《高中数学复习提升椭圆专题复习讲义.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学复习提升椭圆专题复习讲义.pdf（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-椭圆专题复习 1.椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21FF、的距离之和为常数|)|2(222FFaa的动点P的轨迹叫椭圆,其中两个定点21FF、叫椭圆的焦点.当21212FFaPFPF时,P的轨迹为椭圆;当21212FFaPFPF时,P的轨迹不存在;当21212FFaPFPF时,P的轨迹为 以21FF、为端点的线段（2）椭圆的第二定义:平面内到定点F与定直线l(定点F不在定直线l上)的距离之比是常数e(10 e)的点的轨迹为椭圆 2.椭圆的方程与几何性质:标准方程)0(12222babyax)0(12222babxay 性 质
2、参数关系 222cba 焦点)0,(),0,(cc),0(),0(cc 焦距 c2 范围 byax|,|bxay|,|顶点),0(),0(),0,(),0,(bbaa)0,(),0,(),0(),0(bbaa 对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称 离心率)1,0(ace 准线 cax2 cay2 考点 1 椭圆定义及标准方程 题型 1:椭圆定义的运用 例 1 (湖北部分重点中学 2009 届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点 A、B 是它的焦点，长轴长为 2a，焦距为 2c，静放在点 A
3、的小球（小球的半径不计），从点 A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时，小球经过的路程是 A4a B2(ac)C2(a+c)D以上答案均有可能【新题导练】1.短轴长为5，离心率32e的椭圆两焦点为 F1，F2，过 F1作直线交椭圆于 A、B 两点，则ABF2的周长为（）A.3 B.6 C.12 D.24-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-2.已知P为椭圆2212516xy上的一点，,M N分别为圆22(3)1xy和圆22(3)4xy上的点，则PMPN的最小值为（）A 5 B 7 C 13 D 15 题型 2 求椭圆的标准方程 例 2 设椭圆的中心在原点，坐标轴为
4、对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为244，求此椭圆方程.【新题导练】3.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是_.4.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，求这个椭圆方程.考点 2 椭圆的几何性质 题型 1:求椭圆的离心率（或范围）例 3 在ABC中，3,2|,300ABCSABA若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e 【新题导练】5.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为 A.45 B.23 C.22 D.21 6.已知 m,n,m
5、+n 成等差数列，m，n，mn 成等比数列，则椭圆122nymx的离心率为 题型 2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）例 4 已知实数yx,满足12422yx,求xyx22的最大值与最小值【新题导练】7.已知点BA,是椭圆22221xymn（0m，0n）上两点,且BOAO,则=8.如图，把椭圆2212516xy的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,P P P P P P P七个点，F是椭圆的-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-一个焦点 则1234567PFPFPFPFPFPFPF_ 考点 3 椭圆的最值问题 例 5 椭圆19
6、1622yx上的点到直线 l:09 yx的距离的最小值为_【新题导练】9.椭圆191622yx的内接矩形的面积的最大值为 10.P是椭圆12222byax上一点，1F、2F是椭圆的两个焦点，求|21PFPF 的最大值与最小值 11.已知点P是椭圆1422 yx上的在第一象限内的点，又)0,2(A、)1,0(B，O是原点，则四边形OAPB的面积的最大值是_ 考点 4 椭圆的综合应用 题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题 例 6 已知椭圆C的中心为坐标原点O,一个长轴端点为0,1,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与 y 轴交于点 P（0，m），与椭圆 C 交于相异两点 A、B，且PBA
7、P3（1）求椭圆方程；（2）求m的取值范围 例 7、从椭圆22221(0)xyabab上一点P向x轴引垂线,垂足恰为椭圆的左焦点1F,A为椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点,且(0)ABOP.、求该椭圆的离心率.、若该椭圆的准线方程是2 5x ，求椭圆方程.12.设过点yxP,的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若PABP2，且1 ABOQ，则P点的轨迹方程是 （）A.0,0132322yxyx B.0,0132322yxyx C.0,0123322yxyx D.0,0123322yxyx 13.如图，在 RtABC 中，CAB=90，AB=
8、2，AC=22。一曲线 E 过点 C，动点 P 在曲线 E-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线 l 经过 A 与曲线 E 交于 M、N 两点。（1）建立适当的坐标系，求曲线 E 的方程；（2）设直线 l 的斜率为 k，若MBN 为钝角，求 k 的取值范围。基础巩固训练 1.如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB与 BF 交于 D,且901BDB,则椭圆的离心率为()A 213 B 215 C 215 D 23 2.设 F1、F2为椭圆42x+y2=1 的两焦点，P 在椭圆上，当F1PF2面 积为 1 时，21PFPF
