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1、行程问题经典题型（一）1、甲、乙两地相距 6 千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行 80 米，后一半时间平均每分钟行 70 米。问他走后一半路程用了多少分钟？分析：解法、全程的平均速度是每分钟（80+70）/2=75 米，走完全程的时间是 6000/75=80 分钟，走前一半路程速度一定是 80米，时间是 3000/80=37.5 分钟，后一半路程时间是 80-37.5=42.5分钟 解法 2：设走一半路程时间是 x 分钟，则 80*x+70*x=6*1000，解方程得：x=40 分钟 因为 80*40=3200 米，大于一半路程 3000 米，所以走前一半路程速度都是 80 米
2、，时间是 3000/80=37.5 分钟，后一半路程时间是40+（40-37.5）=42.5 分钟 答：他走后一半路程用了 42.5 分钟。2、小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路、一半下坡路。小明上学走两条路所用的时间一样多。已知下坡的速度是平路的 1.5 倍，那么上坡的速度是平路的多少倍？分析：解法 1：设路程为 180，则上坡和下坡均是 90。设走平路的速度是 2，则下坡速度是 3。走下坡用时间 90/3=30，走平路一共用时间 180/2=90，所以走上坡时间是 90-30=60 走与上坡同样距离的平路时用时间 90/2=45 因为速度与时间成反比，所以上坡速
3、度是下坡速度的 45/60=0.75 倍。解法 2：因为距离和时间都相同，所以平均速度也相同，又因为上坡和下坡路各一半也相同，设距离是 1 份，时间是 1 份，则下坡时间=0.5/1.5=1/3，上坡时间=1-1/3=2/3，上坡速度=（1/2）/（2/3）=3/4=0.75 解法 3：因为距离和时间都相同，所以：1/2*路程/上坡速度+1/2*路程/1.5=路程/1，得：上坡速度=0.75 答：上坡的速度是平路的 0.75 倍。3、一只小船从甲地到乙地往返一次共用 2 小时，回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶 8 千米，因此第二小时比第一小时多行驶 6 千米。那么甲、乙两地之间的距离是多少
4、千米？分析：解法，第二小时比第一小时多走 6 千米，说明逆水走1 小时还差 6/2=3 千米没到乙地。顺水走 1 小时比逆水多走 8 千米，说明逆水走 3 千米与顺水走 8-3=5 千米时间相同，这段时间里的路程差是 5-3=2 千米，等于 1 小时路程差的 1/4，所以顺水速度是每小时 5*4=20 千米（或者说逆水速度是 3*4=12 千米）。甲、乙两地距离是 12*1+3=15 千米 解法，顺水每小时比逆水多行驶 8 千米，实际第二小时比第一小时多行驶 6 千米，顺水行驶时间=6/8=3/4 小时，逆水行驶时间=2-3/4=5/4，顺水速度：逆水速度=5/4：3/4=5：3，顺水速度=8
5、*5/（5-3）=20 千米/小时，两地距离=20*3/4=15 千米。答：甲、乙两地距离之间的距离是 15 千米。4、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5 分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15 分钟。有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站。他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到了 10 辆迎面开来的电车。到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟？分析：骑车人一共看到 12 辆车，他出发时看到的是 15 分钟前发的车，此时第 4 辆车正从甲发出。骑车中，甲站发出第 4 到第12 辆车，共 9 辆，有 8 个 5 分钟的间隔，
6、时间是 5*8=40（分钟）。答：他从乙站到甲站用了 40 分钟。5、甲、乙两人在河中游泳，先后从某处出发，以同一速度向同一方向游进。现在甲位于乙的前方，乙距起点20 米，当乙游到甲现在的位置时，甲将游离起点 98 米。问：甲现在离起点多少米？分析：甲、乙速度相同，当乙游到甲现在的位置时，甲也又游过相同距离，两人各游了（98-20）/2=39（米），甲现在位置：39+20=59（米）答：甲现在离起点 59 米。6、甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行 56千米，乙每小时行 48 千米，两车在离两地中点 32 千米处相遇。问：东西两地的距离是多少千米？分析：解法 1：甲比乙 1 小时
