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1、 空间角课 时 跟 踪 检 测1(2017年天津卷)如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC90.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PAAC4，AB2.(1)求证：MN平面BDE；(2)求二面角CEMN的正弦值；(3)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长解：如图，以A为原点，分别以，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系依题意可得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，D(0,0,2)，E(0,2,2)，M(0,0,1)，N(1,2,0)(1)证明：(0,2,0)，(2,0，2)设
2、n(x，y，z)为平面BDE的法向量，则即不妨设z1，可得n(1,0,1)又(1,2，1)，可得n0.因为MN平面BDE，所以MN平面BDE.(2)易知n1(1,0,0)为平面CEM的一个法向量设n2(x1，y1，z1)为平面EMN的法向量，则因为(0，2，1)，(1,2，1)，所以不妨设y11，可得n2(4,1，2)因此有cosn1，n2，于是sinn1，n2.所以二面角CEMN的正弦值为.(3)依题意，设AHh(0h4)，则H(0,0，h)，进而可得(1，2，h)，(2,2,2)由已知得|cos，|，整理得10h221h80，解得h或h.所以线段AH的长为或.2.如图，四棱锥PABCD中，
3、PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点(1)证明：MN平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值解：(1)证明：由已知得AMAD2.如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)如图，取BC的中点E，连接AE.由ABAC得AEBC，从而AEAD，且AE .以A为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知，P(
4、0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，则(0,2，4)，.设n(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即取z1可得n(0,2,1)于是|cosn，|.所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.3(2018届沈阳市教学质量监测)如图，在长方体AC1中，ADAB2，AA11，E为D1C1的中点(1)在所给图中画出平面ABD1与平面B1EC的交线(不必说明理由)；(2)证明：BD1平面B1EC；(3)求平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的余弦值解：(1)连接BC1交B1C于M，连接ME，则直线ME即为平面ABD1与平面B1EC的交线，如图所示(2)证明：在长方体AC1中，DA，DC，
5、DD1两两垂直，于是以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，因为ADAB2，AA11，所以D(0,0,0)，A(2,0,0)，D1(0,0,1)，B(2,2,0)，B1(2,2,1)，C(0,2,0)，E(0,1,1)所以(2，2,1)，(2,0,1)，(0，1,1)，设平面B1EC的法向量为m(x，y，z)，所以m，m，从而有，即不妨令x1，得到平面B1EC的一个法向量为m(1,2,2)，而m2420，所以m，又因为BD1平面B1EC，所以BD1平面B1EC.(3)由(2)知(0，2,0)，(2，2,1)，设平面ABD1的法向量为n(x1，y1，
6、z1)，所以n，n，从而有即不妨令x11，得到平面ABD1的一个法向量为n(1,0,2)，因为cosm，n，所以平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的余弦值为 .4如图1，已知正三角形ABC，以AB，AC为边在同一平面内向外作正三角形ABE与ACD，F为CD中点，分别沿AB，AF将平面ABE，平面ADF折成直二面角，连接EC，CD，如图2所示(1)求证：CD平面ABE；(2)求二面角EACB的余弦值解：(1)证明：取AB的中点G，连接EG，则EGAB，由题意知二面角CABE为直二面角，EG平面ABCF.F为CD的中点，ACAD，AFFC，AFFD.又二面角CAFD为直二面角，DF平面ABCF
7、，DFEG.由题意知BACACF60，CFAB，又DFCFF，EGABG，平面CDF平面ABE，又CD平面DCF，CD平面ABE.(2)连接GC，由于ACBC，所以GCAB于点G，以G为坐标原点，GB，GC，GE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设ABC的边长为2，GEGC，则G(0,0,0)，C(0，0)，A(1,0,0)，E(0,0，)，B(1,0,0)，(1,0，)，(1，0)，(2,0,0)，设平面AEC的一个法向量为m(x，y，z)，则即取x，得y1，z1，m(，1,1)同理可知平面ABC的一个法向量为n(0,0,1)，那么cosm，n，又二面角EACB为锐角，二面角EACB的余弦值为.5