9、 的值为 A、0 B、1 C、2 D、3 3.椭圆221369xy的一条弦被(4,2)A平分,那么这条弦所在的直线方程是 A20 xy B2100 xy C220 xy D280 xy 4.在ABC中，90A，3tan4B 若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e 5.已知21,FF为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若3:2:1:211221PFFFPFFPF,则此椭圆的离心率为 _.6.在平面直角坐标系中，椭圆2222xyab1(ab0)的焦距为 2，以 O 为圆心，a为半径的圆，过点2,0ac作圆的两切线互相垂直，则离心率e=综合提高训练 7、已知椭圆)0(12222babya
10、x与过点 A(2，0)，B(0，1)的直线 l 有且只有一个公共点 T，且椭圆的离心率23e求椭圆方程 8 已知 A、B 分别是椭圆12222byax的左右两个焦点，O 为坐标原点，点 P22,1(）在椭圆上，线段 PB 与 y 轴的交点 M 为线段 PB 的中点。-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-（1）求椭圆的标准方程；（2）点 C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于ABC，求sinsinsinABC的值。9.已知长方形 ABCD,AB=22,BC=1.以 AB 的中点O为原点建立如图 8 所示的平面直角坐标系xoy.()求以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆
11、的标准方程;()过点 P(0,2)的直线l交()中椭圆于 M,N 两点,是否存在直线l,使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.椭圆专题复习 1.椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21FF、的距离之和为常数|)|2(222FFaa的动点P的轨迹叫椭O x y A B C D 图 8-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-圆,其中两个定点21FF、叫椭圆的焦点.当21212FFaPFPF时,P的轨迹为椭圆;当21212FFaPFPF时,P的轨迹不存在;当21212FFaPFPF时,P的轨迹为 以21FF、为端点的线段（2）椭圆的
12、第二定义:平面内到定点F与定直线l(定点F不在定直线l上)的距离之比是常数e(10 e)的点的轨迹为椭圆（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.2.椭圆的方程与几何性质:标准方程)0(12222babyax)0(12222babxay 性 质 参数关系 222cba 焦点)0,(),0,(cc),0(),0(cc 焦距 c2 范围 byax|,|bxay|,|顶点),0(),0(),0,(),0,(bbaa)0,(),0,(),0(),0(bbaa 对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称 离心率)1,0(ace 准线 cax2 cay2 考点 1 椭圆定义
13、及标准方程 题型 1:椭圆定义的运用 例 1 (湖北部分重点中学 2009 届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点 A、B 是它的焦点，长轴长为 2a，焦距为 2c，静放在点 A 的小球（小球的半径不计），从点 A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时，小球经过的路程是 A4a B2(ac)C2(a+c)D以上答案均有可能 解析按小球的运行路径分三种情况:(1)ACA,此时小球经过的路程为 2(ac);(2)ABDBA,此时小球经过的路程为 2(a+c);(3)AQBPA此时小球经过
14、的路程为 4a,故选 D【名师指引】考虑小球的运行路径要全面【新题导练】O x y D P A B C Q-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-1.短轴长为5，离心率32e的椭圆两焦点为 F1，F2，过 F1作直线交椭圆于 A、B 两点，则ABF2的周长为（）A.3 B.6 C.12 D.24 解析C.长半轴 a=3，ABF2的周长为 4a=12 2.已知P为椭圆2212516xy上的一点，,M N分别为圆22(3)1xy和圆22(3)4xy上的点，则PMPN的最小值为（）A 5 B 7 C 13 D 15 解析B.两圆心 C、D 恰为椭圆的焦点，10|PDPC，PMPN的最
15、小值为 10-1-2=7 题型 2 求椭圆的标准方程 例 2 设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为244，求此椭圆方程.【解题思路】将题中所给条件用关于参数cba,的式子“描述”出来 解析设椭圆的方程为12222byax或)0(12222baaybx，则222)12(4cbacacb，解之得：24a，b=c4.则所求的椭圆的方程为1163222yx或1321622yx.【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数cba,的数量关系 警示易漏焦点在 y 轴上的情况【新题导练】3.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么
16、实数k的取值范围是_.解析(0,1).椭圆方程化为22x+ky22=1.焦点在y轴上，则k22，即k0，0k0（*）x1x22kmk22，x1x2m21k22 AP 3 PB x13x2 x1x22x2x1x23x22-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-消去 x2，得 3（x1x2）24x1x20，3（2kmk22）24m21k220 整理得 4k2m22m2k220 m214时，上式不成立；m214时，k222m24m21，因 3 k0 k222m24m210，1m12 或 12m2m22 成立，所以（*）成立 即所求 m 的取值范围为（1，12）（12，1）【名师指引】
17、椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能 例 7椭圆22221(0)xyabab上一点P向x轴引垂线,垂足恰为椭圆的左焦点1F,A为椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点,且(0)ABOP.、求该椭圆的离心率.、若该椭圆的准线方程是2 5x ，求椭圆方程.解析、ABOP，ABOP，1PFOBOA,111PFFOcbcPFBOOAaa，又2211222(,)1PFcbPc yPFaba，bc,而222abc22222ace.、2 5x 为准线方程，222 52 5aacc,由2222222 5105acabcbabc 所求椭圆方程为221105xy【新题导练】14.设过点yxP