7、多走 8 千米，一共多走 32*2=64千米，用了 64/8=8 小时，所以距离是 8*（56+48）=832（千米）解法 2：设东西两地距离的一半是 X 千米，则有：48*（X+32）=56*（X-32），解得 X=416，距离是 2*416=832（千米）解法 3：甲乙速度比=56：48=7：6，相遇时，甲比乙多行=（7-6）/（7+6）=1/13，两地距离=2*32/（1/13）=832 千米。答：东西两地间的距离是 832 千米。7、李华步行以每小时 4 千米的速度从学校出发到 20.4 千米外的冬令营报到。0.5 小时后，营地老师闻讯前往迎接，每小时比李华多走 1.2 千米。又过了
8、1.5 小时，张明从学校骑车去营地报到。结果 3 人同时在途中某地相遇。问：骑车人每小时行驶多少千米？分析：老师速度=4+1.2=5.2（千米），与李相遇时间是老师出发后（20.4-4*0.5）/（4+5.2）=2（小时），相遇地点距离学校4*（0.5+2）=10（千米），所以骑车人速度=10/（2+0.5-2）=20（千米）答：骑车人每小时行驶20 千米。8、快车和慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过5 小时相遇。已知慢车从乙地到甲地用 12.5 小时，慢车到甲地停留 0.5 小时后返回，快车到乙地停留 1 小时后返回，那么两车从第一次相遇到第二次相遇需要多少时间？分析：解法，快车
9、5 小时行过的距离是慢车 12.5-5=7.5 小时行的距离，慢车速度/快车速度=5/7.5=2/3。两车行 1 个单程用5 小时，如果不停，再次相遇需要 5*2=10 小时，如果两车都停 0.5小时，则需要 10.5 小时再次相遇。快车多停 30 分钟，这段路程快车与慢车一起走，需要 30/（1+2/3）=18（分钟）所以 10.5 小时+18 分钟=10 小时 48 分钟 解法 2：回程慢车比快车多开半小时，这半小时慢车走了0.5/12.5=1/25 全程，两车合起来少开 1/25，节省时间=5*1/25=0.2小时，所以，从第一次相遇到第二次相遇需要=5*2+1-0.2=10.8 小时。
10、答：两车从第一次相遇到第二次相遇需要 10 小时 48 分钟。9、某校和某工厂之间有一条公路，该校下午 2 时派车去该厂接某劳模来校作报告，往返需用 1 小时。这位劳模在下午 1 时便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车驶向学校，在下午 2 时 40 分到达。问：汽车速度是劳模步行速度的几倍？解：汽车走单程需要 60/2=30 分钟，实际走了 40/2=20 分钟的路程，说明相遇时间是 2：20，2 点 20 分相遇时，劳模走了 60+20=80分钟，这段距离汽车要走 30-20=10 分钟，所以车速/劳模速度=80/10=8 答：汽车速度是劳模步行速度的 8 倍。10、已知甲的
11、步行的速度是乙的 1.4 倍。甲、乙两人分别由 A，B 两地同时出发。如果相向而行，0.5 小时后相遇；如果他们同向而行，那么甲追上乙需要多少小时？分析：两人相向而行，路程之和是 AB，AB=速度和*0.5；同向而行，路程之差是 AB，AB=速度差*追及时间。速度和=1.4+1=2.4，速度差=1.4-1=0.4。所以：追及时间=速度和/速度差*0.5=2.4/0.4*0.5=3（小时）答：甲追上乙需要 3 小时。11、猎狗发现在离它10 米的前方有一只奔跑着的兔子，马上紧追上去。兔跑 9 步的路程狗只需跑 5 步，但狗跑 2 步的时间，兔却跑 3 步。问狗追上兔时，共跑了多少米路程？分析：狗
12、跑 2 步时间里兔跑 3 步，则狗跑 6 步时间里兔跑 9 步，兔走了狗5步的距离，距离缩小1步。狗速=6*速度差，路程=10*6=60（米）答：狗追上兔时，共跑了 60 米。12、张、李两人骑车同进从甲地出发，向同一方向行进。张的速度比李的速度每小时快 4 千米，张比李早到 20 分钟通过途中乙地。当李到达乙地时，张又前进了 8 千米。那么甲、乙两地之间的距离是多少千米？分析：解法 1，张速度每小时 8/（20/60）=24（千米），李速度每小时 24-4=20（千米），张到乙时超过李距离是 20*（20/60）=20/3（千米）所以甲乙距离=24*（20/3/4）=40（千米）解法 2：张
