误!或错误错误!.2
3、.如图,四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,ADBC,ABADAC3,PABC4,M为线段2AD上一点,AM2MD,N为PC的中点证明：MN平面PAB；求直线AN与平面PMN所成角的正弦值解：证明：由已知得AM错误错误!AD2.如图,取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TNBC,TN错误错误!BC2.又ADBC,故TN綊AM,四边形AMNT为平行四边形,于是MNAT.因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.如图,取BC的中点E,连接AE.由ABAC得AEBC,从而AEAD,且AE 错误错误!错误错误!错误错误!.以A为坐标原点,分别以错误错误!,错误错误!,错误错
4、误!的方向为x轴,y轴,z轴正方向,建立如图所.示的空间直角坐标系Axyz.由题意知,P,M,C,N错误错误!,则错误错误!,错误错误!错误错误!.设n n为平面PMN的法向量,则错误错误!即错误错误!取z1 可得n n于是|cosn n,错误错误!|错误错误!错误错误!.所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为错误错误!.3 如图,在长方体AC1中,ADAB2,AA11,E为D1C1的中点在所给图中画出平面ABD1与平面B1EC的交线；证明：BD1平面B1EC；求平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的余弦值解：连接BC1交B1C于M,连接ME,则直线ME即为平面ABD1与平面B1EC的交线
5、,如图所示证明：在长方体AC1中,DA,DC,DD1两两垂直,于是以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,因为ADAB2,AA11,所以D,A,D1,B,B1,C,E所以错误错误!,错误错误!,错误错误!,设平面B1EC的法向量为m m,所以错误错误!m m,错误错误!m m,从而有,错误错误!即错误错误!不妨令x1,得到平面B1EC的一个法向量为m m,.而错误错误!m m2420,所以错误错误!m m,又因为BD1平面B1EC,所以BD1平面B1EC.由知错误错误!,错误错误!,设平面ABD1的法向量为n n,所以错误错误!n n,错误错误!n
6、 n,从而有错误错误!即错误错误!不妨令x11,得到平面ABD1的一个法向量为n n,因为 cosm m,n n错误错误!错误错误!错误错误!,所以平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的余弦值为 错误错误!.4 如图 1,已知正三角形ABC,以AB,AC为边在同一平面内向外作正三角形ABE与ACD,F为CD中点,分别沿AB,AF将平面ABE,平面ADF折成直二面角,连接EC,CD,如图 2 所示求证：CD平面ABE；求二面角EACB的余弦值解：证明：取AB的中点G,连接EG,则EGAB,由题意知二面角CABE为直二面角,EG平面ABCF.F为CD的中点,ACAD,AFFC,AFFD.又二面角
7、CAFD为直二面角,DF平面ABCF,DFEG.由题意知BACACF60,CFAB,又DFCFF,EGABG,平面CDF平面ABE,又CD平面DCF,CD平面ABE.连接GC,由于ACBC,所以GCAB于点G,以G为坐标原点,GB,GC,GE所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设ABC的边长为 2,GEGC错误错误!,则G,C,A,E,B,错误错误!,错误错误!,错误错误!,设平面AEC的一个法向量为m m,则错误错误!即错误错误!取x错误错误!,得y1,z1,m m同理可知平面ABC的一个法向量为n n,那么 cosm m,n n错误错误!错误错误!错误错误!,又二面角EACB为锐角,二面角EACB的余弦值为错误错误!.