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1、.核心素养测评三十一 基本不等式 一、选择题 1.若 a,bR,且 ab0,则下列不等式中,恒成立的是 A.a+b2 B.+C.+2 D.a2+b22ab 解析选 C.因为 ab0,所以 0,0,所以+2=2,当且仅当 a=b 时取等号.2.已知函数 y=x-4+-1,当 x=a 时,y 取得最小值 b,则 2a+3b 等于 A.9 B.7 C.5 D.3 解析选 B.因为 x-1,所以 x+10,所以 y=x-4+=x+1+-5 2-5=1,当且仅当 x+1=,即 x=2 时取等号,所以 y 取得最小值 b=1,此时 x=a=2,所以 2a+3b=7.3.若 log2x+log2y=1,则
2、2x+y 的最小值为 A.1 B.2 C.2 D.4 解析选 D.因为 log2x+log2y=1,所以 log2xy=1,所以 xy=2,所以 2x+y2=4,当且仅当 2x=y,即 x=1,y=2 时取等号.所以 2x+y 的最小值为 4.4.若 ab0,则的最小值为.A.2 B.C.3 D.2 解析选 A.因为 ab0,所以=+2=2,当且仅当=,即 a=b 时取等号.5.若 a,b 都是正数,且 a+b=1,则的最大值为 A.B.2 C.D.4 解析选 C.由题意可知=,当且仅当 a=b=时取等号.6.已知 a0,b0,4a+b=2,则+的最小值是 A.4 B.C.5 D.9 解析选
3、B.因为 a0,b0,4a+b=2,所以+=,当且仅当=,即 a=,b=时取等号.7.正数 a,b 满足+=1,若不等式 a+b-x2+4x+18-m 对任意实数 x 恒成立,则实数 m 的取值范围是 世纪金榜导学号 A.3,+B.-,3 C.解析选 D.因为 a0,b0,+=1,.所以 a+b=10+10+2=16,当且仅当=,即 a=4,b=12 时,等号成立.由题意,得 16-x2+4x+18-m,即 x2-4x-2-m 对任意实数 x 恒成立,令 f=x2-4x-2,则 f=x2-4x-2=2-6,所以 f的最小值为-6,所以-6-m,即 m6.二、填空题 8.某公司购买一批机器投入生
4、产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润 y与机器运转时间 x的关系式为 y=-x2+18x-25,则当每台机器运转_年时,年平均利润最大,最大值是_万元.解析每台机器运转 x 年的年平均利润为=18-,而 x0,故 18-2=8,当且仅当 x=5 时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为 8 万元.答案:5 8 9.已知 x,y 为正实数,则+的最小值为_.解析因为 x,y 为正实数,则+=+1=+1,令 t=,则 t0,所以+=+t+1=+t+2+=,当且仅当 t=时取等号.所以+的最小值为.答案:10.函数 y=x的最大值为_.世纪金榜导学号 解析函数 y=x+1+=+2 x,因
5、为+2,当且仅当 x=0 时,取等号,所以+-2,当且仅当 x=0 时,取等号.故函数 y=的最大值为 0.答案:0 1.设 a0,b0,则下列不等式中不成立的是 A.a+b+2 B.C.a+b D.4 解析选 B.因为 a0,b0,.所以a+b+2+2,当且仅当a=b且2=,即a=b=时取等号,故A成立;因为 a+b20,所以,当且仅当 a=b 时取等号,所以不一定成立,故 B 不成立,因为=,当且仅当 a=b 时取等号,=a+b-2-,当且仅当 a=b 时取等号,所以,所以a+b,故 C 一定成立,因为=2+4,当且仅当 a=b 时取等号,故 D 一定成立.2.当 0m 时,若+k2-2k
6、 恒成立,则实数 k 的取值范围为 A.-2,00,2 C.-4,2 D.-2,4 解析选D.因为0m,所以 2m=,当且仅当2m=1-2m,即m=时取等号,所以+=8,又+k2-2k恒成立,所以k2-2k-80,所以-2k4.所以实数 k 的取值范围是-2,4.3.以点为圆心且与曲线 C:xy=10有公共点的圆称之为 C 的望圆,则曲线 C的所有望圆中半径最小值为 A.4 B.C.8 D.2 解析选 D.根据题意,设为曲线 C 上任意一点,望圆的半径为 r,若望圆与曲线 C有公共点,则 r2=2+=t2+2+22+22+2=8,当且仅当 t=时,等号成立,则 r 的最小值为 2.4.已知正数
7、x,y满足x+y=5,则+的最小值为_.世纪金榜导学号 解析正数 x,y 满足 x+y=5,所以+=8,则+=+=,当且仅当 x+1=y+2,即 x=3,y=2 时,上式取得最小值.答案:5.在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a2+b2+ab=c2,且ABC的面积为c,则 ab 的最小值为_.世纪金榜导学号 解析在ABC 中,a2+b2+ab=c2,结合余弦定理 a2+b2-2abcos C=c2,.可得 cos C=-,所以 sin C=.由三角形面积公式,可得c=absin C 代入化简可得 c=,代入 a2+b2+ab=c2中可得 a2+b2=-ab,因为 a2+b22ab,所以-ab2ab,解不等式可得 ab48,所以 ab 的最小值为 48.答案:48