13、比李每小时快 4 千米，现共多前进了 8 千米，即共骑了 8/4=2 小时，张从甲到乙用了 2*60-20=100 分钟，所以甲乙两地距离=（100/20）*8=40 千米。答：甲、乙两地之间的距离是 40 千米。13、上午 8 时 8 分，小明骑自行车从家里出发；8 分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家 4 千米的地方追上了他；然后爸爸立刻回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8 千米。问这时是几时几分？分析：爸爸第一次追上小明离家 4 千米，如果等 8 分钟，再追上时应该离家 8 千米，说明爸爸 8 分钟行 8 千米，爸爸一共行了8+8=16 分钟，时间是 8 点 8 分
14、+8 分+16 分=8 点 32 分。答：这时 8 点 32 分。14、龟兔进行 10000 米赛跑，兔子的速度是乌龟的速度的 5 倍。当它们从起点一起出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它 5000 米；兔子奋起直追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后 100 米。那么兔子睡觉期间，乌龟跑了多少米？分析：兔子跑了 10000-100=9900米，这段时间里乌龟跑了9900*1/5=1980 米，兔子睡觉时乌龟跑了 10000-1980=8020 米 答：兔子睡觉期间乌龟跑了 8020 米。15、一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地。大轿车的速度是小轿车速度的 0
15、.8 倍。已知大轿车比小轿车早出发 17 分钟，但在两地中点停了 5 分钟后，才继续驶往乙地；在小轿车出发后中途没有停，直接驶往乙地，最后小轿车却比大轿车早 4 分钟到达乙地。又知大轿车是上午 10 时从甲地出发的，求小轿车追上大轿车的时间。分析：解法 1，大车如果中间不停车，要比小车多费 17-5+4=16分钟，大车用的时间与小车用的时间之比是速度比的倒数，即1/0.8=5/4，所以大车行驶时间是 16/（5-4）*5=80 分钟，小车行驶时间是 80-16=64 分钟，走到中间分别用了 40 和 32 分钟。大车10 点出发，到中间点是10 点 40 分，离开中点是 10 点 45 分，到
16、达终点是 11 点 25 分。小车 10 点 17 分出发，到中间点是 10 点 49分，比大车晚 4 分；到终点是 11 点 21 分，比大车早 4 分。所以小车追上大车的时间是在从中间点到终点之间的正中间，11 点 5 分。解法 2：大轿车的速度是小轿车速度的 0.8 倍，大轿车的用时是小轿车用时的 1/0.8=1.25 倍，大轿车比小轿车多用时 17-5+4=16分钟，大轿车行驶时间=16*（1.25/0.25）=80 分钟，小轿车行驶时间=16/（0.25）=64 分钟，小轿车比大轿车实际晚开 17-5=12 分钟，追上需要=12*0.8/（1-0.8）=48 分钟，48+17=65
17、分=1 小时 5分，所以，小轿车追上大轿车的时间是 11 时 5 分 答：小轿车追上大轿车的时间是11 点 5 分。行程问题（二）走路、行车、一个物体的移动，总是要涉及到三个数量：距离走了多远，行驶多少千米，移动了多少米等等；速度在单位时间内（例如 1 小时内）行走或移动的距离；时间行走或移动所花时间.这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离=速度时间 很明显，只要知道其中两个数量，就马上可以求出第三个数量.从数学上说，这是一种最基本的数量关系，在小学的应用题中，这样的数量关系也是最常见的，例如 总量=每个人的数量人数.工作量=工作效率时间.因此，我们从行程问题入手，掌握一些处理这种
18、数量关系的思路、方法和技巧，就能解其他类似的问题.当然，行程问题有它独自的特点，在小学的应用题中，行程问题的内容最丰富多彩，饶有趣味.它不仅在小学，而且在中学数学、物理的学习中，也是一个重点内容.因此，我们非常希望大家能学好这一讲，特别是学会对一些问题的思考方法和处理技巧.这一讲，用 5 千米/小时表示速度是每小时 5 千米，用 3 米/秒表示速度是每秒 3 米 一、追及与相遇 有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之差.如果设甲走
19、得快，乙走得慢，在相同时间内，甲走的距离-乙走的距离 =甲的速度时间-乙的速度时间 =（甲的速度-乙的速度）时间.通常，“追及问题”要考虑速度差.例 1 小轿车的速度比面包车速度每小时快 6 千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10 分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门 9 千米，问学校到城门的距离是多少千米？解：先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间.此时，小轿车比面包车多走了9 千米，而小轿车与面包车的速度差是 6 千米/小时，因此 所用时间=961.5（小时）.小轿车比面包车早 10 分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门 9 千