18、,的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若PABP2，且1 ABOQ，则P点的轨迹方程是 （）A.0,0132322yxyx B.0,0132322yxyx C.0,0123322yxyx D.0,0123322yxyx-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-解析),(),3,23(yxOQyxAB132322yx，选 A.15.如图，在 RtABC 中，CAB=90，AB=2，AC=22。一曲线 E 过点 C，动点 P 在曲线 E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线 l 经过 A 与曲线 E 交于 M、N 两点。
19、（1）建立适当的坐标系，求曲线 E 的方程；（2）设直线 l 的斜率为 k，若MBN 为钝角，求 k 的取值范围。解：（1）以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系，则 A（1，0），B（1，0）由题设可得 2222322)22(222|22CBCAPBPA 动点 P 的轨迹方程为)0(12222babyax，则1.1,222cabca 曲线 E 方程为1222 yx（2）直线 MN 的方程为),(),(),(),1(221111yxNyxMyxMxky设设 由0)1(24)21(022)1(222222kxkxkyxxky得 0882k 方程有两个不等的实数根 2
20、221222121)1(2,224xkkxxkkx),1(),1(2211yxBNyxBM)1)(1()1)(1()1)(1(112212121xxkxxyyxxBNBM 22122121)(1()1(kxxkxxk 22222222221171)214)(1(21)1(2)1(kkkkkkkkk MBN 是钝角 0BNBM -WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-即0211722kk 解得：7777k 又 M、B、N 三点不共线 0k 综上所述，k 的取值范围是)77,0()0,77(基础巩固训练 1.如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB与 BF 交于 D,且9
21、01BDB,则椭圆的离心率为()A 213 B 215 C 215 D 23 解析 B.eaccacbab221)(215 2.设 F1、F2为椭圆42x+y2=1 的两焦点，P 在椭圆上，当F1PF2面积为 1 时，21PFPF 的值为 A、0 B、1 C、2 D、3 解析 A.1|321PPFFyS，P 的纵坐标为33，从而 P 的坐标为)33,362(，21PFPF0，3.椭圆221369xy的一条弦被(4,2)A平分,那么这条弦所在的直线方程是 A20 xy B2100 xy C220 xy D280 xy 解析 D.19362121yx,19362222yx,两式相减得：0)(421
22、212121xxyyyyxx，4,82121yyxx，212121xxyy 4.在ABC中，90A，3tan4B 若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e 解析BCACABekBCkACkAB,5,3,412 5.已知21,FF为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若3:2:1:211221PFFFPFFPF,则此椭圆的离心率为 _.解析 13 三角形三边的比是2:3:1 6.在平面直角坐标系中，椭圆2222xyab1(ab0)的焦距为 2，以 O 为圆心，a为半径的圆，过-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-点2,0ac作圆的两切线互相垂直，则离心率e=解析eaca
23、2222 综合提高训练 7、已知椭圆)0(12222babyax与过点 A(2，0)，B(0，1)的直线 l 有且只有一个公共点 T，且椭圆的离心率23e求椭圆方程 解析直线 l 的方程为：121xy 由已知2222423baaba 由12112222xybyax 得：0)41(2222222baaxaxab 0)(4(222224baaaba，即2244ba 由得：21222ba，故椭圆 E 方程为121222yx 8.已知 A、B 分别是椭圆12222byax的左右两个焦点，O 为坐标原点，点 P22,1(）在椭圆上，线段 PB 与 y 轴的交点 M 为线段 PB 的中点。（1）求椭圆的标
24、准方程；（2）点 C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于ABC，求sinsinsinABC的值。解析（1）点M是线段PB的中点 OM是PAB的中位线 又ABOM ABPA 2222222211112,1,12cabcababc解得 椭圆的标准方程为222yx=1 （2）点 C 在椭圆上，A、B 是椭圆的两个焦点 BAC-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-ACBC2a2 2，AB2c2 在ABC 中，由正弦定理，sinsinsinBCACABABC sinsinsinABC2 222BCACAB 9.已知长方形 ABCD,AB=22,BC=1.以 AB 的中点O为原点建立如
25、图 8 所示的平面直角坐标系xoy.()求以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的标准方程;()过点 P(0,2)的直线l交()中椭圆于 M,N 两点,是否存在直线l,使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.解析()由题意可得点 A,B,C 的坐标分别为1,2,0,2,0,2.设椭圆的标准方程是012222babyax.2240122012222222BCACa则 2a 224222cab.椭圆的标准方程是.12422yx()由题意直线的斜率存在,可设直线l的方程为02kkxy.设 M,N 两点的坐标分别为.,2211yxyx 联立方程:42222yxkxy 消去y整理得,0482122kxxk 有221221214,218kxxkkxx 若以MN 为直径的圆恰好过原点,则ONOM,所以02121yyxx,所以,0222121kxkxxx,即042121212xxkxxk O x y A B C D 图 8-WORD 格式-可编辑-专业资料-完整版学习资料分享-所以,04211621142222kkkk 即,0214822kk 得.2,22kk 所以直线l的方程为22 xy,或22 xy.所以存在过 P(0,2)的直线l:22 xy使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点.