20、米，说明小轿车的速度是 面包车速度是 54-648（千米/小时）.城门离学校的距离是 481.572（千米）.答：学校到城门的距离是 72 千米.例 2 小张从家到公园，原打算每分种走 50 米.为了提早 10 分钟到，他把速度加快，每分钟走75 米.问家到公园多远？解一：可以作为“追及问题”处理.假设另有一人，比小张早 10 分钟出发.考虑小张以 75 米/分钟速度去追赶，追上所需时间是 50 10（75-50）20（分钟）?因此，小张走的距离是 75 20 1500（米）.答：从家到公园的距离是 1500 米.还有一种不少人采用的方法.解二：小张加快速度后，每走 1 米，可节约时间（1/7
21、5-1/50）分钟，因此家到公园的距离是 一种解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“计算方便”.那么你更喜欢哪一种解法呢？对不同的解法进行比较，能逐渐形成符合你思维习惯的解题思路.例 3 一辆自行车在前面以固定的速度行进，有一辆汽车要去追赶.如果速度是30千米/小时，要1小时才能追上；如果速度是 35千米/小时，要 40 分钟才能追上.问自行车的速度是多少？解一：自行车 1 小时走了 301-已超前距离，自行车 40 分钟走了 自行车多走 20 分钟，走了 因此，自行车的速度是 答：自行车速度是 20 千米/小时.解二：因为追上所需时间=追上距离速度差 1 小时与 40 分钟是 32.所以两
22、者的速度差之比是 23.请看下面示意图：马上可看出前一速度差是 15.自行车速度是 35-15 20（千米/小时）.解二的想法与第二讲中年龄问题思路完全类同.这一解法的好处是，想清楚后，非常便于心算.例 4 上午 8 点 8 分，小明骑自行车从家里出发，8 分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家 4 千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是 8 千米，这时是几点几分？解：画一张简单的示意图：图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了 8-44（千米）.而爸爸骑的距离是 4 8 12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度
23、的 1243（倍）.按照这个倍数计算，小明骑 8 千米，爸爸可以骑行 8324（千米）.但事实上，爸爸少用了 8 分钟，骑行了 41216（千米）.少骑行 24-168（千米）.摩托车的速度是 1 千米/分，爸爸骑行 16 千米需要 16 分钟.881632.答：这时是 8 点 32 分.下面讲“相遇问题”.小王从甲地到乙地，小张从乙地到甲地，两人在途中相遇，实质上是小王和小张一起走了甲、乙之间这段距离.如果两人同时出发，那么 甲走的距离+乙走的距离 =甲的速度时间+乙的速度时间 =（甲的速度+乙的速度）时间.“相遇问题”，常常要考虑两人的速度和.例 5 小张从甲地到乙地步行需要 36 分钟，
24、小王骑自行车从乙地到甲地需要 12 分钟.他们同时出发，几分钟后两人相遇？解：走同样长的距离，小张花费的时间是小王花费时间的 36123（倍），因此自行车的速度是步行速度的 3 倍，也可以说，在同一时间内，小王骑车走的距离是小张步行走的距离的 3 倍.如果把甲地乙地之间的距离分成相等的 4 段，小王走了 3 段，小张走了 1 段，小张花费的时间是 36（31）9（分钟）.答：两人在 9 分钟后相遇.例 6 小张从甲地到乙地，每小时步行 5 千米，小王从乙地到甲地，每小时步行 4 千米.两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点 1 千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离.解：画一张示意图 离中点 1
25、 千米的地方是 A 点，从图上可以看出，小张走了两地距离的一半多 1 千米，小王走了两地距离的一半少 1 千米.从出发到相遇，小张比小王多走了 2 千米 小张比小王每小时多走（5-4）千米，从出发到相遇所用的时间是 2（5-4）2（小时）.因此，甲、乙两地的距离是 （5 4）218（千米）.本题表面的现象是“相遇”，实质上却要考虑“小张比小王多走多少？”岂不是有“追及”的特点吗？对小学的应用题，不要简单地说这是什么问题.重要的是抓住题目的本质，究竟考虑速度差，还是考虑速度和，要针对题目中的条件好好想一想.千万不要“两人面对面”就是“相遇”，“两人一前一后”就是“追及”.请再看一个例子.例 7
26、甲、乙两车分别从A，B 两地同时出发，相向而行，6 小时后相遇于 C 点.如果甲车速度不变，乙车每小时多行 5 千米，且两车还从 A，B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距 C 点 12 千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行 5 千米，且两车还从 A，B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距 C 点 16 千米.求 A，B 两地距离.解：先画一张行程示意图如下 设乙加速后与甲相遇于 D 点，甲加速后与乙相遇于 E 点.同时出发后的相遇时间，是由速度和决定的.不论甲加速，还是乙加速，它们的速度和比原来都增加 5 千米，因此，不论在 D 点相遇，还是在 E 点相遇，所用时间是一样的，这是解决本题的
27、关键.下面的考虑重点转向速度差.在同样的时间内，甲如果加速，就到 E 点，而不加速，只能到 D 点.这两点距离是 12 16 28（千米），加速与不加速所形成的速度差是 5 千米/小时.因此，在 D 点 （或 E 点）相遇所用时间是 285 5.6（小时）.比 C 点相遇少用 6-5.60.4（小时）.甲到达 D，和到达 C 点速度是一样的，少用 0.4 小时，少走 12千米，因此甲的速度是 120.430（千米/小时）.同样道理，乙的速度是 160.440（千米/小时）.A 到 B 距离是（30 40）6 420（千米）.答：A，B 两地距离是 420 千米.很明显，例 7 不能简单地说成是
28、“相遇问题”.例 8 如图，从 A 到 B 是 1 千米下坡路，从 B 到 C 是 3 千米平路，从 C 到 D 是 2.5 千米上坡路.小张和小王步行，下坡的速度都是 6 千米/小时，平路速度都是 4 千米/小时，上坡速度都是 2 千米/小时.问：（1）小张和小王分别从 A，D 同时出发，相向而行，问多少时间后他们相遇？（2）相遇后，两人继续向前走，当某一个人达到终点时，另一人离终点还有多少千米？解：（1）小张从 A 到 B 需要 1660 10（分钟）；小王从 D 到 C 也是下坡，需要 2.5660 25（分钟）；当小王到达 C 点时，小张已在平路上走了 25-1015（分钟），走了 因
29、此在 B 与 C 之间平路上留下 3-1 2（千米）由小张和小王共同相向而行，直到相遇，所需时间是 2（4 4）60 15（分钟）.从出发到相遇的时间是 25 15 40（分钟）.（2）相遇后，小王再走 30 分钟平路，到达 B 点，从 B 点到 A点需要走 1260=30 分钟，即他再走 60 分钟到达终点.小张走 15 分钟平路到达 D 点，45 分钟可走 小张离终点还有 2.5-1.5=1（千米）.答：40 分钟后小张和小王相遇.小王到达终点时，小张离终点还有 1 千米.二、环形路上的行程问题 人在环形路上行走，计算行程距离常常与环形路的周长有关.例 9 小张和小王各以一定速度，在周长为
30、 500 米的环形跑道上跑步.小王的速度是 180 米/分.（1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，75 秒后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分？（2）小张和小王同时从同一点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？解：（1）75 秒-1.25 分.两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程.小张的速度是 5001.25-180=220（米/分）.（2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），因此需要的时间是 500（220-180）12.5（分）.22012.55005.5（圈）.答：（1）小张的速度是 220 米/分；（2）小张跑 5.5 圈
31、后才能追上小王.例 10 如图，A、B 是圆的直径的两端，小张在 A 点，小王在 B点同时出发反向行走，他们在 C 点第一次相遇，C 离 A 点 80 米；在 D 点第二次相遇，D 点离 B 点 6O 米.求这个圆的周长.解：第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一圈.从出发开始算，两个人合起来走了一周半.因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的 3 倍，那么从 A 到 D 的距离，应该是从 A 到 C 距离的3 倍，即 A 到 D 是 803240（米）.240-60=180（米）.1802360（米）.答：这个圆的周长是 360 米
32、.在一条路上往返行走，与环行路上行走，解题思考时极为类似，因此也归入这一节.例 11 甲村、乙村相距 6 千米，小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回）.在出发后 40 分钟两人第一次相遇.小王到达甲村后返回，在离甲村 2千米的地方两人第二次相遇.问小张和小王的速度各是多少？解：画示意图如下：如图，第一次相遇两人共同走了甲、乙两村间距离，第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村间距离的 3 倍，因此所需时间是 403602（小时）.从图上可以看出从出发至第二次相遇，小张已走了 62-210（千米）.小王已走了 62=8（千米）.因此，他们的速度分别是 小张 1
33、025（千米/小时），小王 82=4（千米/小时）.答：小张和小王的速度分别是5 千米/小时和 4 千米/小时.例 12 小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回），他们在离甲村 3.5 千米处第一次相遇，在离乙村 2 千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？解：画示意图如下.第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的 3 倍，因此张走了 3.5310.5（千米）.从图上可看出，第二次相遇处离乙村 2 千米.因此，甲、乙两村距离是 10.5-28.5（千米）.每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离 2 倍的路程.第四次
34、相遇时，两人已共同走了两村距离（322）倍的行程.其中张走了 3.5724.5（千米），24.5=8.58.57.5（千米）.就知道第四次相遇处，离乙村 8.5-7.5=1（千米）.答：第四次相遇地点离乙村 1 千米.下面仍回到环行路上的问题.例 13 绕湖一周是 24 千米，小张和小王从湖边某一地点同时出发反向而行.小王以 4 千米/小时速度每走 1 小时后休息 5 分钟；小张以 6 千米/小时速度每走 50 分钟后休息 10 分钟.问：两人出发多少时间第一次相遇？解：小张的速度是 6 千米/小时，50 分钟走 5 千米我们可以把他们出发后时间与行程列出下表：121527 比 24 大，从表
35、上可以看出，他们相遇在出发后 2小时 10 分至 3 小时 15 分之间.出发后 2 小时 10 分小张已走了 此时两人相距 24-（811）=5（千米）.由于从此时到相遇已不会再休息，因此共同走完这 5 千米所需时间是 5（46）0.5（小时）.2 小时 10 分再加上半小时是 2 小时 40 分.答：他们相遇时是出发后 2 小时 40 分.例 14 一个圆周长 90 厘米，3 个点把这个圆周分成三等分，3只爬虫 A，B，C 分别在这 3 个点上.它们同时出发，按顺时针方向沿着圆周爬行.A 的速度是 10 厘米/秒，B 的速度是 5 厘米/秒，C的速度是 3 厘米/秒，3 只爬虫出发后多少时
36、间第一次到达同一位置？解：先考虑 B 与 C 这两只爬虫，什么时候能到达同一位置.开始时，它们相差 30 厘米，每秒钟 B 能追上 C（5-3）厘米 0.30（5-3）15（秒）.因此 15 秒后 B 与 C 到达同一位置.以后再要到达同一位置，B要追上 C 一圈，也就是追上 90 厘米，需要 90（5-3）45（秒）.B 与 C 到达同一位置，出发后的秒数是 15，105，150，195，再看看 A 与 B 什么时候到达同一位置.第一次是出发后 30（10-5）=6（秒），以后再要到达同一位置是 A 追上 B 一圈.需要 90（10-5）18（秒），A 与 B 到达同一位置，出发后的秒数是
37、6，24，42，78，96，对照两行列出的秒数，就知道出发后60 秒 3 只爬虫到达同一位置.答：3 只爬虫出发后 60 秒第一次爬到同一位置.请思考，3 只爬虫第二次到达同一位置是出发后多少秒？例 15 图上正方形 ABCD 是一条环形公路.已知汽车在 AB 上的速度是 90 千米/小时，在 BC 上的速度是 120 千米/小时，在 CD 上的速度是 60 千米/小时，在 DA 上的速度是 80 千米/小时.从 CD 上一点 P，同时反向各发出一辆汽车，它们将在 AB 中点相遇.如果从PC 中点 M，同时反向各发出一辆汽车，它们将在 AB 上一点 N 处相遇.求 解：两车同时出发至相遇，两车
38、行驶的时间一样多.题中有两个“相遇”，解题过程就是时间的计算.要计算方便，取什么作计算单位是很重要的.设汽车行驶 CD 所需时间是 1.根据“走同样距离，时间与速度成反比”，可得出 分数计算总不太方便，把这些所需时间都乘以 24.这样，汽车行驶 CD，BC，AB，AD 所需时间分别是 24，12，16，18.从 P 点同时反向各发一辆车，它们在 AB 中点相遇.PDA 与 PCB 所用时间相等.PC 上所需时间-PD 上所需时间 =DA 所需时间-CB 所需时间 =18-12 =6.而（PC 上所需时间+PD 上所需时间）是 CD 上所需时间 24.根据“和差”计算得 PC 上所需时间是（24
39、+6）215，PD 上所需时间是 24-159.现在两辆汽车从 M 点同时出发反向而行，MPDAN 与 MCBN 所用时间相等.M 是 PC 中点.PDAN 与 CBN 时间相等，就有 BN 上所需时间-AN 上所需时间 =PDA 所需时间-CB 所需时间 =（918）-12 =15.BN 上所需时间+AN 上所需时间=AB 上所需时间=16.立即可求 BN 上所需时间是 15.5，AN 所需时间是 0.5.从这一例子可以看出，对要计算的数作一些准备性处理，会使问题变得简单些.三、稍复杂的问题 在这一节希望读者逐渐掌握以下两个解题技巧：（1）在行程中能设置一个解题需要的点；（2）灵活地运用比例
40、.例 16 小王的步行速度是4.8 千米/小时，小张的步行速度是5.4 千米/小时，他们两人从甲地到乙地去.小李骑自行车的速度是10.8 千米/小时，从乙地到甲地去.他们 3 人同时出发，在小张与小李相遇后 5 分钟，小王又与小李相遇.问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间？解：画一张示意图：图中 A 点是小张与小李相遇的地点，图中再设置一个 B 点，它是张、李两人相遇时小王到达的地点.5 分钟后小王与小李相遇，也就是 5 分钟的时间，小王和小李共同走了 B 与 A 之间这段距离，它等于 这段距离也是出发后小张比小王多走的距离，小王与小张的速度差是（5.4-4.8）千米/小时.小张比小王多走这段
41、距离，需要的时间是 1.3（5.4-4.8）60=130（分钟）.这也是从出发到张、李相遇时已花费的时间.小李的速度 10.8千米/小时是小张速度 5.4 千米/小时的 2 倍.因此小李从 A 到甲地需要 1302=65（分钟）.从乙地到甲地需要的时间是 13065=195（分钟）3 小时 15 分.答：小李从乙地到甲地需要 3 小时 15 分.上面的问题有 3 个人，既有“相遇”，又有“追及”，思考时要分几个层次，弄清相互间的关系，问题也就迎刃而解了.在图中设置一个 B 点，使我们的思考直观简明些.例 17 小玲和小华姐弟俩正要从公园门口沿马路向东去某地，而他们的家要从公园门口沿马路往西.小
42、华问姐姐：“是先向西回家取了自行车，再骑车向东去，还是直接从公园门口步行向东去快”？姐姐算了一下说：“如果骑车与步行的速度比是41，那么从公园门口到目的地的距离超过2 千米时，回家取车才合算.”请推算一下，从公园到他们家的距离是多少米？解：先画一张示意图 设 A 是离公园2 千米处，设置一个 B 点，公园离 B 与公园离家一样远.如果从公园往西走到家，那么用同样多的时间，就能往东走到 B 点.现在问题就转变成：骑车从家开始，步行从 B 点开始，骑车追步行，能在 A 点或更远处追上步行.具体计算如下：不妨设 B 到 A 的距离为 1 个单位，因为骑车速度是步行速度的4 倍，所以从家到 A 的距离
43、是 4 个单位，从家到 B 的距离是 3 个单位.公园到 B 是 1.5 个单位.从公园到 A 是 11.52.5（单位）.每个单位是 20002.5800（米）.因此，从公园到家的距离是 8001.51200（米）.答：从公园门口到他们家的距离是 1200 米.这一例子中，取计算单位给计算带来方便，是值得读者仿照采用的.请再看一例.例 18 快车和慢车分别从A，B 两地同时开出，相向而行.经过5 小时两车相遇.已知慢车从 B 到 A 用了 12.5 小时，慢车到 A 停留半小时后返回.快车到 B 停留 1 小时后返回.问：两车从第一次相遇到再相遇共需多少时间？解：画一张示意图：设 C 点是第
44、一次相遇处.慢车从 B 到 C 用了 5 小时，从 C 到 A用了 12.5-5=7.5（小时）.我们把慢车半小时行程作为 1 个单位.B到 C10 个单位，C 到 A15 个单位.慢车每小时走 2 个单位，快车每小时走 3 个单位.有了上面“取单位”准备后，下面很易计算了.慢车从 C 到 A，再加停留半小时，共 8 小时.此时快车在何处呢？去掉它在 B 停留 1 小时.快车行驶 7 小时，共行驶 37=21（单位）.从 B 到 C 再往前一个单位到 D 点.离 A 点 15-114（单位）.现在慢车从 A，快车从 D，同时出发共同行走 14 单位，相遇所需时间是 14（23）2.8（小时）.
45、慢车从 C 到 A 返回行驶至与快车相遇共用了 7.50.52.810.8（小时）.答：从第一相遇到再相遇共需10 小时 48 分.例 19 一只小船从 A 地到 B 地往返一次共用 2 小时.回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶 8 千米，因此第二小时比第一小时多行驶 6 千米.求 A 至 B 两地距离.解：1 小时是行驶全程的一半时间，因为去时逆水，小船到达不了 B 地.我们在 B 之前设置一个 C 点，是小船逆水行驶 1 小时到达处.如下图 第二小时比第一小时多行驶的行程，恰好是 C 至 B 距离的 2 倍，它等于 6 千米，就知 C 至 B 是 3 千米.为了示意小船顺水速度比逆水速度
46、每小时多行驶 8 千米，在图中再设置 D 点，D 至 C 是 8 千米.也就是 D 至 A 顺水行驶时间是 1小时.现在就一目了然了.D 至 B 是 5 千米顺水行驶，与 C 至 B 逆水行驶 3 千米时间一样多.因此 顺水速度逆水速度=53.由于两者速度差是 8 千米.立即可得出 A 至 B 距离是 123=15（千米）.答：A 至 B 两地距离是 15 千米.例 20 从甲市到乙市有一条公路，它分成三段.在第一段上，汽车速度是每小时 40 千米，在第二段上，汽车速度是每小时 90 千米，在第三段上，汽车速度是每小时 50 千米.已知第一段公路的长恰好是第三段的 2 倍.现有两辆汽车分别从甲
47、、乙两市同时出发，相向而行.1 小时 20 分后，在第二段的 1/3 处（从甲方到乙方向的1/3 处）相遇，那么，甲、乙两市相距多少千米？解一：画出如下示意图：当从乙城出发的汽车走完第三段到 C 时，从甲城出发的汽车走完第一段的 到达 D 处，这样，D 把第一段分成两部分 两车在第二段的 1/3 处相遇，水明甲城汽车从 D 到 E 走完第一段，与乙城汽车走完第二段的 1/3 从 C 到 F，所用时间相同，设这一时间为一份，一小时 20 分相当于 因此就知道，汽车在第一段需要 第二段需要 30390（分钟）；甲、乙两市距离是 答：甲、乙两市相距 185 千米.把每辆车从出发到相遇所走的行程都分成
48、三段，而两车逐段所用时间都相应地一样.这样通过“所用时间”使各段之间建立了换算关系.这是一种典型的方法.例 8、例 13 也是类似思路，仅仅是问题简单些.还可以用“比例分配”方法求出各段所用时间.解二：走第一段的 2/5,与走第三段时间一样就得出 第一段所用时间第三段所用时间=52.D 至 E 与 C 至 F 所用时间一样，就是走第一段的 3/5 与走第二段的1/3 所用时间一样。第一段所用时间第二段所用时间=59.因此，三段路程所用时间的比是：592.汽车走完全程所用时间是 802160（分种）.例 21 一辆车从甲地开往乙地.如果车速提高 20，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶
49、 120 千米后，再将速度提高 25，则可提前 40 分钟到达.那么甲、乙两地相距多少千米？解：设原速度是 1.就得出，加速 20后，所用时间缩短到原时间的 这是具体地反映：距离固定，时间与速度成反比.用原速行驶需要 同样道理，车速提高25，所用时间缩短到原来的 换一句话说，缩短了 1/5，现在要充分利用这个 1/5 如果一开始就加速 25，可少时间 现在只少了 40 分钟，72-4032（分钟）.说明有一段路程未加速而没有少这个 32 分钟，它应是这段路程所用时间的 1/5，因此这段路所用时间是：真巧，320-160160（分钟），原速的行程与加速的行程所用时间一样.因此全程长 答：甲、乙两
50、地相距 270 千米.十分有意思，按原速行驶120 千米，这一条件只在最后用上.事实上，其他条件已完全确定了“原速”与“加速”两段行程的时间的比例关系，当然也确定了距离的比例关系.全程长还可以用下面比例式求出，设全程长为x，就有 x1207232.行程问题（一）（基础篇）行程问题的基础知识以及重要知识点提到行程问题就不得不说3个行程问题中一定会用到的数s,t,v s 路程 t 时间 v 速度 这 3 个数之间的关系就是：路程=速度 X 时间 s=vt 同时可以得出另外两个关系：速度=路程时间 v=s/t 时间=路程速度 t=s/v 我们来看几个例子：例 1，一个人以 5 米/秒的速度跑了 20